Przeczytaj

Dane jest wyrażenie wymierne $\frac{P (x)}{Q (x)}$ , gdzie $P (x)$ i $Q (x)$ są pewnymi wielomianami, $Q (x)$ nie jest wielomianem zerowym. Do dziedziny wyrażeniadziedzina wyrażenia algebraicznegodziedziny wyrażenia należą wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem pierwiastków wielomianu $Q (x)$ .

Jeżeli wielomiany $P (x)$ oraz $Q (x)$ są podzielne przez pewien wielomian niezerowy $W (x)$ , to istnieją wielomiany $P_{1} (x)$ i $Q_{1} (x)$ takie, że $P (x) = P_{1} (x) \cdot W (x)$ oraz $Q (x) = Q_{1} (x) \cdot W (x)$ .

Wtedy ułamek $\frac{P (x)}{Q (x)}$ możemy skrócić przez wielomian $W (x)$ sprowadzając go do postaci $\frac{P_{1} (x)}{Q_{1} (x)}$ .

Wyrażenia $\frac{P (x)}{Q (x)}$ oraz $\frac{P_{1} (x)}{Q_{1} (x)}$ są równe dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem pierwiastków wielomianu $Q (x)$ (czyli pierwiastków wielomianów $Q_{1} (x)$ ).

Przykład 1

Skrócimy ułamki, podając potrzebne założenia.

RblMoiuJpoOup

Przykład 2

Skrócimy wyrażenia wymierne, podając potrzebne założenia.

R10DyPt3FDjij

\frac{(x - 4) (x + 2)}{(x + 2) (x - 7)}

Ułamek możemy skrócić przez $(x + 2)$ :
$\frac{(x - 4) (x + 2)}{(x + 2) (x - 7)} = \frac{x - 4}{x - 7}$ ,
przy czym $x \in ℝ ∖ - 2; 7)$ .

\frac{(2 x - 1^{2}) (x - 2)}{(x - 2^{3}) (1 - 2 x)}

Zauważmy, że $\frac{{(2 x - 1)}^{2} (x - 2)}{{(x - 2)}^{3} (1 - 2 x)} = \frac{(2 x - 1^{2}) (x - 2)}{- {(x - 2)}^{3} (2 x - 1)}$ .
Ułamek możemy więc skrócić przez $(x - 2) (2 x - 1)$ :
$\frac{{(2 x - 1)}^{2} (x - 2)}{- {(x - 2)}^{3} (2 x - 1)} = \frac{2 x - 1}{- {(x - 2)}^{2}} = \frac{2 x - 1}{- (x - 2) (x - 2)} = \frac{1 - 2 x}{(2 - x) (x - 2)}$ ,

x \in ℝ ∖ \frac{1}{2}; 2)

\frac{(2 x + 6) (x^{2} - x + 1) {(4 x - 8)}^{2}}{(x^{2} - x + 1) (3 x + 9) {(2 x - 4)}^{4}}

Po wyłączeniu wspólnych czynników z nawiasów w liczniku i mianowniku, uzyskamy
$\frac{(2 x + 6) (x^{2} - x + 1) {(4 x - 8)}^{2}}{(x^{2} - x + 1) (3 x + 9) {(2 x - 4)}^{4}} = \frac{2 (x + 3) (x^{2} - x + 1) {(4 (x - 2))}^{2}}{(x^{2} - x + 1) 3 (x + 3) {(2 (x - 2))}^{4}} =$
$= \frac{2 (x + 3) (x^{2} - x + 1) 16 (x - 2^{2})}{(x^{2} - x + 1) 3 (x + 3) 16 (x - 2^{4})}$ .
Skracając ułamek przez $16 (x^{2} - x + 1) (x + 3) {(x - 2)}^{2}$ , mamy
$\frac{2 (x + 3) (x^{2} - x + 1) 16 (x - 2^{2})}{(x^{2} - x + 1) 3 (x + 3) 16 (x - 2^{4})} = \frac{2}{3 {(x - 2)}^{2}}$ ,
przy założeniu, że $x \in ℝ ∖ - 3; 2)$ .
Dodajmy, że wyrażenie $(x^{2} - x + 1)$ dla żadnej liczby rzeczywistej nie przyjmuje wartości $0$ .

