Środek masy obiektu to punkt, który często można traktować tak, jak gdyby cała masa obiektu była skupiona w tym punkciePunkt materialny punkcie. Położenie tego punktu w ciele lub układzie ciał zależy od rozkładu masy. Jest to średnia ważona położeń wszystkich elementów ciała względem tego punktu; za wagi przyjmujemy właśnie masy tych elementów. Dla dwóch ciał o masach i znajdujących się w odległości środek masy S znajduje się w odległości od początku układu O, jak na Rys. 1.:
Przykład 1 – środek masy układu dwóch kul
Rozwiązując przykładowe zadania, wygodnie jest umieścić środek układu współrzędnych (względem którego wyznaczymy środek masy) w środku jednego z ciał. W powyższym przykładzie, jeśli umiejscowimy punkt O w środku kuli o masie , to wartość wyniesie 0, a , zatem wzór uprości się do
W przypadku kul o tych samych masach otrzymamy
czyli środek masy – zgodnie z intuicją – znajdzie się pośrodku tych dwóch ciał. Jeśli przyjmiemy, że masy nie są równe i np. masa drugiej kuli jest trzykrotnie większa niż pierwszej, czyli otrzymamy
Środek masy znajdzie się więc bliżej cięższej z kul - dokładnie w 1/4 odległości między kulami.
Przykład 2 – środek masy układu trzech kul leżących na jednej prostej
Gdyby wzdłuż osi znajdowały się trzy kule, jak na Rys. 2., postąpilibyśmy analogicznie, obliczając:
R10Hjr9HnFLR0
Rozważmy szczególny przypadek, gdy mamy trzy kule o jednakowych masach ( = 1 kg każda). Położenia kul dla = 1 m i = 2 m pokazano na Rys. 2. Przyjmując środek układu współrzędnych w środku pierwszej kuli, otrzymamy
.
Środek masy takiego układu znajduje więc się ok. 33 cm na prawo od środkowej kuli.
W przypadku bardziej złożonych układów, składających się w ogólności z elementów, postępujemy analogicznie, sumując masy i odległości wszystkich elementów składowych danego układu:
.
Powyższe wzory zaprezentowaliśmy dla prostej sytuacji jednowymiarowej, tj. dla mas ułożonych wzdłuż jednej prostej, do której dostosowaliśmy oś OX. Jeśli natomiast mamy układ wielu ciał w przestrzeni, np. jak na Rys. 3., nasze postępowanie będzie analogiczne, tyle że zamiast pojedynczej współrzędnej , będziemy potrzebować wektora w postaci
RSLfskgaoae9i
Przykład 3 – środek masy układu czterech jednakowych kul w dwóch wymiarach
Współrzędne środka masy dla każdej z tych osi wyznaczamy niezależnie, tak jak we wcześniejszych przykładach. Weźmy przykład czterech jednakowych kul zlokalizowanych w wierzchołkach prostokąta o bokach długości , , jak na Rys. 4.:
R9uuZqmD7UsJl
Gdzie znajduje się środek tego układu? Musimy oddzielnie znaleźć położenie dwóch współrzędnych: , czyli oddzielnie przeprowadzimy sumowanie dla współrzędnej i , jak na Rys. 5.:
RlSSPy9tHDnQF
Zatem współrzędne punktu będącego środkiem masy tego układu to . Jak widać jest to punkt leżący „pośrodku” tego układu, czyli w miejscu przecięcia się przekątnych tej figury.
Przykład 4 – środek masy układu czterech różnych kul w dwóch wymiarach
Oczywiście taka sytuacja jak w Przykładzie 3 ma miejsce, jeśli wszystkie części układu mają tę samą masę. Nie musi tak być; przyjrzyjmy się sytuacji, gdy czwarta kula będzie miała siedem razy większą masę od pozostałych kul:
Zatem współrzędne środka masy tego układu to , co przedstawiono na Rys. 6.:
R1cAjzYOmVOw2
W powyższych przykładach używaliśmy punktowych mas, czyli takich, których rozmiar i kształt nie miał znaczenia w rozważanym przypadku. Jednakże możemy analogiczne rozumowanie poszukiwania środka masy przeprowadzić dla dowolnego przedmiotu – np. zastanowić się, gdzie leży środek masy kuli. Gdybyśmy podzielili tę kulę na bardzo dużo bardzo małych elementów i przeprowadzili analogiczne sumowanie, jak w przypadku wielu elementów, dojdziemy do oczekiwanego wniosku, że środek masy znajduje się w geometrycznym środku kuli. Uogólniając, możemy stwierdzić, że jeśli przedmiot wykonany jest z jednorodnego materiału, to jego środek masy znajduje się w jego środku geometrycznym, jak na Rys. 7.:
R1LFNM7wUhmvU
Ciało o bardziej skomplikowanym kształcie możemy podzielić na kilka mniejszych, o prostszych kształtach, wyznaczyć dla każdego z nich jego środek masy, a następnie zgodnie z podanymi na początku wzorami znaleźć środek masy takiego układu.
