Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Warto przeczytać

Co należy zrobić, aby wprawić bryłę sztywną w ruch obrotowy? Należy przyłożyć siłę F w pewnej odległości od środka masy. Wektor łączący oś obrotu bryły z punktem przyłożenia siły oznaczymy jako r . Moment siły definiujemy jako M=r×F , czyli iloczyn wektorowy przyłożonej siły i wektora r. Znamy to z życia codziennego – jeśli chcemy otworzyć drzwi, naciskając klamkę, to łatwiej to zrobić, łapiąc ją dalej od osi obrotu. Klamkę umieszcza się po stronie przeciwnej do osi obrotu drzwi. Łatwiej też odkręcić śrubę używając klucza francuskiego niż robiąc to palcami. Wszystkie te przykłady pokazują wydłużanie długości ramienia, na którym działa siła, co zwiększa wartość momentu siły, który powoduje ruch obrotowy. Jak opiszemy ruch obrotowy tej klamki, tych drzwi czy tej śruby dookoła osi, na której są zamontowane?

Przyjmijmy, że pierwotnie klamka była ustawiona poziomo, a po naciśnięciu obróciła się o pewien kąt 𝜶. Warto pamiętać, że kąt możemy wyrażać w stopniach lub w radianachRadianradianach. Stopień to 1/360 kąta pełnego i 1/90 kąta prostego. W układzie SI posługujemy się radianemRadianradianem – jeden radian jest to taki kąt, przy którym długość łuku jest taka sama jak długość promienia, jak na Rys. 1.

R2QAMehFTYgKu
Rys. 1. Obrazowa definicja radiana.

Jak szybko obróciła się nasza klamka? O tym informuje nas prędkość kątowa 𝝎. Zdefiniowana jest ona jako zmiana kąta w czasie. Wyrażana będzie zatem w radianachRadianradianach na sekundę lub stopniach na sekundę. Możemy też stosować częstotliwość f, mówiącą, ile pełnych obrotów wykonuje ciało w jednostce czasu. Związek między nimi jest następujący:

{ω=ΔαΔtf=ω2π

Prędkość kątowa może być stała lub zmienna. Jeśli na ciało nie działają momenty sił, lub działające momenty się równoważą, to prędkość kątowa będzie stała (w szczególności – będzie wynosiła zero). A jaki będzie rezultat, jeśli na ciało działa niezrównoważony moment siły M? Wtedy będzie się ono poruszać ruchem obrotowym przyspieszonym – prędkość kątowa będzie rosła lub malała. Jak szybko będzie się ona zmieniała? Wielkością, która będzie opisywać szybkość tej zmiany będzie przyspieszenie kątowe 𝜺. Z definicji będzie to zmiana prędkości kątowej w czasie, czyli:

ε=ΔωΔt.

Wartość przyspieszenia kątowego będzie zależała od tego, jaką wartość ma moment siły. Im większy, tym przyspieszenie będzie większe. Przyspieszenie kątowe będzie zależało też od momentu bezwładności I obracającej się bryły, gdzie I=inmiri2. Im większy moment bezwładności, tym mniejsze będzie przyspieszenie. Relacja między tymi wielkościami ma następującą postać:

ε=MI.

Z tej relacji widać, że jeśli wypadkowy moment siły jest zerowy, to i przyspieszenie kątowe jest zerowe. Zatem prędkość obrotowa jest stała, bryła obraca się ruchem jednostajnym. Równania ruchu obrotowego, wyrażające zmianę kąta w czasie, będą miały następującą postać:

{𝛂(𝐭)=𝛚0𝐭𝛚(𝐭)=𝛚0=𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝛆(𝐭)=0.

Jeśli wypadkowy moment siły będzie niezerowy, wtedy bryła będzie się poruszać ruchem przyspieszonym. Jeśli wartość momentu siły będzie stała, stałe będzie również przyspieszenie kątowe. Prędkość kątowa będzie wtedy liniową funkcją czasu. Równania ruchu przybiorą wtedy następującą postać:

{𝛂(𝐭)=𝛂0+𝛚0𝐭+𝛆0𝐭22𝛚(𝐭)=𝛚0+𝛆0𝐭𝛆(𝐭)=𝐌𝐈=𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭.

Wielkością, którą stosujemy do opisu ruchu obrotowego jest nie tylko moment siły, ale też moment pędu L . Dla punktu materialnego jest to iloczyn wektorowy wektora położenia i wektora pędu ciała:

L=r×p.

Wartość tego iloczynu wektorowego obliczamy zgodnie z definicją jako:

|L|=|r×p|=|r||p|sinα.

Jeśli założymy dla uproszczenia, że kąt α pomiędzy wektorami r oraz p jest kątem prostym, to wartość czynnika sin α wyniesie: sin 90° = 1. Wyrażenie uprości się do L = rp. Dla bryły sztywnej wartość momentu pędu jest to suma momentów pędu wszystkich punktów ciała, co możemy powiązać z momentem bezwładności i prędkością kątową:

L=inripi=inrimivi=inrimiωri=ωinmiri2=Iω.

Jeśli na bryłę nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą, to iloczyn tych wielkości ma stałą wartość. Wynika to z zasady zachowania momentu pędu:

L=const(kiedyMwypadkowy=0),
L1=L2,
I1ω1=I2ω2.

Ostatnią równość łatwo zaobserwować na placu zabaw – przyjrzyjmy się obracającej się karuzeli z dzieckiem w środku. Przyjmijmy, że obserwujemy karuzelę o konstrukcji umożliwiającej dziecku poruszanie się wzdłuż jej promienia, jak na Rys. 2.

R1OJuHVBj8HBf
Rysunek 2. Karuzela.

Jeśli dziecko zbliży się do środka karuzeli, zmniejszy się moment pędu układu – zatem zwiększy się jego prędkość kątowa. Jeśli dziecko przemieści się na zewnątrz karuzeli zaobserwujemy sytuację odwrotną – skoro zwiększył się moment bezwładności układu, zmniejsza się prędkość kątowa. W ten sam sposób łyżwiarz wykonuje szybkie piruety unosząc ręce do góry i zwalnia, rozkładając ręce w bok – zwiększając swój moment bezwładności zmniejsza prędkość kątową, z jaką się obraca.

Co trzeba zrobić, aby nadać ciału określony moment pędu? Należy przyłożyć do bryły niezrównoważony moment siły:

M=ΔLΔt.

Warto zauważyć, że te rozważania są spójne z poprzednimi – jeśli do powyższego wzoru wstawimy definicję momentu pędu, otrzymamy tę samą zależność między momentem siły, a momentem bezwładności i przyspieszeniem kątowym co wcześniej:

M=ΔLΔt=IΔωΔt=Iε.

Każdy punkt bryły sztywnej porusza się z tą samą prędkością kątową omega. Jednakże prędkość liniowa tych punktów zmienia się w zależności od odległości punktu od osi obrotu. Jak wyrazić energię kinetyczną ruchu obrotowego bryły sztywnej? Należy przeprowadzić sumowanie energii kinetycznej wszystkich jej punktów, uwzględniając zależność v=ωR. Wtedy:

Eobr=Ei=mivi22=mi(ωRi)22=miRi2ω22=ω22miRi2=ω22I=Iω22.

Słowniczek

Radian
Radian

(ang.: Radian) – jednostka miary łukowej kąta płaskiego. Definiuje się ją jako miarę kąta środkowego, w którym długość łuku wyznaczonego przez kąt środkowy jest równy promieniowy okręgu (z j. łacińskiego: 'radius' - promień).