Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Warto przeczytać

RFXE2t2raxJ18
Rys. 1. Derwisze obracający się podczas tańca.
Źródło: dostępny w internecie: https://pixabay.com/pl/photos/derwisze-persie-islam-religia-4422194/ [dostęp 14.05.2022 r.], domena publiczna.

Prędkość kątowaPrędkość kątowaPrędkość kątowa definiowana jest jako przyrost położenia kątowego w czasie .

Wykorzystując wielkość charakterystyczną dla ruchu po okręgu (Rys. 1.), jaką jest okres definiujący czas pełnego obiegu ciała po okręgu, możemy zapisać prędkość kątową w postaci

gdzie jest kątem pełnym wyrażonym w radianach. Zwróćmy uwagę, iż obustronne pomnożenie powyższego wyrażenia przez długość promienia okręgu , po którym porusza się ciało, skutkuje wyrażeniem w postaci:

Wyrażenie w liczniku po prawej stronie określa długość obwodu okręgu, wyrażoną w metrach. Podzielenie tej wielkości przez czas pełnego obiegu zawiera informację o średniej prędkości liniowejPrędkość liniowaprędkości liniowej ciała w ruchu po okręgu. Związek pomiędzy prędkością kątową a prędkością liniową możemy zatem przedstawić w postaci

Jest to ważna informacja, ponieważ pozwala na określenie relacji wiążącej prędkość kątową z wartością przyspieszenia dośrodkowego . Związek ten wyprowadzimy z definicji przyspieszenia dośrodkowego,

Wykorzystując związek pomiędzy prędkością kątową oraz liniową, , możemy zapisać przyspieszenie dośrodkowe w postaci

Przeanalizujmy dwa przykłady, w których wykorzystamy związek między prędkością kątową, prędkością liniową oraz przyspieszeniem dośrodkowym do obliczeń.

Przykład 1.

Wyobraźmy sobie zegarek analogowy, na tarczy którego znajdują się dwie wskazówki: godzinowa i minutowa. Załóżmy, że wskazówka minutowa jest dwukrotnie dłuższa niż godzinowa. Przez oznaczmy długość wskazówki godzinowej, przez – minutowej. Wyznaczmy stosunek prędkości liniowych punktów znajdujących się na końcach grotów wskazówek.

Dane:

– długość wskazówki godzinowej

– długość wskazówki minutowej

Szukane:

Rozwiązanie:

  1. Wykonajmy rysunek pomocniczy (Rys. 2.):

R1J8eCG0wpOQk
Rys. 2. Długości wskazówek oraz ich prędkości kątowe.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.
  1. Wyznaczmy prędkości kątowe wskazówek godzinowej i minutowej. Wartości prędkości kątowych poszczególnych wskazówek nie są podane wprost w treści zadania, ale wiemy, że

i

gdzie: jest okresem wskazówki godzinowej, natomiast - okresem wskazówki minutowej.

  1. Wyznaczmy prędkości liniowe punktów, znajdujących się na końcach grotów wskazówek. W tym celu wykorzystamy związek pomiędzy prędkością kątową i liniową,

Promienie konieczne do wyznaczenia prędkości liniowych stanowią w tym przypadku długości poszczególnych wskazówek, zatem:

  1. Określmy stosunek prędkości liniowych, wykorzystując uzyskane zależności:

Ale z danych zadania wiemy, że

Wiemy również, jaki jest okres obiegu tarczy zegara przez wskazówkę godzinową i minutową,

zatem

Wykorzystując relacje między długościami wskazówek oraz pomiędzy długościami okresów, znajdujemy stosunek prędkości liniowych:

Odpowiedź: Szukany stosunek prędkości liniowych jest równy .

Zwróćmy uwagę, że w treści zadania prędkości kątowe wskazówek nie zostały podane wprost, ale znaliśmy okres ich obiegu.

Przykład 2.

Satelita geostacjonarny to satelita krążący po orbicie kołowej wokół Ziemi w płaszczyźnie równika. Jego cechą charakterystyczną jest to, że stale znajduje się on nad tym samym punktem nad powierzchnią planety. Sprawia to, że jego prędkość kątowa (w ruchu wokół Ziemi) jest taka sama jak prędkość kątowa Ziemi w ruchu dobowym. Wyznaczmy przyspieszenie dośrodkowe satelity geostacjonarnego krążącego wokół Ziemi na wysokości = 35 786 km nad równikiem.

Dane:

= 35 786 km – wysokość satelity geostacjonarnego nad równikiem.

Szukane:

  1. Wykonajmy rysunek pomocniczy (Rys. 3.):

R18ANJ7Gq7AED
Rys. 3. Satelita geostacjonarny
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.
  1. Wyznaczmy prędkość kątową satelity geostacjonarnego. Wiemy, że

gdzie jest okresem obiegu orbity przez satelitę geostacjonarnego (dokładniejsza wartość to 23 godziny 56 minut i 4 sekundy - dokładnie tyle, ile trwa doba gwiazdowa).

  1. Określmy prędkość liniową, z jaką satelita porusza się po orbicie kołowej wokół Ziemi.

W tym celu wykorzystamy związek pomiędzy prędkością kątową i prędkością liniową:

Zwróćmy uwagę, że promień w powyższym wzorze jest odległością pomiędzy satelitą a środkiem jego orbity kołowej, znajdującym się w środku Ziemi. Musimy zatem uwzględnić również promień Ziemi = 6400 km. W analizowanym przypadku prędkość liniowa, z jaką porusza się satelita geostacjonarny, wyrażona jest wzorem:

  1. Wyznaczmy szukane przyspieszenie dośrodkowe.

Skorzystajmy z definicji przyspieszenia dośrodkowego:

Zamieńmy jednostki wszystkich wielkości, wykorzystywanych w końcowym wzorze, na jednostki podstawowe.

Podstawmy uzyskane wartości do wzoru:

Odpowiedź: wartość przyspieszenia dośrodkowego satelity geostacjonarnego, krążącego na wysokości 35 786 kilometrów nad powierzchnią Ziemi, wynosi 0,22 m/sIndeks górny 2.

Rozwiązując problemy fizyczne związane z relacjami wiążącymi prędkość kątową z prędkością liniową i przyspieszeniem dośrodkowym, pamiętajmy, by:

  • jeżeli to możliwe, wykonać rysunek pomocniczy;

  • zastanowić się, czy w zadaniu poruszony został przypadek charakterystyczny, który definiuje wartość prędkości kątowej; może to być np.: charakterystyczna długość okresu, częstotliwość wiążąca się z prędkością kątową relacją ; jeżeli tak nie jest, najczęściej wartość prędkości kątowej podana jest wprost;

  • w obliczeniach wykorzystywać jednostki podstawowe układu SI.

Słowniczek

Prędkość kątowa
Prędkość kątowa

(ang. angular velocity) wielkość wektorowa opisująca ruch obrotowy (np. ruch po okręgu) ciała. Jest wektorem leżącym na osi obrotu ciała i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.

Prędkość liniowa
Prędkość liniowa

(ang. linear velocity) jest wektorem stycznym do okręgu w każdym punkcie chwilowego położenia ciała (ponieważ prędkość jest styczna do toru w każdym ruchu krzywoliniowym). Prędkości w każdym punkcie łuku mają jednakową wartość, ale jako wektory są różne.