Przykład 5 – środek masy układu brył
Mamy trzy deski o długościach = 1 m i grubości = 5 cm i szerokości = 10 cm wykonane z różnego rodzaju drewna, ustawione jak na Rys. 8. Dwie ustawione pionowo są wykonane z sosny (gęstość ), a deska ustawiona poziomo z dębu (). Chcemy wyznaczyć środek masy tego układu ciał. Rozwiązanie tego problemu będzie składało się z trzech etapów.
Najpierw obliczymy masę każdego z elementów, wiedząc, że masa to iloczyn gęstości i objętości,
W drugim etapie geometrycznie ustalimy położenie środka masy każdej z tych desek, sprowadzając cały układ do prostszego, jak na Rys. 8.:
R6usmZDEKDU7d
Pozostaje obliczyć i , wiedząc, że środek masy każdej z desek znajduje się na przecięciu jej przekątnych, czyli w połowie jej długości i szerokości:
Podsumowując,
RxzJgEgJUvG47
Przyjrzyjmy się temu wynikowi – jest on zgodny z analizą symetrii rozkładu masy w tym układzie. W przypadku osi poziomej ciężar jest rozłożony symetrycznie względem pionowej przerywanej linii – mamy identyczną deskę z prawej i lewej strony, stąd środek masy znajduje się właśnie pośrodku, na tej osi. W przypadku osi Y nie ma deski „górnej”, co sprawia, że środek masy jest przesunięty w dół, w stronę dolnej deski. Ponieważ wymiary desek są identyczne, a dolna wykonana jest z gęstszego drewna, jest masywniejsza, więc środek masy jest bliżej jej krawędzi niż byłby, gdyby wszystkie trzy deski wykonane były z tego samego drewna (co możesz sprawdzić własnymi obliczeniami).
Jeśli ciało jest niejednorodne, czyli o zmiennej gęstości, postępujemy analogicznie – trzeba je podzielić na tak małe elementy, aby ich gęstość była w dobrym przybliżeniu stała, a następnie przeprowadzić sumowanie.
Weźmy przykład akwarium z wodą, do którego wsypano dużą ilość soli, bez mieszania, jak na Rys. 10. Dolna warstwa będzie warstwą roztworu nasyconego soli, o dużej gęstości, a górna będzie wodą słodką, o mniejszej gęstości. Taki układ podzielimy na dwie części, obliczając środek masy każdego z nich oddzielnie, jak na Rys. 11.:
RWLkSViW4NPU3
R1GGAiXJPlGcJ
Położenie środka masy możemy wyznaczyć również eksperymentalnie w bardzo prosty sposób – jeśli mamy w ręku np. deskę czy cegłę, możemy zmieniać punkt podparcia, szukając wzdłuż różnych osi miejsca, w którym podparte ciało zachowuje równowagę. Punkt podparcia, oś i środek masy wyznaczają płaszczyznę. Przecięcie trzech różnych takich płaszczyzn wyznaczy nam środek masy przedmiotu.
Możemy również wprawić ciało w ruch obrotowy (np. rzucić nim tak, żeby się obracało w locie wokół którejś osi) i obserwować wokół jakiej osi będzie wirowało – będzie to oś przechodząca przez środek masy. Inną prostą metodą jest zawieszenie ciała na sznurku – niezależnie, w którym punkcie zostanie ono zaczepione, zawsze ustawi się tak, że środek masy będzie wypadał na osi wyznaczonej przez nitkę, jak pokazuje Rys. 12.:
R1Ui5FohMbGzK
Powtarzając to doświadczenie dla trzech różnych punktów zaczepienia, ustalimy, gdzie znajduje się środek masy – będzie to punkt, w którym przecinają się te osie.