Funkcja

Przypomnijmy definicję funkcji.

Do opisu funkcji najczęściej wykorzystujemy:

• graf,

• opis słowny,

• tabelkę,

• zbiór par uporządkowanych,

• wykres,

• wzór.

Prześledźmy powyższe sposoby, analizując przykłady.

Graf

RSFcyeh2YTBaT1

Ilustracja przedstawia graf. Mamy tu dwa zbiory w postaci pionowo ustawionych elips: zbiór X po lewej stronie i zbiór Y po prawej. Elementy zbioru X to kolejno: A, G, H, K, C, I, J, B. Elementy zbioru Y to: D, L, M, N, O, R, P, Q, E. Przyporządkowanie elementów reprezentują strzałki biegnące od elementów ze zbioru X do odpowiadających im elementom ze zbioru Y. Każdy element ze zbioru X ma swoje przyporządkowanie, jednak w zbiorze Y jeden element pozostaje bez pary, jest to litera E. Przyporządkowanie jest następujące: A z D, G z L, H z M, K z N, C z O, I z R, J z Q, B z P.

Z grafu można odczytać, że dziedziną funkcji jest zbiór $X=\left\{A, B, G, H, I, J, K, C\right\}$, zaś przaciwdziedziną zbiór $Y=\left\{D, E, L, M, N, O, Q, P, R\right\}$. Strzałki pokazują sposób przyporządkowania elementom dziedziny elementów przeciwdziedziny. Zapis $A\to D$ czytamy: dla argumentu $A$ wartość funkcji jest równa $D$, czyli $f\left(A\right)=D$.

Opis słowny

Funkcję $f$ opisujemy pełnym zdaniem, podajemy jej dziedzinę i dokładny opis przyporządkowania. Np.: „Funkcja $f$ każdemu uczniowi klasy Ia przyporządkowuje jego numer w dzienniku.”

Znając opis funkcji można podać wartości funkcji przyporządkowane poszczególnym argumentom.

Tabelka

Tabelka zbudowana jest z dwóch wierszy. W górnym wierszu znajdują się argumenty funkcji, czyli elementy dziedziny funkcji. W dolnym wierszu umieszczone są wartości, jakie funkcja przyjmuje dla danych argumentów.

Z tabelki możemy na przykład odczytać, że dla argumentu $1$ funkcja f przyjmuje wartość $7$, natomiast wartość $0$ odpowiada argumentowi $3$.

Zbiór par uporządkowanych

Funkcję można opisać za pomocą zbioru par uporządkowanych postaci $\left(x,f\left(x\right)\right)$, gdzie  pierwszy element pary oznacza argument, zaś drugi to wartość funkcji dla danego elementu.

Np.: $\left\{\left(3,8\right), \left(4,9\right), \left(7,24\right), \left(8,32\right)\right\}$.

Zapis  $\left(4, 9\right)$ oznacza, że $f\left(4\right)=9$.

Wykres

R1VKgGuVic5TT1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do siedmiu. Na płaszczyźnie zaznaczone są cztery punkty o współrzędnych kolejno: $\left(-2;-1\right), \left(-1;2\right), \left(2;3\right), \left(4;4\frac{1}{2}\right)$.

Rysunek przedstawia wykres funkcjiwykres funkcjiwykres funkcji $f$. Wykres składa się  z czterech punktów. Współrzędne tych punktów to: $\left(-2,-1\right)$, $\left(-1, 2\right)$, $\left(2,3\right)$, $\left(4;4,5\right)$.

Z wykresu możemy odczytać na przykład, że $f\left(-1\right)=2$ oraz że $f\left(x\right)=4,5$ tylko wtedy, gdy $x=4$. Wykres funkcji składa się tylko z tylu punktów, ile elementów znajduje się w dziedzinie funkcji.

Wzór funkcji

Są trzy główne  sposoby zapisywania wzoru funkcji.  Na przykład:

• $f:x\to \mathrm{0,5}{x}^2$, jeżeli $x\in {\mathrm{ℝ}}_{+}$,

• $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}{x}^2$, jeżeli $x\in {\mathrm{ℝ}}_{+}$,

• $y=\mathrm{0,5}{x}^2$, jeżeli $x\in {\mathrm{ℝ}}_{+}$.

Znając wzór funkcji możemy stwierdzić, czy dany punkt należy do wykresu funkcjiwykres funkcjiwykresu funkcji. Możemy również obliczyć wartość funkcji dla danego argumentu.

Np.: $f\left(4\right)=0,5·4^2=8$, $f\left(6\right)=0,5·6^2=18$.

Przykład 1

Dane są dwa zbiory $X=\left\{2, 5, 7, 20, 32\right\}$ oraz $Y=\left\{-2, -4, -6, 0, 6\right\}$. Rozważmy  funkcję, które odwzorowuje zbiór $X$ w zbiór $Y$ i opiszmy ją różnymi sposobami.

Rozwiązanie:

Opis słowny – każdej liczbie parzystej ze zbioru $X$ przyporządkowujemy liczbę $0$, a każdej liczbie nieparzystej liczbę $6$.

Dziedzina funkcji – $D_f=\left\{2, 5, 7, 20, 32\right\}$

Zbiór wartości – $Z{W}_f=\left\{0, 6\right\}$

Graf

R5k6Rd1JiyPIK

Ilustracja przedstawia graf. Mamy dwa zbiory w postaci pionowo ustawionych elips: zbiór X po lewej stronie i zbiór Y po prawej. Elementy zbioru X to kolejno: $2,5,7,20,32$. Elementy zbioru Y to: $-2,-4,-6,0,6$. Przyporządkowanie elementów reprezentują strzałki biegnące od elementów ze zbioru X do odpowiadających im elementom ze zbioru Y. Każdy element ze zbioru X ma swoje przyporządkowanie, jednak w zbiorze Y wykorzystano tylko dwa z pięciu elementów. Przyporządkowanie jest następujące: $\left(2,0\right), \left(5,6\right), \left(7,6\right), \left(20,0\right), \left(32,0\right)$.

Tabelka

$x$	$2$	$5$	$7$	$20$	$32$
$f\left(x\right)$	$0$	$6$	$6$	$0$	$0$

Zbiór par uporządkowanych

$\left\{\left(2,0\right), \left(5,6\right), \left(7,6\right), \left(20,0\right), \left(32,0\right)\right\}$.

Wykres

R14DNBLfivwXD

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do trzydziestu dwóch, przy czym po cyfrze osiem oś X narysowana jest linią przerywaną, następna liczba zaznaczona na osi to dwadzieścia, dalej oś jest narysowana ponownie linią przerywaną i kolejna liczba na osi to trzydzieści dwa. Linia przerywana informuje, że na potrzeby rysunku pominięta została część osi. Układ współrzędnych składa się także z pionowej osi Y od minus trzech do siedmiu. Na płaszczyźnie zaznaczone są punkty, które prezentuje poprzedni graf. Punkty te mają współrzędne: $\left(2,0\right), \left(5,6\right), \left(7,6\right), \left(20,0\right), \left(32,0\right)$.

Wzór

Funkcja $f$ zapisana jest  za pomocą wzoru:

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}0, \mathrm{jeżeli} x=2 \mathrm{lub} x=20 \mathrm{lub} x=32\\ 6, \mathrm{jeżeli} x=5 \mathrm{lub} x=7\end{array}\right.$

Przykład 2

Funkcja $f$ każdej liczbie dodatniej $x$ przyporządkowuje objętość sześcianu o krawędzi długości $x$. Opiszemy  tę funkcję różnymi sposobami.

Rozwiązanie:

Wzór funkcji

$f\left(x\right)=x^3$

Dziedzina funkcji – $D_f={\mathrm{ℝ}}_{+}$

Zbiór wartości – $Z{W}_f={\mathrm{ℝ}}_{+}$

Tabelka

Dziedzina funkcji jest zbiorem nieskończonym. Sporządzamy tabelkę częściową dla pięciu liczb rzeczywistych dodatnich.

$x$	$1$	$1,5$	$2$	$2,5$	$3$
$f\left(x\right)$	$1$	$3,375$	$8$	$15,625$	$27$

Zbiór par uporządkowanych (częściowy)

$\left\{\left(1; 1\right), \left(1,5; 3,375\right), \left(2; 8\right), \left(2,5; 15,625\right), \left(3; 27\right)\right\}$

Wykres (częściowy)

RtGt4siK96qkI

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do siedmiu. Na płaszczyźnie zaznaczone są cztery punkty: niezamalowany punkt $\left(0;0\right)$ oraz zamalowane punkty: $\left(1;1\right),\left(1,5;3,5\right),\left(2;8\right)$. Pomiędzy punktami narysowane jest prawe górne ramię paraboli, przy czym punkt $\left(0;0\right)$ nie należy do wykresu, ponieważ jest niezamalowany.

Słownik