Nierównością wielomianową stopnia $n$ nazywamy każdą nierówność postaci:

$W\left(x\right)>0$ lub $W\left(x\right)\ge 0$ lub $W\left(x\right)<0$ lub $W\left(x\right)\le 0$,

gdzie:
$W$ – jest wielomianem stopnia $n$.

Rozwiążemy nierówność $\left(x-4\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)\le 0$.

Aby rozwiązać nierówność, posłużymy się wykresem funkcji wielomianowej $y=\left(x-4\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)$. Funkcja ma trzy pojedyncze miejsca zerowe $\left(-1\right)$, $2$, $4$.

Narysujemy teraz szkic wykresu funkcji wielomianowej. Dokładny wykres możemy otrzymać korzystając z programów komputerowych. Dla nas najważniejsze jest określenie, dla jakich argumentów $x$ wykres funkcji wielomianowej znajduje się poniżej osi $X$ lub na osi $X$.

Aby wykonać szkic wykresu  funkcji wielomianowej, zaznaczamy na osi X  miejsca zerowe wielomianu (jeżeli istnieją). Przez te punkty na osi $X$ przechodzi wykres. Ma on kształt „wężyka” rysowanego linią ciągłą. Wykres spotykając się z pojedynczym pierwiastkiem wielomianu „przechodzi” na drugą stronę osi $X$.

Ważne jest również jak rozpoczynamy rysowanie wykresu. Najczęściej zaczynamy rysować wykres od strony prawej do lewej.

Zaczynamy od góry, wtedy gdy współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest dodatni.

W naszym przykładzie współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest równy 1.

RUMIT7mP8saRa

Rysunek przedstawia poziomą oś X oraz naniesiony na nią wykres wielomianu, który jest w kształcie nieregularnej poziomej fali. Na osi zaznaczono zamalowanymi kółkami następujące punkty: minus 1, 2 oraz 4 i przeprowadzono przez nie wykres wielomianu w taki sposób, że od minus nieskończoności do minus 1 wykres znajduje się pod osią, co oznaczono minusami między osią a wykresem. W punkcie minus 1 wykres przechodzi nad oś i wraca pod oś w punkcie 2. Od punktu 2 do 4 biegnie pod osią, co również zaznaczono minusami. W czwórce przebija nad oś.

W tych przedziałach, gdzie wykres znajduje się pod osią $X$ lub na osi $X$ funkcja wielomianowa przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero (niedodatnie).

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $\left(-\infty , -1\right.⟩\cup ⟨2, 4⟩$.

Rozwiążemy nierówność $-x{\left(x-1\right)}^2\left(x+3\right)>0$.

Obliczymy takie x, dla których  odpowiednie wyrażenie jest równe zero.

$-x{\left(x-1\right)}^2\left(x+3\right)=0$

$-x=0$ lub ${\left(x-1\right)}^2$ lub $\left(x+3\right)=0$

$x=0$ lub $x=1$ (podwójny pierwiastek) lub $x=-3$

Sporządzimy  teraz szkic wykresu funkcji wielomianowej $y=-x{\left(x-1\right)}^2\left(x+3\right)$.

W tym celu najpierw zaznaczamy na osi $X$ miejsca zerowe wielomianu. Wykres funkcji zaczniemy rysować od prawej strony i od dołu, ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze niewiadomy jest ujemny.

Należy również zwrócić uwagę, że liczba $1$ jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu, zatem wykres „odbija” się od osi $X$.

R12PItc1HPyBu

Rysunek przedstawia poziomą oś X oraz naniesiony na nią wykres wielomianu, który jest w kształcie nieregularnej poziomej fali. Na osi zaznaczono niezamalowanymi kółkami następujące punkty: minus 3, 0 oraz 1 i przeprowadzono przez nie wykres wielomianu w taki sposób, że od minus nieskończoności do minus 3 wykres znajduje się pod osią. W punkcie minus 3 wykres przechodzi nad oś i wraca pod oś w punkcie 0. Od zera do 1 biegnie pod osią, po czym odbija w jedynce pod oś i dalej biegnie pod osią.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $\left(-3, 0\right)$.

Rozwiążemy nierówność $-x^3{\left(x+1\right)}^2{\left(2-x\right)}^2\ge 0$.

Obliczymy takie x, dla których odpowiednie wyrażenie jest równe zero.

$-x^3{\left(x+1\right)}^2{\left(2-x\right)}^2=0$

$-x^3=0$ (potrójny pierwiastek) lub ${\left(x+1\right)}^2=0$ (podwójny pierwiastek) lub ${\left(2-x\right)}^2=0$ (podwójny pierwiastek)

Wykres zaczniemy rysować od dołu.

R1ciNCk2GGqCR

Rysunek przedstawia poziomą oś X oraz naniesiony na nią wykres wielomianu, który jest w kształcie nieregularnej poziomej fali. Na osi zaznaczono zamalowanymi kółkami następujące punkty: minus 1, 0 oraz 2 i przeprowadzono przez nie wykres wielomianu w taki sposób, że od minus nieskończoności do minus 1 wykres znajduje się nad osią, co oznaczono plusami między wykresem a osią. W punkcie minus 1 wykres odbija nad oś i dalej biegnie nad osią, co również oznaczono plusami. W zerze przebija pod oś i biegnie pod nią do punktu 2. W dwójce odbija znowu pod oś.

$x\in \left(-\infty , 0\right.⟩\cup \left\{2\right\}$

Zbiór rozwiązań nierówności to $\left(-\infty , 0\right.⟩\cup \left\{2\right\}$.

Rozwiążemy nierówność $(x^2-4)(x+2{)}^3(x-1)<0$.

$(x^2-4)(x+2{)}^3(x-1)=0$

$\left(x^2-4\right)=0$ lub ${\left(x+2\right)}^3=0$ lub $(x-1)=0$

$\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$ lub $x=-2$ lub $x=1$

$x=2$ lub $x=-2$

Czyli:

$\left(-2\right)$ – $4$ krotny pierwiastek,

$1$ – pojedynczy pierwiastek,

$2$ – pojedynczy pierwiastek.

RGxciqSp1h1Zr

Rysunek przedstawia poziomą oś X oraz naniesiony na nią wykres wielomianu, który jest w kształcie nieregularnej poziomej fali. Na osi zaznaczono niezamalowanymi kółkami następujące punkty: minus 2, 1 oraz 2 i przeprowadzono przez nie wykres wielomianu w taki sposób, że od minus nieskończoności do minus 2 wykres znajduje się nad osią. W punkcie minus 2 wykres odbija nad oś i dalej biegnie nad osią. W punkcie 1 przebija pod oś i biegnie pod nią do punktu 2, co oznaczono minusami między wykresem a osią. W dwójce przebija nad oś.

$x\in \left(1, 2\right)$

Zbiór rozwiązań nierówności to $\left(1, 2\right)$.

każda nierówność postaci:

$W\left(x\right)>0$ lub $W\left(x\right)\ge 0$ lub $W\left(x\right)<0$ lub $W\left(x\right)\le 0$,

gdzie:
$W$ – jest wielomianem stopnia $n$