Wypiszemy kilka początkowych wyrazów ciągu $\left(a_n\right)$ określonego wzorem ogólnym $a_n=n^3-10$ dla $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$.

$a_1=1-10=-9$

$a_2=8-10=-2$

$a_3=27-10=17$

$a_4=64-10=54$

$a_5=125-10=115$

$a_6=216-10=206$

Zauważmy, że każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest większy od wyrazu poprzedniego, czyli ciąg $\left(a_n\right)$ jest ciągiem rosnącym.

Ciąg $\left(a_n\right)$ nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest większy od wyrazu poprzedniego.

Czyli dla każdej liczby $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n+1}>a_n$.

R9zxhkHpFn4Tl

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią n od minus jeden do sześciu oraz z pionową osią $a_n$ od minus dziesięciu do trzydziestu z podziałką co dziesięć. Na płaszczyźnie zaznaczono pięć punktów i poprowadzono przez nie linią przerywaną krzywą w kształcie prawego ramienia paraboli skierowanego do góry. Krzywa ma początek w punkcie $\left(0;0\right)$ i biegnie w pierwszej ćwiartce.

Uzasadnimy, że ciąg $\left(a_n\right)$ określony wzorem ogólnym $a_n=4n-1$ dla $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$ jest ciągiem rosnącymciąg rosnącyciągiem rosnącym.

W tym celu określimy wyraz $a_{n+1}$.

$a_{n+1}=4\left(n+1\right)-1=4n+3$

Zatem

$a_{n+1}=4n+3=\left(4n-1\right)+4$

$a_{n+1}=a_n+4$

$a_{n+1}>a_n$

c.n.d

W tabelce zapisanych jest kilka początkowych wyrazów ciągu $\left(a_n\right)$.

Zauważmy, że każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest mniejszy od wyrazu poprzedniego, czyli ciąg $\left(a_n\right)$ jest ciągiem malejącym.

Ciąg $\left(a_n\right)$ nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest mniejszy od wyrazu poprzedniego.

Czyli dla każdej liczby $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n+1}<a_n$.

RF8Mj3LV7dQAv

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią n od minus jeden do sześciu oraz z pionową osią $a_n$ od minus dziesięciu do trzydziestu z podziałką co dziesięć. Na płaszczyźnie zaznaczono pięć punktów i poprowadzono przez nie linią przerywaną krzywą w kształcie łuku znajdującego się w pierwszej ćwiartce. Łuk wybrzuszony jest w stronę początku układu współrzędnych.

Uzasadnimy, że ciąg $\left(a_n\right)$ określony wzorem ogólnym $a_n=-2n+1$ dla $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$ jest ciągiem malejącymciąg malejącyciągiem malejącym.

W tym celu określimy wyraz $a_{n+1}$.

$a_{n+1}=-2\left(n+1\right)+1=-2n-1$

Zatem

$a_{n+1}=-2n-1=\left(-2n+1\right)-2$

$a_{n+1}=a_n-2$

$a_{n+1}<a_n$

c.n.d

Ciąg $\left(a_n\right)$ o wyrazach dodatnich jest malejący. Zbadamy monotoniczność ciągu $\left(b_n\right)$ określonego wzorem $b_n=\frac{\sqrt{2+a_n^2}}{2}$.

Określamy zależność między wyrazami $b_{n+1}$ i $b_n$.

$b_{n+1}=\frac{\sqrt{2+a_{n+1}^2}}{2}<\frac{\sqrt{2+a_n^2}}{2}=b_n$

Ponieważ

$b_{n+1}<b_n$, więc wynika z tego, że ciąg $\left(b_n\right)$ jest malejący.

Na wykresie zaznaczono kilka początkowych wyrazów ciągu $\left(a_n\right)$.

ROdxiDwxMZMpy

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią n od minus jeden do sześciu oraz z pionową osią $a_n$ od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono siedem następujących punktów: $\left(1;3\right), \left(2;3\right), \left(3;3\right), \left(4;3\right), \left(5;3\right), \left(6;3\right), \left(7;3\right)$.

Zauważmy, że każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu, czyli ciąg $\left(a_n\right)$ jest ciągiem stałymciąg stałyciągiem stałym.

Ciąg $\left(a_n\right)$ nazywamy stałym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu.

Czyli dla każdej liczby $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n+1}=a_n$.

Liczby:

$1$, $2$, $2$, $3$, $3$, $3$, $4$, $4$, $4$, $4$, $5$, $5$, $5$, $5$, $5$, $5$, $...$ są kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu $\left(a_n\right)$ określonego dla $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$.

Każdy wyraz ciągu (oprócz pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu lub większy od tego wyrazu. O takim ciągu mówimy, że jest niemalejący.

Ciąg $\left(a_n\right)$ nazywamy niemalejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu lub większy od wyrazu poprzedniego.

Czyli dla każdej liczby $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n+1}\ge a_n$.

Ciąg $\left(a_n\right)$ nazywamy nierosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu lub mniejszy od wyrazu poprzedniego.

Czyli dla każdej liczby $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n+1}\le a_n$.

Uzasadnimy, że ciąg $\left(a_n\right)$ określony wzorem $a_n={\left(-2\right)}^n$ nie jest monotoniczny.

1. Niech $n$ będzie liczbą parzystą. Wtedy $n+1$ jest liczbą nieparzystą.

   Wówczas $a_n={\left(-2\right)}^n=2^n>0$ oraz $a_{n+1}={\left(-2\right)}^{n+1}=-2^{n+1}<0$

   Zatem $a_{n+1}<a_n$.

2. Niech $n$ będzie liczbą nieparzystą. Wtedy $n+1$ jest liczbą parzystą.

   Wówczas $a_n={\left(-2\right)}^n=-2^n<0$ oraz $a_{n+1}={\left(-2\right)}^{n+1}=2^{n+1}>0$

   Zatem $a_{n+1}>a_n$.

ciąg $\left(a_n\right)$ nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest większy od wyrazu poprzedniego; czyli dla każdej liczby $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n+1}>a_n$

ciąg $\left(a_n\right)$ nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest mniejszy od wyrazu poprzedniego; czyli dla każdej liczby $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n+1}<a_n$

ciąg $\left(a_n\right)$ nazywamy stałym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu; czyli dla każdej liczby $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$ spełniona jest nierówność $a_{n+1}=a_n$