W prostokącie o polu równym $143$ jeden  bok jest o $2$ dłuższy od drugiego boku. Zapiszemy zależność, która pozwoli  obliczyć długości boków tego prostokąta.

Oznaczymy:
$x$ – długość krótszego boku prostokąta.

Wtedy $x+2$ będzie długością dłuższego boku tego prostokąta.

Pole prostokąta możemy zapisać jako iloczyn $x\left(x+2\right)$.

Wiemy też, że pole prostokąta jest równe $143$.

Możemy zatem zapisać $x\left(x+2\right)=143$.

Dany jest trójkąt prostokątny o polu równym $144$. Przyprostokątne tego trójkąta różnią się o $5$.

Zapiszemy równanie, na podstawie którego można obliczyć  długość krótszej przyprostokątnej tego trójkąta.

Niech:
$x$ – długość krótszej przyprostokątnej,
$x+5$ – długość dłuższej przyprostokątnej.

Zatem możemy zapisać równanie opisujące pole trójkąta. Równanie pozwoli  na  obliczenie długości krótszej przyprostokątnej tego trójkąta.

$\frac{1}{2}x\left(x+5\right)=144$

Suma cyfr szukanej  liczby dwucyfrowej jest równa $7$. Jeżeli tę  szukaną liczbę  pomnożymy  przez liczbę, która powstała przez zamianę cyfry jedności i dziesiątek szukanej  liczby, to otrzymamy $1462$.

Zapiszemy równanie, które pozwoli  obliczyć cyfrę dziesiątek i cyfrę  jedności szukanej liczby.

Niech:
$x$ – oznacza cyfrę jedności szukanej liczby dwucyfrowej (cyfra ta musi być mniejsza od liczby siedem, ale większa od zera), 
$7-x$ – oznacza cyfrę dziesiątek szukanej liczby dwucyfrowej.

Szukaną liczbę możemy zapisać jako $\left(7-x\right)·10+x$.

Liczba, która powstała przez zamianę cyfry dziesiątek i jedności szukanej  liczby to:

$10x+\left(7-x\right)$

Iloczyn tych liczb to:

$\left[\left(7-x\right)·10+x\right]·\left[10x+\left(7-x\right)\right]$

Zatem równanie ma postać

$\left[\left(7-x\right)·10+x\right]·[10x+\left(7-x\right)]=1462$

Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą – jest to równanie postaci $a{x}^2+bx+c=0$, gdzie $a$, $b$ i $c$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz $a\ne 0$.

Sprawdzimy, czy równanie $x·\left(x+4\right)=2·\left(1+2x\right)$, po zapisaniu w najprostszej postaci,  będzie  równaniem kwadratowym niezupełnym.

Przekształcimy równoważnie równanie.

$x·\left(x+4\right)=2·\left(1+2x\right)$

$x^2+4x=2+4x$

$x^2=2$

$x^2-2=0$

Zatem otrzymaliśmy równanie kwadratowe z jedną niewiadomąrównanie kwadratowe z jedną niewiadomąrównanie kwadratowe z jedną niewiadomą, w którym $b=0$, postaci $a{x}^2+c=0$.

Jest to równanie kwadratowe  niezupełne.

Sprawdzimy, czy równanie ${\left(2x+1\right)}^2=2x^2+3x+1$ , po sprowadzeniu do postaci ogólnej, będzie  równaniem kwadratowym niezupełnym.

Przekształcimy równoważnie równanie.

${\left(2x+1\right)}^2=2x^2+3x+1$

$4x^2+4x+1=2x^2+3x+1$

$2x^2+x=0$

Zatem otrzymaliśmy równanie kwadratowe, w którym $c=0$, postaci $a{x}^2+bx=0$ gdzie $a, b\ne 0$.

Jest to równanie kwadratowe  niezupełne.

równanie postaci $a{x}^2+bx+c=0$, gdzie $a$, $b$ i $c$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz $a\ne 0$