Przy skracaniu ułamka warto:

zapisać licznik i mianownik w postaci iloczynowej;
skrócić czynniki powtarzające się zarówwno w liczniku, jak i w mianowniku;
uwzględnić założenia (mianownik nie może przyjmować wartości $0$ ).

Przykład 3

Ustalimy, jakie warunki muszą być spełnione, aby zachodziła równość wyrażeńrówność wyrażeń wymiernychrówność wyrażeń.

RqFmRhqUBcxN1

\frac{x - 5}{x - 5} = 1

Ułamek możemy skrócić przez $(x - 5)$ .
Równość zachodzi, gdy $x - 5 \neq 0$ , czyli dla $x \in ℝ ∖ 5)$ .

\frac{x^{5}}{2 x^{3}} = \frac{x^{2}}{2}

Ułamek po lewej stronie możemy skrócić przez $x^{3}$ .
Równość zachodzi, gdy $2 x^{3} \neq 0$ , czyli dla $x \in ℝ ∖ 0)$ .

\frac{2 x^{2} + 3 x}{5 x^{2} - 6 x} = \frac{2 x + 3}{5 x - 6}

Zauważmy, że w ułamku po lewej stronie możemy wyłączyć $x$ zarówno w liczniku, jak i w mianowniku: $\frac{2 x^{2} + 3 x}{5 x^{2} - 6 x} = \frac{x (2 x + 3)}{x (5 x - 6)}$ .
Następnie ułamek możemy skrócić przez $x$ .
Równość zachodzi, gdy $x (5 x - 6) \neq 0$ , czyli dla $x \in ℝ ∖ 0; \frac{6}{5})$ .

\frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 9} = \frac{x + 3}{x - 3}

Zauważmy, że korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, lewą stronę równania możemy zapisać następująco: $\frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 9} = \frac{{(x + 3)}^{2}}{(x - 3) (x + 3)}$ .
Ułamek możemy zatem skrócić przez $(x + 3)$ .
Równość zachodzi, gdy $(x + 3) (x - 3) \neq 0$ , czyli dla $x \in ℝ ∖ - 3; 3)$ .

Przykład 4

Dane jest wyrażenie wymierne $\frac{x + 2}{x - 3}$ , określone dla $x \in ℝ ∖ \{3\}$ . Ustalimy, dla jakich $x$ wartości podanego wyrażenia i ułamka $\frac{x + 2}{x - 3}$ są równe.

R13QmAMlbTBKv

\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2} - 6 x + 9}

Po rozłożeniu licznika i mianownika na czynniki mamy
$\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2} - 6 x + 9} = \frac{(x + 2) (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$ .
Po skróceniu przez $(x - 3)$ , uzyskamy ułamek $\frac{x + 2}{x - 3}$ .
Równość zachodzi dla $x \in ℝ ∖ 3)$ .

\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 5 x + 6}

Rozłożywszy licznik i mianownik na czynniki, uzyskamy
$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 5 x + 6} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)}$ .
Po skróceniu przez $(x - 2)$ , uzyskamy ułamek $\frac{x + 2}{x - 3}$ .
Równość zachodzi dla $x \in ℝ ∖ 2; 3)$ .

\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{3} - x^{2} - 9 x + 9}

Rozłóżmy licznik i mianownik na czynniki za pomocą metod poznanych przy zapisywaniu wielomianów w postaci iloczynowej:
$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{3} - x^{2} - 9 x + 9} = \frac{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 3) (x - 1)}$ .
Ułamek będzie równy $\frac{x + 2}{x - 3}$ po skróceniu przez $(x + 3) (x - 1)$ .
Równość zachodzi dla $x \in ℝ ∖ - 3; 1; 3)$ .

\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 4}{x^{3} - 2 x^{2} - x - 6}

Po zapisaniu licznika i mianownika w postaci iloczynowej, dostaniemy
$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 4}{x^{3} - 2 x^{2} - x - 6} = \frac{(x + 2) (x^{2} + x + 2)}{(x - 3) (x^{2} + x + 2)}$ ,
przy czym czynnik $(x^{2} + x + 2)$ jest nierozkładalny.
Po skróceniu przez $(x^{2} + x + 2)$ , uzyskamy ułamek $\frac{x + 2}{x - 3}$ .
Równość zachodzi dla $x \in ℝ ∖ 3)$ , ponieważ wielomian $(x^{2} + x + 2)$ nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Przykład 5

Skrócimy ułamek $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{4} + x^{2} + 1}$ .

