Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Na lekcji nauczymy się rozwiązywać nierówności typu: tgx>a, tgx<a, tgxa, tgxa, gdzie a jest liczbą rzeczywistą. W tym celu będziemy korzystać z metody rozwiązywania równań trygonometrycznych typu tgx=a. Przypomnijmy stosowne twierdzenie:

o rozwiązywaniu równania tgx=a
Twierdzenie: o rozwiązywaniu równania tgx=a

Algorytm szukania rozwiązań równania tgx=a:

  1. znajdujemy jedno rozwiązanie x0 takie, że tgx0=a,

  2. zapisujemy wszystkie rozwiązania równania tgx=a: x=x0+kπ, gdzie k.

Pokażemy, jak rozwiązać nierówność tgx>a.

Najpierw rozwiążemy nierówność w przedziale -π2; π2. Taki przedział wybieramy, gdyż okresem zasadniczym funkcji tangens jest T=π, a wybrany przedział ma długość π.

R1CbUyu9ddfEV

Spójrzmy na powyższy rysunek.

Skoro chcemy rozwiązać nierówność tgx>a, będziemy badać, w jakich przedziałach funkcja y=tgx przyjmuje wartości większe od wartości funkcji y=a.

Zaznaczmy na niebiesko ten fragment wykresu funkcji y=tgx, który leży powyżej prostej y=a.

Zauważmy, że prosta y=a przecina wykres funkcji tangens dokładnie w jednym punkcie (funkcja tangens w przedziale -π2; π2 jest różnowartościowa i zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych), którego pierwsza współrzędna to x0 - jest to rozwiązanie równaniarozwiązanie równania tgx=arozwiązanie równania tgx=a w przedziale -π2; π2.

Zatem w przedziale -π2; π2 funkcja y=tgx przyjmuje wartości większe od wartości funkcji y=a dla argumentów xx0; π2.

Wykorzystując okresowość funkcji tangens, podajemy rozwiązanie nierówności tgx>a w całej dziedzinie: jest to suma wszystkich przedziałów x0+kπ,π2+kπ, gdzie k.

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność: tgx>33.

Rozwiązanie

Najpierw w przedziale -π2; π2 wskazujemy rozwiązanie równania tgx=33: jest nim x0=π6.

Stąd, rozwiązaniem nierówności w przedziale -π2; π2 jest zbiór: π6; π2.

Rz1qWYaojswOZ

Po uwzględnieniu całej dziedziny otrzymujemy rozwiązanie, czyli sumę przedziałów π6+kπ; π2+kπ, gdzie k.

Przykład 2

Rozwiążemy nierówność tgx33.

Rozwiązanie

Spójrzmy na poniższy wykres. Odczytujemy rozwiązanie nierówności w przedziale -π2; π2: jest to zbiór π6,π2).

RIfsZpNOilP8T

Korzystając z przykładu poprzedniego otrzymujemy rozwiązanie, którym jest suma przedziałów π6+kπ,π2+kπ), gdzie k.

Pokażemy teraz, jak rozwiązać nierówność tgx<a.

Najpierw rozwiążemy nierówność w przedziale -π2; π2. Taki przedział wybieramy, gdyż okresem zasadniczym funkcji tangens jest T=π, a wybrany przedział ma długość π.

RWvdTCKFXoxGQ

Spójrzmy na rysunek.

Skoro chcemy rozwiązać nierówność tgx<a, będziemy badać, w jakich przedziałach funkcja y=tgx przyjmuje wartości mniejsze od wartości funkcji y=a.

Zaznaczmy na niebiesko ten fragment wykresu funkcji y=tgx, który leży poniżej prostej y=a.

Zauważmy, że prosta y=a przecina wykres funkcji tangens dokładnie w jednym punkcie (funkcja tangens w przedziale -π2; π2 jest różnowartościowa i zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych), którego pierwsza współrzędna to x0 - jest to rozwiązania równania tgx=a w przedziale -π2; π2.

Zatem w przedziale -π2; π2 funkcja y=tgx przyjmuje wartości mniejsze od wartości funkcji y=a dla argumentów x-π2; x0.

Wykorzystując okresowość funkcji tangens, podajemy rozwiązanie nierówności tgx<a: jest to suma wszystkich przedziałów -π2+kπ; x0+kπ, gdzie k.

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność: tgx<-3.

Rozwiązanie

Najpierw w przedziale -π2; π2 podajemy rozwiązanie równania tgx=-3: jest to x0=-π3.

Korzystając z poniższego wykresu, otrzymujemy rozwiązanie nierówności tgx<-3 w przedziale-π2; π2, którym jest zbiór -π2; -π3.

R1PPEszCuC7Tf

Stąd też, po uwzględnieniu całej dziedziny otrzymujemy rozwiązanie nierówności tgx<-3, którym jest suma przedziałów w postaci -π2+kπ; -π3+kπ, gdzie k.

Przykład 4

Rozwiążemy nierówność tgx-3.

Rozwiązanie

Spójrzmy na poniższy wykres. Odczytujemy rozwiązanie nierówności w przedziale -π2; π2: jest to zbiór (-π2;-π3.

RPs0I7NpWoJv9

Korzystając z przykładu poprzedniego, otrzymujemy rozwiązanie, którym jest suma przedziałów w postaci (-π2+kπ,-π3+kπ, gdzie k.

Słownik

rozwiązanie równania tgx=a
rozwiązanie równania tgx=a

jeżeli dla x0 spełniony jest warunek tgx0=a, to wszystkie rozwiązania równania tgx=a są postaci: x=x0+kπ, gdzie k