Warto przeczytać

Pole centralne to pole, którego linie leżą na prostych, mających dokładnie jeden wspólny punkt - centrum pola (Rys. 1.). Oznacza to, że pole centralne nie zmienia się przy obrocie źródła o dowolny kąt.

RaaGysMwVB9xQ

Rys. 1. Rysunek przedstawia linie proste wychodzące z jednego punktu. Strzałki na liniach skierowane są na zewnątrz. Przy jednej z linii jest zapisany wektor natężenia pola elektrycznego duże E.

Przykładem pola centralnego w elektrostatyce jest pole elektryczne wytworzone przez ładunek punktowy. Ładunek jest źródłem pola. W tym punkcie linie pola mają swój początek (w przypadku ładunku dodatniego) lub koniec (w przypadku ładunku ujemnego). Linie rozchodzą się we wszystkie strony, a więc ich gęstość maleje wraz z odległością od ładunku.

Natężenie pola elektrycznego od ładunku punktowego $q$ opisane jest równaniem:

Omówmy tę zależność, zaczynając od końca, czyli od $\frac{\vec{r}}{r}$. Wektor $\overrightarrow{r}$ to położenie punktu, w którym szukamy natężenia pola elektrycznego, względem ładunku punktowego (Rys. 2.). Jeśli wektor ten podzielimy przez jego długość $r$, otrzymamy wektor jednostkowy, czyli wektor o długości $1$ (tzw. wersorwersorwersor). Zatem czynnik $\frac{\vec{r}}{r}$ odpowiada wyłącznie za kierunek pola elektrycznego i decyduje o jego centralności. Charakter tego pola nie zmienia się, jeśli ładunek zostanie obrócony. Ten rodzaj symetrii nazywamy symetrią sferyczną lub kulistą.

RRC8fXi8sRIbs

Rys. 2. Na rysunku są dwa ładunki o jednakowej wartości q, ułożone jeden pod drugim. Na górze jest ładunek dodatni, przedstawiony jako kółko ze znakiem plus. Od ładunku wychodzi wektor położenia oznaczony jako r i skierowany poziomo w prawo. Koniec tego wektora jest punktem przyłożenia wektora natężenia pola elektrycznego, skierowanego poziomo w prawo i oznaczonego jako duże E. Na dole jest ładunek ujemny, przedstawiony jako kółko ze znakiem minus. Od ładunku wychodzi wektor położenia oznaczony jako r i skierowany poziomo w prawo. Koniec tego wektora jest punktem przyłożenia wektora natężenia pola elektrycznego, skierowanego poziomo w lewo i oznaczonego jako duże E.

Kolejny czynnik to $\frac{1}{4\pi r^2}$, czyli odwrotność pola powierzchni kuli o promieniu $r$. Natężenie pola reprezentowane jest przez gęstość linii pola. Ponieważ w rozważanym przykładzie jest tylko jedno źródło pola, gęstość linii pola maleje wraz z odległością od ładunku. Oznacza to, że jeżeli wyobrazimy sobie sferę o dowolnym promieniu otaczającą rozważany ładunek punktowy, to zawsze jej powierzchnię przecinać będzie ta sama liczba linii pola. Zatem natężenie pola centralnego maleje wraz z powierzchnią sfery otaczającej ładunek (Rys. 3.).

R1S4p8wkJ8ukY

Rys. 3. W centrum rysunku znajduje się ładunek dodatni q. Otaczają go dwie sfery przedstawione w postaci okręgów tak, że ładunek znajduje się w środku obu okręgów. Przy mniejszym okręgu zapisano pole powierzchni sfery, którą ten okrąg reprezentuje, literą duże S z indeksem dolnym 1. Przy większym okręgu zapisano pole powierzchni sfery, którą ten okrąg reprezentuje, literą duże S z indeksem dolnym 2. Z punktu leżącego na okręgu o mniejszym promieniu wychodzi wektor natężenia pola elektrycznego skierowany wzdłuż promienia na zewnątrz. Wektor oznaczony jest literą duże E z indeksem dolnym 1. Z punktu leżącego na okręgu o większym promieniu wychodzi wektor natężenia pola elektrycznego skierowany wzdłuż promienia na zewnątrz. Wektor oznaczony jest literą duże E z indeksem dolnym 2. Długość wektora duże E z indeksem dolnym 2 jest mniejsza niż długość wektora duże E z indeksem dolnym 1. Obok rysunku zapisane są dwa równania. Pierwsze równanie: natężenie pola elektrycznego duże E z indeksem dolnym 1 równa się ułamkowi, którego licznik to ładunek q, a mianownik to iloczyn przenikalności elektrycznej próżni epsilon z indeksem dolnym zero oraz powierzchni sfery duże S z indeksem dolnym 1. Drugie równanie: natężenie pola elektrycznego duże E z indeksem dolnym 2 równa się ułamkowi, którego licznik to ładunek q, a mianownik to iloczyn przenikalności elektrycznej próżni epsilon z indeksem dolnym zero oraz powierzchni sfery duże S z indeksem dolnym 2.