Zauważmy, że ułamek jest określony dla $x \in ℝ$ , ponieważ wyrażenie w mianowniku nie przyjmuje wartości mniejszych od $1$ .
Wielomian w liczniku jest nierozkładalny ( $Δ < 0$ ), więc jeśli ułamek da się skrócić, to tylko przez wyrażenie $x^{2} + x + 1$ .

R1OTKTlmCUWbl

Sposób I

Stosując dzielenie pisemne wielomianów, podzielmy wielomian $(x^{4} + x^{2} + 1)$ przez wielomian $(x^{2} + x + 1)$ .
Uzyskamy iloraz $(x^{2} - x + 1)$ i resztę $0$ .
Zatem $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{4} + x^{2} + 1} = \frac{1}{x^{2} - x + 1}$ , $x \in ℝ$ .

, Sposób II

Wiadomo, że każdy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu czynników nierozkładalnych stopnia co najwyżej drugiego.
Rozłóżmy więc wielomian czwartego stopnia $(x^{4} + x^{2} + 1)$ , używając wzorów skróconego mnożenia.
$x^{4} + x^{2} + 1 = (x^{4} + 2 x^{2} + 1) - x^{2} =$
$= (x^{2} + 1)^{2} - x^{2} = (x^{2} + 1 + x) (x^{2} + 1 - x)$ .
Zatem $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{4} + x^{2} + 1} = \frac{x^{2} + x + 1}{(x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{1}{x^{2} - x + 1}$ ,
przy czym $x \in ℝ$ .

Ostatni przykład jest trochę trudniejszy.

Przykład 6

Skrócimy następujące wyrażenie wymierneskracanie wyrażenia wymiernegoSkrócimy następujące wyrażenie wymierne $\frac{x^{8} + 2 x^{4} - 3 x^{2} + 1}{x^{4} + \sqrt{3} x + 1}$ .

Spróbujmy zapisać licznik w postaci iloczynu. W tym celu użyjemy wzorów skróconego mnożenia
$x^{8} + 2 x^{4} - 3 x^{2} + 1 = (x^{8} + 2 x^{4} + 1) - 3 x^{2} =$
$= {(x^{4} + 1)}^{2} - {(\sqrt{3} x)}^{2} =$
$= (x^{4} + 1 + \sqrt{3} x) (x^{4} + 1 - \sqrt{3} x)$ .

Możemy zatem skrócić ułamek przez $(x^{4} + \sqrt{3} x + 1)$
$\frac{x^{8} + 2 x^{4} - 3 x^{2} + 1}{x^{4} + \sqrt{3} x + 1} = \frac{(x^{4} - \sqrt{3} x + 1) (x^{4} + \sqrt{3} x + 1)}{x^{4} + \sqrt{3} x + 1} = x^{4} - \sqrt{3} x + 1$ .

Pozostało jeszcze ustalenie założeń, czyli wykluczenie sytuacji, gdy
$x^{4} + \sqrt{3} x + 1 = 0$ .

Po raz kolejny posłużymy się wzorami skróconego mnożenia. Zauważmy, że
$x^{4} + \sqrt{3} x + 1 = (x^{4} - x^{2} + \frac{1}{4}) + (x^{2} + \sqrt{3} x + \frac{3}{4}) =$
$= {(x^{2} - \frac{1}{2})}^{2} + {(x + \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$ .

Uzyskaliśmy sumę dwóch kwadratów. Suma kwadratów liczb rzeczywistych przyjmuje wartość $0$ tylko wtedy, gdy wszystkie wyrażenia podnoszone do kwadratu przyjmują jednocześnie wartość $0$ . W naszym przypadku jest to niemożliwe - drugie wyrażenie przyjmuje wartość $0$ tylko dla $x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ , ale wtedy pierwsze wyrażenie przyjmuje wartość różną od $0$ .

Zatem $x \in ℝ$ .

Słownik

dziedzina wyrażenia algebraicznego

wszystkie liczby rzeczywiste, dla których to wyrażenie ma sens liczbowy

równość wyrażeń wymiernych

wyrażenia wymierne są równe, gdy mają tą samą dziedzinę i dla każdego argumentu z dziedziny przyjmują odpowiednio te same wartości

skracanie wyrażenia wymiernego

podzielenie licznika i mianownika przez to samo niezerowe wyrażenie
$Q_{1} (x) \cdot W (x) \neq 0$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik