Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od $1$, która ma dokładnie dwa dzielniki – jedynkę i samą siebie.

Wykażemy, że istnieje tylko jedna liczba pierwsza $p$ taka, że liczby $A=4p^2+1$ i $B=6p^2+1$ są liczbami pierwszymi.

Obliczmy kilka wartości liczb $A$ i $B$ dla kolejnych początkowych liczb pierwszych.

• Jeśli $p=2$, to

  $A=4·4+1=17$ – liczba pierwszaliczba pierwszaliczba pierwsza,

  $B=6·4+1=25$ – liczba złożona.

  Liczba $2$ nie spełnia warunków zadania.

• Jeśli $p=3$, to

  $A=4·9+1=37$ – liczba pierwsza,

  $B=6·9+1=55$ – liczba złożona.

  Liczba $3$ nie spełnia warunków zadania.

• Jeśli $p=5$, to

  $A=4·25+1=101$ – liczba pierwsza,

  $B=6·25+1=151$ – liczba pierwsza.

  Liczba $5$ spełnia warunki zadania. Jest więc szukaną liczbą.

Pozostaje zatem wykazać, że nie istnieje inna liczba, większa od $5$, dla której liczby $A$ i $B$ są jednocześnie liczbami pierwszymi.

Każdą liczbą naturalną większą od $5$ można zapisać w postaci

$5n$, $5n+1$, $5n+2$, $5n+3$ lub $5n+4$,

gdzie $n$ jest liczbą naturalną dodatnią.

Ponieważ $p$ jest liczbą pierwszą większą od $5$, zatem

$p=5n+1$, $p=5n+2$, $p=5n+3$ lub $p=5n+4$.

• Jeśli $p=5n+1$, to

  $A=4p^2+1=4{\left(5n+1\right)}^2+1$,

  $A=100n^2+40n+5$,

  $A=5\left(20n^2+8n+1\right)$ – liczba złożona.

• Jeśli $p=5n+2$, to

  $B=6p^2+1=6{\left(5n+2\right)}^2+1$,

  $B=150n^2+120n+25$,

  $B=5\left(30n^2+24n+5\right)$ – liczba złożona.

• Jeśli $p=5n+3$, to

  $B=6p^2+1=6{\left(5n+3\right)}^2+1$,

  $B=150n^2+180n+55$,

  $B=5\left(30n^2+36n+11\right)$ – liczba złożona.

• Jeśli $p=5n+4$, to

  $A=4p^2+1=4{\left(5n+4\right)}^2+1$,

  $A=100n^2+160n+65$,

  $A=5\left(20n^2+32n+13\right)$ – liczba złożona.

Wykazaliśmy więc, że jeśli liczba $p$ jest liczbą pierwszą, większą od $5$, to liczba $A$ lub liczba $B$ jest złożona. Zatem tylko dla $p=5$ każda z liczb $A$ i $B$ to liczba pierwszaliczba pierwszaliczba pierwsza, co należało udowodnić.

Wykażemy, że nie istnieją różne liczby pierwsze $p$, $q$, $r$ takie, że liczba

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}$ jest liczbą naturalną.

Przeprowadzimy dowód nie wprost. Zakładamy, że liczba $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}$ jest liczbą naturalną. Zatem istnieje taka liczba naturalna $t$, że

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=t$

Przekształcamy lewą stronę zapisanej równości.

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=t$

$\frac{qr+pr+pq}{pqr}=t |·pqr$

$qr+pr+pq=tpqr$

$qr=tpqr-pr-pq$

$qr=p\left(tqr-r-q\right)$

Wynika z tego, że liczba $qr$ dzieli się przez $p$. Otrzymujemy sprzeczność, bo liczby $p$, $q$, $r$ to różne liczby pierwsze.

Zatem liczby $p$, $q$, $r$ o żądanej własności nie istnieją, co należało wykazać.

Liczba $A$ w dzieleniu przez $7$ daje resztę $4$, a liczba $B$ w dzieleniu przez $7$ daje resztę $5$. Wykażemy, że suma kwadratów liczb $A$ i $B$ w dzieleniu przez $7$ daje resztę $6$.