By wyjaśnić kolejną interesującą cechę pól centralnych, rozważmy układ dwóch identycznych ładunków punktowych (Rys. 4.). Zastanówmy się, jak będzie wyglądał wektor natężenia pola elektrycznego $\vec{E}$ w punkcie leżącym w identycznej odległości od obu ładunków. Ładunki wytwarzają pole centralne, więc wektory ${\vec{E}}_1$ i ${\vec{E}}_2$ będą leżeć na prostych łączących odpowiadające im źródła z rozważanym punktem. Jednocześnie będą miały tę samą długość. Aby wyznaczyć wektor natężenia wypadkowego pola elektrycznego od obu ładunków, możemy posłużyć się graficzną metodą dodawania wektorów. W metodzie tej, wektor będący sumą wektorów ${\vec{E}}_1$ i ${\vec{E}}_2$ leży na przekątnej równoległoboku wychodzącego z wierzchołka, gdzie wektory te zostały połączone. Koniec (grot) utworzonego wektora znajduje się w nowoutworzonym wierzchołku równoległoboku. Zatem wypadkowe natężenie będzie prostopadłe do prostej łączącej ładunki.

R1MfUbhRLJ56T

Rys. 4. Po obu stronach rysunku znajdują się dwa dodatnie, jednakowe ładunki. Między ładunkami poprowadzono poziomą linię. W połowie odcinka wyznaczonego przez ładunki narysowano linię pionową. W punkcie leżącym na tej linii pionowej, nad ładunkami, narysowano wektory natężenia pola elektrycznego ładunków. Od ładunku z lewej strony poprowadzono do tego punktu prostą. Wektor natężenia pola wytwarzanego przez lewy ładunek ma kierunek zgodny z tę prostą i jest skierowany w prawo i w górę. Wektor ten jest oznaczony literą duże E z indeksem dolnym 1. Od ładunku z prawej strony też poprowadzono do punktu prostą. Wektor natężenia pola wytwarzanego przez prawy ładunek ma kierunek zgodny z tę prostą i jest skierowany w lewo i w górę. Wektor ten jest oznaczony literą duże E z indeksem dolnym 2. Odległość od punktu do obu ładunków jest jednakowa i oznaczona literą małe r. Długości obu wektorów natężenia są jednakowe. Na tych wektorach zbudowano równoległobok. Pionowa przekątna równoległoboku wyznacza wektor wypadkowego natężenia pola elektrycznego, oznaczonego literą duże E.

Powyższe rozumowanie można uogólnić na układ (nieskończenie) wielu ładunków punktowych. Jeśli rozważymy ładunki punktowe rozłożone gęsto na prostej (Rys. 5.), wypadkowe pole elektryczne w dowolnym punkcie bliskim tej prostej będzie do niej prostej, a więc będzie miało symetrię walcową (cylindryczną). Jeśli rozważymy ładunki punktowe gęsto rozłożone na płaszczyźnie, wypadkowe pole będzie w dowolnym punkcie prostopadłe do tej płaszczyzny. Dodatkowo będzie ono polem jednorodnympole jednorodnepolem jednorodnym.

REuSZmqnpAfDo

Rys. 5. Rysunek przedstawia linie pola elektrycznego wielu ładunków punktowych ułożonych wzdłuż poziomego odcinka. Linie wychodzą z ładunków, a w większych odległościach w obszarach nad odcinkiem i pod nim stają się prawie pionowe i równoległe do siebie.

Wniosek jest więc następujący: każde pole elektrostatyczne można przedstawić jako superpozycję (czyli sumę, wypadkową) wielu pól centralnych.

Podsumowując: pole centralne ma następujące własności:

• symetria sferyczna (kulista) - pole nie zmieni się, jeśli jego źródło obrócimy o dowolny kąt.

• wartość natężenia pola w danej odległości od źródła jest stała,

• dowolne pole elektrostatyczne jest superpozycją pól centralnych.

Innym przykładem pola centralnego, poza polem wokół ładunku punktowego, jest pole od odpowiednio naładowanej powierzchniowo lub objętościowo kuli. Aby pole było centralne, gęstość ładunku (powierzchniowa bądź objętościowa) musi mieć symetrię sferyczną - w przypadku kuli może zależeć tylko od odległości od jej środka, a przypadku sfery - musi być wielkością stałą.

Słowniczek