Przeczytaj

Nierówność wielomianowa

Definicja: Nierówność wielomianowa

Nierównością wielomianową stopnia $n$ nazywamy każdą z nierówności w postaci:

$W (x) > 0$ lub $W (x) \geq 0$ lub $W (x) < 0$ lub $W (x) \leq 0$

gdzie:
$W$ – jest wielomianem stopnia $n$ .

Aby rozwiązać nierówność wielomianowąnierówność wielomianowanierówność wielomianową, postępujemy podobnie, jak podczas rozwiązywania równań. Najpierw rozłożymy wielomian $W$ na czynniki i obliczymy jego pierwiastki.

Następnie należy odpowiedzieć na pytanie, dla jakich wartości $x$ wielomian przyjmuje wartości dodatnie lub nieujemne, lub ujemne, lub niedodatnie. W tym celu sporządzamy „siatkę znaków”, czyli tabelę, za pomocą której określamy znak wielomianu w każdym z przedziałów.

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność $(x + 1) (x + 2) (x - 3) > 0$ .

Lewa strona nierówności jest wielomianem zapisanym w postaci iloczynowej:

$W (x) = (x + 1) (x + 2) (x - 3)$

Wielomian posiada trzy pierwiastki $(- 2)$ , $(- 1)$ , $3$ .

Teraz narysujemy tabelę, zwaną „siatką znaków”. W pierwszej kolumnie zapisujemy czynniki wielomianu. W pierwszym wierszy zapisujemy przedziały liczbowe, które zostały wyznaczone przez pierwiastki $(- 2)$ , $(- 1)$ , $3$ wielomianu.

W kolumnach znajdujących się pod przedziałami zapisujemy znaki przyjmowane w poszczególnych przedziałach przez odpowiednie sumy algebraiczne. Między przedziałami umieszczamy miejsca zerowe wielomianu. Ostatni wiersz tabeli to znaki wielomianu.

wielomian	$(- \infty, - 2)$	$- 2$	$(- 2, - 1)$	$- 1$	$(- 1, 3)$	$3$	$(3, \infty)$
$x + 1$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x + 2$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x - 3$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$W (x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Z tabeli odczytujemy, że $W (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (- 2, - 1) \cup (3, \infty)$ .

Zbiór rozwiązań nierówności to $(- 2, - 1) \cup (3, \infty)$ .

Przykład 2

Rozwiążemy nierówność $(x + 4) {(x - 1)}^{2} \leq 0$ .

Lewa strona nierówności jest wielomianem $W (x) = (x + 4) {(x - 1)}^{2}$ , zapisanym w postaci iloczynowej. Liczba $(- 4)$ jest pojedynczym pierwiastkiem wielomianu, liczba $1$ jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu $W (x)$ .

Ułożymy „siatkę znakówsiatka znakówsiatkę znaków”.

wielomian	$(- \infty, - 4)$	$- 4$	$(- 4, 1)$	$1$	$(1, \infty)$
$x + 4$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
${(x - 1)}^{2}$	$+$	$+$	$+$	$0$	$+$
$W (x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$

Zwróćmy uwagę, że przy przejściu przez pierwiastek podwójny $1$ wartość wielomianu $W (x)$ nie zmienia znaku.

$W (x) \leq 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty, - 4⟩ \cup \{1\}$ .

Zbiór rozwiązań nierówności to $(- \infty, - 4⟩ \cup \{1\}$ .

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność $- x {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{3} < 0 | : (- 1)$

$x {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{3} > 0$

Miejsca zerowe wielomianu to liczby:

$0$ – pierwiastek pojedynczy
$3$ – pierwiastek podwójny
$(- 5)$ – pierwiastek potrójny

Rysujemy „siatkę znaków”.

wielomian	$(- \infty, - 5)$	$- 5$	$(- 5, 0)$	$0$	$(0, 3)$	$3$	$(3, \infty)$
$x$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
${(x - 3)}^{2}$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$0$	$+$
${(x + 5)}^{3}$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$W (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$

Zwróćmy uwagę, że przy przejściu przez potrójny pierwiastek $(- 5)$ , $W (x)$ zmienia znak tak samo, jak przy przejściu przez pojedynczy pierwiastek.

$W (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty, - 5) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Zbiór rozwiązań nierówności to $(- \infty, - 5) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$ .

Przykład 4

Rozwiążemy nierówność $x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{2} \leq 0$ .

Najpierw zapiszemy nierówność w postaci iloczynowej.

$x^{2} (x^{2} - 5 x + 6) \leq 0$

$x^{2} (x - 2) (x - 3) \leq 0$

$W (x) = x^{2} (x - 2) (x - 3)$

Miejsca zerowe $W (x)$ to $0$ , $2$ , $3$ .

wielomian	$(- \infty, 0)$	$0$	$(0, 2)$	$2$	$(2, 3)$	$3$	$(3, \infty)$
$x^{2}$	$+$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x - 2$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x - 3$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$W (x)$	$+$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

$W (x) \leq 0 \Leftrightarrow x \in ⟨2, 3⟩ \cup \{0\}$

Zbiór rozwiązań nierówności to $⟨2, 3⟩ \cup \{0\}$ .

Przykład 5

Rozwiążemy nierówność $(x^{4} + 1) (x + 2) \geq 0$ .

Jedynym miejscem zerowym wielomianu $W (x) = (x^{4} + 1) (x + 2)$ jest liczba $(- 2)$ .

wielomian	$(- \infty, - 2)$	$- 2$	$(- 2, \infty)$
$x^{4} + 1$	$+$	$+$	$+$
$x + 2$	$-$	$0$	$+$
$W (x)$	$-$	$0$	$+$

Zauważmy, że suma algebraiczna $(x^{4} + 1)$ przyjmuje zawsze wartości dodatnie, więc nie wpływa na rozwiązanie.

$W (x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in ⟨- 2, \infty)$

Zbiór rozwiązań nierówności $⟨- 2, \infty)$ .

Słownik

nierówność wielomianowa

każda z nierówności w postaci:

$W (x) > 0$ lub $W (x) \geq 0$ lub $W (x) < 0$ lub $W (x) \leq 0$

gdzie:
$W$ – jest wielomianem stopnia $n$

siatka znaków

tabela, za pomocą której określamy znak wielomianu w poszczególnych przedziałach

Wprowadzenie

Animacja

Słownik