Naszkicujmy wykres funkcji $f$ określonej w zbiorze liczb rzeczywistych.

Funkcja ta ma swoją nazwę. Jest to funkcja signum, sgn (łac. signum „znak”).

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}1,& \mathrm{dla} x>0\\ 0,& \mathrm{dla} x=0\\ -1,& \mathrm{dla} x<0\end{array}\right.$

R1MwiiYVrunbc

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji opisanej trzema wzorami na trzech różnych przedziałach. Od minus nieskończoności do zera funkcja jest stała i  przyjmuje wartość minus 1. Wykresem jest pozioma półprosta otwarta ograniczona prawostronnie niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(0;-1\right)$. Następnym elementem wykresu jest zamalowany punkt o współrzędnych $\left(0;0\right)$. Dalej funkcja jest stała i przyjmuje wartość 1 od zera do plus nieskończoności. Część wykresu na tym przedziale jest poziomą otwartą półprostą ograniczoną od lewej strony punktem $\left(0;1\right)$.

Naszkicujemy wykres funkcji $f$.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x+2,& \mathrm{dla} x\in \left(-\infty , 1\right)\\ 3,& \mathrm{dla} x\in ⟨1, 3⟩\\ -x+6,& \mathrm{dla} x\in \left(3, \infty \right) \end{array}\right.$

Odczytamy z rysunku współrzędne punktów przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru wyrażonego trzema wyrażeniami. W celu narysowania wykresu wykonamy odpowiednie tabelki częściowe.

Pierwszą tabelkę częściową wykonamy dla funkcji opisanej pierwszym wyrażeniem i dla kilku argumentów należących do pierwszego przedziału.

$f_{}(-3)=-3+2=-1$

$f_{}(-2)=-2+2=0$

$f_{}(-1)=-1+2=1$

$f_{}\left(0\right)=0+2=2$

Druga część wykresu nie wymaga tabelki. Dla każdego argumentu $x$, takiego, że $x\in ⟨1, 3⟩$ funkcja ma stałą wartość równą trzy.

Dla argumentów należących do trzeciego przedziału wykonamy tabelkę częściową.

$f_{}\left(4\right)=-4+6=2$

$f_{}\left(5\right)=-5+6=1$

$f_{}\left(6\right)=-6+6=0$

$f_{}\left(7\right)=-7+6=-1$

Na podstawie  wyznaczonych współrzędnych, szkicujemy wykres funkcji.

Rx4GEh3NbQXGz

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji opisanej trzema wzorami na trzech różnych przedziałach. Od minus nieskończoności do jeden funkcja jest rosnąca i opisuje ją wzór y równa się x odjąć dwa. Wykresem na tym przedziale jest ukośna półprosta o końcu w punkcie $\left(1;3\right)$. Wykres funkcji przechodzi w tej części przez wyróżnione punkty $\left(-2;0\right)$ oraz $\left(0;2\right)$. Druga część wykresu znajduje się w przedziale od jeden do trzy. W tym przedziale składową wykresu jest poziomy odcinek o końcach $\left(1;3\right)$ oraz $\left(3;3\right)$, tu funkcja jest stała i jest opisana wzorem y równa się trzy. W trzecim przedziale, czyli od trzech do plus nieskończoności, funkcja jest malejąca i opisuje ją wzór y równa się 6 odjąć x. W tym przedziale składowa wykres jest ukośną półprostą o końcu w punkcie $\left(3;3\right)$. Półprosta przechodzi przez wyróżniony punkt $\left(6;0\right)$.

Korzystając z wykresu odczytujemy współrzędne punktów przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

Wykres funkcji ma dwa punkty wspólne z osią $X$ – są to punkty o współrzędnych $\left(-2, 0\right)$ i $\left(6, 0\right)$.

Z osią $Y$ wykres funkcji ma jeden punkt wspólny o współrzędnych $\left(0, 2\right)$.

Naszkicujemy wykres funkcji $f$.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x,& \mathrm{dla} x\in \left(-\infty , -2\right)\\ {\left(x+1\right)}^2,& \mathrm{dla} x\in \left\{-2, -1, 0\right\}\\ -x+3,& \mathrm{dla} x\in \left(0, \infty \right)\end{array}\right.$

Odczytamy z wykresu współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych.

Czy wykres funkcji jest linią ciągłą?

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ opisana jest wzorem zapisanym za pomocą trzech wyrażeń. W celu narysowania wykresu funkcji wykonamy dwie tabelki częściowe.

Pierwszą tabelkę wykonamy dla funkcji opisanej pierwszym wzorem i argumentów należących do pierwszego przedziału.

Funkcja opisana drugim wzorem jest określona dla trzech argumentów.

$f_{}(-2)={(-2+1)}^2={(-1)}^2=1$

$f_{}(-1)={(-1+1)}^2=0$

$f_{}\left(0\right)={(0+1)}^2=1$

Dla argumentów należących do przedziału trzeciego wykonujemy tabelkę częściową.

$f_{}\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}+3=2\frac{1}{2}$

$f_{}\left(2\right)=-2+3=1$

$f_{}\left(3\frac{1}{2}\right)=-3\frac{1}{2}+3=-\frac{1}{2}$

$f_{}\left(4\right)=-4+3=-1$

RUxrpyNNHjnFC

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji opisanej trzema wzorami w trzech różnych zbiorach. Od minus nieskończoności do minus dwóch funkcja jest rosnąca i opisuje ją wzór y równa się x. Wykresem na tym przedziale jest ukośna półprosta otwarta ograniczona niezamalowanym punktem $\left(-2;-2\right)$. Druga część wykresu przebiega przez trzyelementowy zbiór otwarcie nawiasu klamrowego minus dwa średnik minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu klamrowego. Tutaj funkcję opisuje wzór otwarcie nawiasu x dodać 1 zamknięcie nawiasu do kwadratu. Ta składowa wykresu to trzy zamalowane punkty o następujących współrzędnych: $\left(-2;1\right)$, $\left(-1;0\right)$ oraz $\left(0;1\right)$. W trzeciej części, czyli w przedziale od zera do plus nieskończoności, funkcja jest malejąca i opisuje ją wzór y równa się 3 odjąć x. Ta część wykresu to ukośna półprosta otwarta ograniczona z lewej strony niezamalowanym punktem $\left(0;3\right)$, przechodząca między innymi przez punkt $\left(3;0\right)$.

Wykres funkcji ma jeden punkt wspólny z osią $Y$. Jest to punkt o współrzędnych $(0,1)$.

Z osią $X$ wykres ma dwa punkty wspólne. Są nimi punkty o współrzędnych: $\left(-1, 0\right)$ i $\left(3, 0\right)$.

Wykres funkcji nie jest linią ciągłą.

funkcja, której dziedzina i zbiór wartości to zbiory liczbowe