Liczba $A$ w dzieleniu przez $7$ daje resztę $4$, zatem można ją zapisać w postaci

$A=7k+4$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

Liczba $B$ w dzieleniu przez $7$ daje resztę $5$, zatem można ją zapisać w postaci

$B=7t+5$, gdzie $t\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

Zapisujemy i przekształcamy sumę kwadratów liczb $A$ i $B$.

$A^2+B^2={\left(7k+4\right)}^2+{\left(7t+5\right)}^2$

$A^2+B^2=49k^2+56k+16+49t^2+70t+25$

$A^2+B^2=49k^2+56k+49t^2+70t+41$

$A^2+B^2=7\left(7k^2+8k+7t^2+10t+5\right)+6$

Liczbę $A^2+B^2$ można więc przedstawić w postaci

$A^2+B^2=7w+6$, gdzie $w=7k^2+8k+7t^2+10t+5$ i jako suma liczb naturalnych $w$ jest liczbą naturalną.

Oznacza to, że reszta z dzielenia sumy kwadratów liczb $A$ i $B$ w dzieleniu przez $7$ daje resztę $6$, co należało wykazać.

Dane są liczby naturalne $a$, $b$, $c$. Wykażemy, że liczba $a^3+b^3+c^3$ jest podzielna przez $6$, wtedy i tylko wtedy, gdy liczba $a+b+c$ jest podzielna przez $6$.

Zauważmy, że

$a^3-a=a\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)$ – liczby $a-1$, $a$, $a+1$ to kolejne liczby naturalne, zatem ich iloczyn jest liczbą podzielną przez $6$. Wynika z tego, że liczba $a^3-a$ jest podzielna przez $6$.

Podobnie

$b^3-b=b\left(b^2-1\right)=b\left(b-1\right)\left(b+1\right)$ – liczba podzielna przez $6$

$c^3-c=c\left(c^2-1\right)=c\left(c-1\right)\left(c+1\right)$ – liczba podzielna przez $6$

Suma liczb podzielnych przez $6$ jest też podzielna przez $6$.

$a^3-a+b^3-b+c^3-c=\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a+b+c\right)$ – liczba podzielna przez $6$

Jeśli liczba $a^3+b^3+c^3$ jest podzielna przez $6$ to i liczba $a+b+c$ musi być podzielna przez $6$ i odwrotnie.

Zatem $a^3+b^3+c^3$ jest podzielna przez $6$, wtedy i tylko wtedy, gdy liczba $a+b+c$ jest podzielna przez $6$, co należało wykazać.

Wykażemy, że liczba $A=n^5-n$, gdzie $n$ jest liczbą naturalną większą od $1$ , jest podzielna przez $30$.

Korzystając dwukrotnie ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, zapisujemy w postaci iloczynu wyrażenie określające liczbę $A$.

$A=n^5-n$

$A=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)$

$A=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)$

Liczby $\left(n-1\right)$, $n$, $\left(n+1\right)$ to kolejne liczby naturalne, zatem ich iloczyn jest wielokrotnością liczby $6$.

Teraz musimy tak przekształcić $n^2+1$, aby pokazać, że liczba $A$ jest również wielokrotnością liczby $5$ (bo $6·5=30$).

$A=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)$

Zapisujemy iloczyn w postaci równoważnej sumy.

$A=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2-4\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)$

$A=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)$

$A=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)$

Liczby $\left(n-2\right)$, $\left(n-1\right)$, $n$, $\left(n+1\right)$, $\left(n+2\right)$ to pięć kolejnych liczb naturalnych, zatem ich iloczyn dzieli się przez $6$ i przez $5$, a więc i przez $30$.

Iloczyn $5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)$ też jest podzielny przez $30$.

Suma liczb podzielnych przez $30$ jest też podzielna przez $30$. Zatem liczba $A$ jest podzielna przez $30$, co należało wykazać.

liczba naturalna większa od $1$, która ma dokładnie dwa dzielniki – jedynkę i samą siebie