Przeczytaj
Zacznijmy od przeanalizowania poniższego rysunku.
Przedstawiony został równoramienny i prostokątny trójkąt . Ramiona w takim trójkącie stanowią jednocześnie jego przyprostokątne i są równej długości. Ponadto, kąty i są sobie równe i wynoszą . Obliczymy wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla kąta .
Aby policzyć sinus kąta , dzielimy długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw badanego kąta przez długość przeciwprostokątnej:
Aby obliczyć cosinus kąta , obliczamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy badanym kącie i przeciwprostokątnej:
W celu znalezienia wartości tangensa kąta , dzielimy długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko badanego kąta przez długość odcinka stanowiącego przyprostokątną leżącą przy badanym kącie:
Funkcje trygonometryczneFunkcje trygonometryczne dla kąta przyjmują następujące wartości:
;
;
.
Umiemy już obliczać wartości funkcji trygonometrycznych kąta .
Nasuwającym się teraz pytaniem jest: Jak możemy tę wiedzę wykorzystać?
Znajomość powyższych wartości znajduje swoje zastosowania w sytuacjach, które wymagają wyznaczenia długości boków trójkąta równoramiennego prostokątnego, a dysponujemy długością tylko jednego boku. Możemy wykorzystać tę wiedzę także w innych figurach niż trójkąty. W niektórych sytuacjach jesteśmy w stanie wyodrębnić trójkąt równoramienny prostokątny, dzieląc bardziej złożoną figurę na prostsze składowe.
Prostym przykładem takiej figury może być trapez o pewnych szczególnych własnościach. Gdy ramię trapezu tworzy z podstawą kąt ostry , owo ramię, wysokość trapezu i fragment podstawy tworzą pożądany przez nas trójkąt. Rozważymy teraz sytuację, gdy możemy policzyć pole trapezu mając dane zaledwie dwa boki.
Obliczymy pole trapezu równoramiennego przedstawionego na poniższym rysunku.
Zauważmy, że punkty tworzą trójkąt równoramienny prostokątny, gdzie odcinek jest wysokością trapezu.
Znamy długość przeciwprostokątnej, zatem korzystając z wartości sinusa możemy znaleźć wysokość.
Oznaczając długość odcinka przez mamy:
Mnożąc stronami równość przez otrzymujemy wartość :
Zatem wysokość trapezu wynosi .
Aby obliczyć żądane pole powierzchni, brakuje nam jeszcze informacji o długości dolnej podstawy.
Możemy zauważyć, że odcinek .
Ponadto odcinek , gdyż trapez jest równoramienny.
W identyczny sposób jak dla trójkąta , możemy policzyć długości boków trójkąta .
Stąd otrzymamy, że odcinek ma również długość .
Długość odcinka też jest nam znana, albowiem .
Wynika to z faktu, że jest prostokątem.
Zatem długość dolnej podstawy wynosi .
Korzystając ze wzoru na pole trapezu, uzyskujemy końcowy wynik
.
W bardziej złożonych zadaniach pojawia się konieczność rozbicia trójkąta na mniejsze trójkąty prostokątne, w których znajomość funkcji trygonometrycznych pozwoli nam wyznaczyć niezbędne długości odcinków.
W trójkącie prostokątnym równoramiennym długość przeciwprostokątnej wynosi . Środkowe tego trójkątaŚrodkowe tego trójkąta przecinają się w punkcie , z którego poprowadzono odcinki padające pod kątem prostym na przyprostokątne. Oblicz pole utworzonego w ten sposób kwadratu (na rysunku jest to kwadrat ).
Zauważmy, że w przypadku trójkąta prostokątnego równoramiennego wysokość poprowadzona z kąta prostego pokrywa się ze środkową trójkąta.
W związku z tym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o kątach , , .
Otrzymane w ten sposób trójkąty i są przystające, zaś krótszy bok każdego z nich ma długość równą połowie długości przeciwprostokątnej trójkąta , tj.
.
Następnie przypomnijmy, że punkt przecięcia środkowych w każdym trójkącie dzieli te środkowe w stosunku , gdzie krótszy odcinek łączy środek ciężkości ze środkiem boku.
Punkt przecięcia środkowych w trójkącie nazywany jest zwykle środkiem ciężkości trójkątaśrodkiem ciężkości trójkąta.
Zatem punkt dzieli wysokość na dwa odcinki o długościach:
i
Sytuację tę obrazuje poniższy rysunek (dla czytelności nie zaznaczono na nim środkowych wychodzących z wierzchołków i ).
Znamy więc długość odcinka , wiemy też, że kąty i są proste (wynika to z treści zadania).
Ponadto, kąty i mają po .
Wykorzystamy funkcję sinus.
Znamy więc długość boku kwadratu . Jego pole wynosi zatem
.
Czasami w zadaniu musimy skorzystać z funkcji trygonometrycznych kąta wielokrotnie by osiągnąć zamierzony cel. Dobrze ilustruje to następujący przykład.
Bardzo prosty szkic muszli amonitu uzyskano poprzez narysowanie trójkąta prostokątnego równoramiennego , a następnie narysowaniu czterech trójkątów do niego podobnych. Każdy kolejny trójkąt dorysowywano w taki sposób, że przeciwprostokątna poprzedniego trójkąta stawała się przyprostokątną dla kolejnego z nich. Otrzymany rysunek widoczny jest poniżej.
Pole tego szkicu wynosi . Jaką długość ma odcinek ? Oblicz obwód tego wielokąta.
Dla ułatwienia oznaczmy długość odcinka przez .
Wówczas pole powierzchni trójkąta wynosi , zaś
.
Zauważmy, że korzystając z tej samej wartości funkcji sinus jesteśmy w stanie wyznaczyć długości wszystkich pozostałych odcinków na tym rysunku:
;
;
;
.
Rozważany przez nas wielokąt jest podzielony na trójkąty, których pola w łatwy sposób jesteśmy w stanie obliczyć.
Mamy bowiem:
;
;
;
.
Łączne pole powierzchni całego rozważanego wielokąta wynosi zatem:
.
Podstawiając znaną nam wartość otrzymujemy proste równanie kwadratowe, z którego jesteśmy w stanie wyliczyć długość boku .
,
,
,
.
Oczywiście długość boku trójkąta nie może być liczbą ujemną, więc
.
Obwód rozważanego wielokąta otrzymamy sumując odpowiednie długości boków rozpatrywanych w zadaniu trójkątów.
Mamy zatem
.
Ostatecznie obwód tego wielokąta wynosi , zaś długość boku to .
Słownik
funkcje wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych; podstawowymi funkcjami trygonometrycznymi są sinus, cosinus, tangens i cotangens
odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku; każdy trójkąt ma trzy środkowe, odpowiadające poszczególnym jego wierzchołkom
punkt, w którym przecinają się wszystkie trzy środkowe trójkąta (inną jego nazwą jest barycentrum); punkt ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części, przy czym odcinek łączący barycentrum z wierzchołkiem jest dwukrotnie dłuższy od odcinka łączącego środek ciężkości trójkąta ze środkiem boku