Przeczytaj

WEKTOR JAKO PRZEMIESZCZENIE

Jedną z podstawowych wielkości fizycznych jest przemieszczenieprzemieszczenieprzemieszczenie, czyli wektor o początku w punkcie będącym położeniem początkowym ciała i końcu w punkcie będącym położeniem końcowym.

R1dc0WyVkxrnW

Ilustracja składa się z dwóch części. Lewa strona przedstawia zdjęcie drogi w zielonym terenie górzystym. Droga jest kręta i wiedzie z naniesionego graficznie punktu A znajdującego na niższym poziomie, do punktu B znajdującego się na wyższym poziomie. Na krętą drogę naniesiony jest fragment krzywej S w kształcie tej drogi. Z punktu A poprowadzony jest również wektor o końcu w punkcie B. Grafika naniesiona na zdjęcie jest przedstawiona po lewej stronie na białym tle, przy czym oznaczenia pozostają takie same, jak na zdjęciu.

Jeżeli wektor przemieszczenia ma tę samą długość co tor ruchu, to taki ruch nazywamy ruchem prostoliniowymruch prostoliniowy, ruch krzywoliniowyruchem prostoliniowym. W przypadku ruchu krzywoliniowegoruch prostoliniowy, ruch krzywoliniowyruchu krzywoliniowego długość toru ruchu jest większa niż długość wektora przemieszczenia.

Przemieszczenie opisane jako “ $5$ metrów” możemy utożsamić z wektorem na osi o współrzędnej [ $5$ ], jeśli przemieszczenie nastąpiło w stronę, w którą liczby rosną (zwyczajowo w prawo), lub [ $- 5$ ], jeśli przemieszczenieprzemieszczenieprzemieszczenie nastąpiło w stronę, w która liczby maleją (zwyczajowo w lewo). W obu przypadkach długość wektora przemieszczenia jest równa $5$ .

WEKTOR POŁOŻENIA

Jeśli na płaszczyźnie wyróżnimy jeden punkt, nazwijmy go $O$ , to położenie wszystkich pozostałych punktów możemy określać względem tego wyróżnionego punktu. To znaczy: wektor o początku w punkcie $O$ i końcu w punkcie $A$ ( $\vec{O A}$ ) nazywamy wektorem położenia lub wektorem wodzącym punktu $A$ . Jeżeli punkt zmienia swoje położenie względem wyróżnionego punktu, dochodzi jednocześnie do zmiany wektora położenia. Na rysunku poniżej obiekt znajdujący się w punkcie $A$ przemieścił się do punktu $B$ . Jeśli przez $\vec{r}_{A}$ oznaczymy wektor położenia punktu $A$ , przez wektor $\vec{r}_{B}$ położenia punktu $B$ , zaś przez $∆ \vec{r}$ wektor $\vec{A B}$ , wówczas $\vec{r}_{A} + Δ \vec{r} = \vec{r}_{B}$ , czyli $Δ \vec{r} = \vec{r}_{B} - \vec{r}_{A}$ . Wektor $∆ \vec{r}$ nazywamy zmianą wektora położenia.

RhhK3uA3Cft8c

Na ilustracji przedstawiony jest fragment częściowo wypukłej krzywej (góra obrazka), na którą naniesione są dwa punkty: A oraz B. Z punktu A do punktu B poprowadzony jest wektor A B. Pod krzywą po lewej stronie znajduje się punkt O, z którego poprowadzone są dwa wektory: wektor O A opisany jako wektor R A oraz wektor O B opisany jako wektor R B. Wektor A B opisany jest z kolei jako wektor delta R.

PRĘDKOŚĆ WEKTOROWA

Prędkość wektorową średnią ( $\vec{v}_{s}$ ) definiujemy jako iloraz zmiany wektora położenia ( $∆ \vec{r}$ ) do czasu ( $∆ t$ ), w jakim ta zmiana nastąpiła.

