Przeczytaj

Dzielnik liczby naturalnej

Definicja: Dzielnik liczby naturalnej

Dzielnikiem liczby naturalnej $m$ nazywamy taką liczbę naturalną dodatnią $d$ , dla której istnieje dokładnie jedna liczba naturalna $k$ taka, że $m = d \cdot k$ .

Dzielnik całkowity liczby całkowitej

Definicja: Dzielnik całkowity liczby całkowitej

Dzielnikiem całkowitym liczbydzielnik całkowity liczby mDzielnikiem całkowitym liczby całkowitej $m$ nazywamy taką niezerową liczbę całkowitą $d$ , dla której istnieje dokładnie jedna liczba całkowita $k$ taka, że $m = d \cdot k$ .

Zatem ilekroć będzie mowa o dzielniku, będziemy rozważać dzielnik będący liczbą naturalną.

Przykład 1

$3 | 6$ , bo $6 = 2 \cdot 3$

$- 3 | 12$ , bo $12 = - 3 \cdot (- 4)$

$- 3 | (- 18)$ , bo $- 18 = - 3 \cdot 6$

$3 | (- 21)$ , bo $- 21 = 3 \cdot (- 7)$

Dzielniki liczbydzielnik liczby mDzielniki liczby naturalnej $m$ mniejsze od liczby $m$ nazywamy dzielnikami właściwymi liczby $m$ .

Przykład 2

Dzielniki liczby $6$ to $1$ , $2$ , $3$ i $6$ . Dzielniki właściwe liczby $6$ to $1$ , $2$ , $3$ .

Dzielniki liczby $28$ to $1$ , $2$ , $4$ , $7$ , $14$ , $28$ . Dzielniki właściwe liczby $28$ to $1$ , $2$ , $4$ , $7$ , $14$ .

Ważne!

Zauważ, że suma dzielników właściwych liczb $6$ i $28$ jest równa tym liczbom ( $1 + 2 + 3 = 6$ oraz $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$ ). Takie liczby nazywamy doskonałymi.

Przykład 3

Suma dzielników właściwych liczby $10$ to $1 + 2 + 5 = 8$ .

Suma dzielników właściwych liczby $12$ to $1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16$ .

Liczbę naturalną nazywamy deficytową, jeśli suma jej dzielników właściwych jest mniejsza niż ona sama.

Liczba $10$ jest liczbą deficytową, bo wszystkie jej dzielniki właściwe to $1$ , $2$ i $5$ , zaś ich suma to $1 + 2 + 5 = 8 < 10$ .

Liczbę naturalną nazywamy nadmiarową, jeśli suma jej dzielników właściwych jest większa niż ona sama.

Liczba $12$ jest liczbą nadmiarową, bo wszystkie jej dzielniki właściwe to $1$ , $2$ , $3$ , $4$ i $6$ , zaś ich suma to $1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12$ .

Liczby zaprzyjaźnione to para różnych liczb naturalnych, takich że suma dzielników właściwych każdej z tych liczb równa się drugiej liczbie.

Przykład 4

Rozważmy liczby $220$ i $284$ .

Dzielniki właściwe liczby $220$ to: $1$ , $2$ , $4$ , $5$ , $10$ , $11$ , $20$ , $22$ , $44$ , $55$ , $110$ , zaś ich suma to $1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284$ .

Dzielniki właściwe liczby $284$ to: $1$ , $2$ , $4$ , $71$ , $142$ , zaś ich suma to $1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220$ .

Oznacza to, że liczby $220$ i $284$ to liczby zaprzyjaźnione.

Liczba pierwsza to liczba naturalna, która posiada dokładnie dwa różne dzielniki: $1$ i samą siebie.

Przykład 5

Liczba $7$ jest liczbą pierwszą, ponieważ dzieli się tylko przez $1$ i samą siebie.

Liczba 6 nie jest liczbą pierwszą, ponieważ dzieli się przez liczby $1$ , $2$ , $3$ , $6$ .

Liczbę naturalną, która posiada więcej niż dwa dzielniki nazywamy liczbą złożoną.

Ważne!

Zauważ, że liczby $0$ i $1$ nie są ani liczbami pierwszymi, ani liczbami złożonymi.

Przy szukaniu dzielników liczby przydają się cechy podzielnościcecha podzielnościcechy podzielności. Przypomnimy teraz kilka z nich.

RIMafevplVmz0

Ilustracja przedstawia kule bilardowe z numerami: dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, osiem, dziewięć dwanaście, dwadzieścia pięć. Opisane są: 1. Kula z numerem dwa: Liczba n dzieli się przez dwa dokładnie wtedy, gdy cyfra znajdująca się w rzędzie jedności liczby n dzieli się przez dwa (czyli w rzędzie jedności jest jedna z cyfr: zero, dwa, cztery sześć, osiem., 2. Kula z numerem trzy: Liczba n dzieli się przez trzy dokładnie wtedy, gdy suma cyfr liczby n dzieli się przez trzy., 3. Kula z numerem cztery: Liczba n dzieli się przez cztery dokładnie wtedy, gdy liczba utworzona z cyfr znajdujących się w rzędzie dziesiątek i rzędzie jedności (w tej samej kolejności) liczby n dzieli się przez cztery (czyli w rzędzie dziesiątek i w rzędzie jedności znajdują się cyfry: zero, cztery, osiem, dwanaście, szesnaście, dziewięćdziesiąt dwa, dziewięćdziesiąt sześć., 4. Kula z numerem pięć: Liczba n dzieli się przez pięć dokładnie wtedy, gdy cyfra znajdująca się w rzędzie jedności liczby n dzieli się przez pięć (czyli w rzędzie jedności jest jedna z cyfr: zero, pięć)., 5. Kula z numerem sześć: Liczba n dzieli się przez sześć dokładnie wtedy, gdy liczba n dzieli się przez dwa i przez trzy., 6. Kula z numerem osiem: Liczba n dzieli się przez osiem dokładnie wtedy, gdy liczba utworzona z cyfr znajdujących się w rzędzie setek, w rzędzie dziesiątek i w rzędzie jedności (w tej samej kolejności) liczby n dzieli się przez osiem (czyli w rzędzie setek, w rzędzie dziesiątek i w rzędzie jedności znajdują się cyfry: osiem, szesnaście, dwadzieścia cztery, trzydzieści dwa, dziewięćset osiemdziesiąt cztery, dziewięćset dziewięćdziesiąt dwa., 7. Kula z numerem dziewięć: Liczba n dzieli się przez dziewięć dokładnie wtedy, gdy suma cyfr liczby n dzieli się przez dziewięć., 8. Kula z numerem dwanaście: Liczba n dzieli się przez dwanaście dokładnie wtedy, gdy liczba n dzieli się przez cztery i przez trzy., 9. Kula z numerem dwadzieścia pięć: Liczba n dzieli się przez dwadzieścia pięć dokładnie wtedy, gdy liczba utworzona z cyfr znajdujących się w rzędzie dziesiątek i rzędzie jedności (w tej samej kolejności) liczby n dzieli się przez dwadzieścia pięć (czyli w rzędzie dziesiątek i w rzędzie jedności znajdują się cyfry: zero, dwadzieścia pięć, pięćdziesiąt, siedemdziesiąt pięć).

Zwróćmy przy okazji uwagę na wyrażenia typu “cyfra znajdująca się w rzędzie jedności dzieli się przez $2$ ” oraz “suma cyfr”. Cyfr nie można dodawać ani dzielić, ponieważ są to znaki graficzne do zapisywania liczb. Powyższe wyrażenia funkcjonują jako związki frazeologiczne i są skrótami odpowiednio od “liczba jednocyfrowa reprezentowana przez cyfrę znajdującą się w rzędzie jedności” oraz “suma liczb jednocyfrowych reprezentowanych przez cyfry danej liczby”.

Chociaż cechy podzielności łatwo się stosuje, to ich formalne dowody nie zawsze są proste i często wykorzystują pojęcia takie jak kongruencje (czyli przystawanie liczb modulo), które wykraczają poza program szkoły średniej.

Przykład 6

Wyznaczymy cyfrę oznaczoną literą $x$ tak, aby liczba $12345678 x$ była podzielna przez $6$ .

Aby liczba była podzielna przez $6$ wystarcza, aby była podzielna przez $2$ i przez $3$ .

Z podzielności przez $2$ wynika, że $x$ jest jedną spośród liczb: $0$ , $2$ , $4$ , $6$ , $8$ .

Suma cyfr rozważanej liczby to $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + x = 36 + x$ . Będzie ona podzielna przez 3, gdy $x$ będzie równe $0$ , $3$ , $6$ lub $9$ . Zatem jedynymi liczbami spełniającymi oba warunki są $0$ i $6$ .

Stąd $x = 0$ lub $x = 6$ .

Wielokrotnością liczbywielokrotność liczby mWielokrotnością liczby naturalnej $m$ nazywamy każdy jej iloczyn przez dodatnią liczbę naturalną $k$ . Zatem kolejnymi wielokrotnościami liczby $m$ są: $m$ , $2 m$ , $3 m$ , $4 m$ , $. . .$ , $k \cdot m$ , $. . .$

Ważne!

Zauważmy, że liczba naturalna ma nieskończenie wiele wielokrotności.

Całkowitą wielokrotnością liczbycałkowita wielokrotność liczby xCałkowitą wielokrotnością liczby rzeczywistej $x$ nazywamy każdy jej iloczyn przez liczbę całkowitą $k$ .

Przykład 7

Wielokrotnościami liczby $3$ są liczby $3$ , $6$ , $9$ , $12$ , $. . .$ , $3 k$ , $. . .$ , gdzie $k$ jest dodatnią liczbą naturalną.

Przykład 8

Rozwiązując równania trygonometryczne spotkasz się z całkowitymi wielokrotnościami liczby $π$ : $. . .$ , $- 3 π$ , $- 2 π$ , $- π$ , $0$ , $π$ , $2 π$ , $3 π$ , $. . .$

Słownik

cecha podzielności

sposób (metoda, algorytm) umożliwiający sprawdzenie, czy jedna liczba naturalna $d$ dzieli inną liczbę naturalną $m$ bez wykonywania dzielenia; zwykle sprowadza się do sprawdzenia, czy inna liczba – mniejsza od liczby $m$ – dzieli się przez $d$ , co jest równoważne podzielności $m$ przez $d$

dzielnik liczby m

liczba naturalna dodatnia $d$ jest dzielnikiem liczby naturalnej $m$ , gdy istnieje liczba naturalna $k$ , dla której $m = d \cdot k$

dzielnik całkowity liczby m

niezerowa liczba całkowita $d$ jest dzielnikiem całkowitym liczby całkowitej $m$ , gdy istnieje liczba całkowita $k$ , dla której $m = d \cdot k$

wielokrotność liczby m

liczba naturalna w jest wielokrotnością liczby naturalnej $m$ , gdy istnieje dodatnia liczba naturalna $k$ , dla której $w = m \cdot k$

całkowita wielokrotność liczby x

liczba rzeczywista w jest całkowitą wielokrotnością liczby $x$ , gdy istnieje liczba całkowita $k$ , dla której $w = m \cdot k$

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Słownik