$Δ \vec{r} = \vec{r}_{B} - \vec{r}_{A} \vec{v}_{s} = \frac{Δ \vec{r}}{Δ t}$

Długość wektora opisującego prędkość nazywamy szybkością.

Przykład 1

Obliczymy średnią prędkość wektorową, jeśli ciało porusza się z punktu $A = (2; 1)$ do punktu $B = (5; - 3)$ w czasie $Δ t = 2$ .

Obliczmy współrzędne zmiany wektora położenia $Δ \vec{r} = [5; - 3] - [2; 1] = [3; - 4]$ .
Ponieważ średnia prędkość wektorowa to iloraz zmiany wektora przemieszczenia przez czas, w którym ta zmiana zachodzi otrzymujemy $\vec{v}_{s} = \frac{| 3; - 4 |}{2} = [1, 5; - 2]$ . Zatem średnia prędkość wektorowa ma współrzędne $[1, 5; - 2]$ .

PRZYSPIESZENIE JAKO WEKTOR

Przyspieszenie średnie (ozn. $\vec{a}$ ) definiujemy jako stosunek zmiany wektora prędkości (ozn. $∆ \vec{v}$ ) do czasu (ozn. $∆ t$ ), w jakim ta zmiana nastąpiła.

$\vec{a} = \frac{Δ \vec{v}}{Δ t}$ .

SIŁA JAKO WEKTOR

W mechanice klasycznej siłę (ozn. $\vec{F}$ ) można zdefiniować jako iloczyn masy ( ozn. $m$ ) i przyspieszenia (ozn. $\vec{a}$ ):

$\vec{F} = m \vec{a}$

Przykład 2

Obliczymy współrzędne wektora siły, która ciału o masie $5 kg$ nadaje przyspieszenie opisujące się wektorem o współrzędnych $[3; 2]$ .

Ponieważ siła jest iloczynem masy i wektora przyspieszenia, więc $\vec{F} = m \cdot \vec{a} = 5 \cdot [3; 2] = [15; 10]$ . Zatem opisana siła ma współrzędne $[15; 10]$ .

PRACA JAKO ILOCZYN SKALARNY WEKTORÓW

Ogólnie praca to miara ilości energii przekazywanej między układami. Jeżeli ruch ciała jest prostoliniowy a wektor siły ( $\vec{F}$ ) jest stały, pracę (W) tej siły określa wzór $W = \vec{F} \circ \vec{s} = | \vec{F} | \cdot | \vec{s} | \cdot \cos ∠ (\vec{F}, \vec{s})$ , gdzie $\vec{s}$ jest wektorem przemieszczenia, zaś $∠ (\vec{F,} \vec{s})$ jest kątem między wektorem siły a wektorem przemieszczenia. W lekcji o temacie “Działania na wektorach w układzie współrzędnych” opisaliśmy szczegółowo zagadnienie iloczynu skalarnego, który pojawia się w tym wzorze.

Przykład 3

Obliczymy pracę wykonaną nad ciałem, które przemieściło się z punktu $A = (- 2; 3)$ do punktu $B = (3; 1)$ pod wpływem siły o współrzędnych $[3; 4]$ .

Wektor przemieszczenia ma współrzędne $[3 - (- 2); 1 - 3] = [5; - 2]$ . Zatem praca wykonana pod wpływem tej siły ma wartość $[3; 4] \circ [5; - 2] = 3 \cdot 5 + 4 \cdot (- 2) = 15 - 8 = 7$ .

Słownik

przemieszczenie

wektor o początku w punkcie będącym położeniem początkowym ciała i końcu w punkcie będącym położeniem końcowym

ruch prostoliniowy, ruch krzywoliniowy

jeżeli wektor przemieszczenia ma tę samą długość co tor ruchu, to taki ruch nazywamy ruchem prostoliniowym; jeśli długość toru ruchu jest większa niż długość wektora przemieszczenia, mówimy o ruchu krzywoliniowym

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych