Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Warto przeczytać

I. Podstawowe właściwości energii potencjalnej

Aby rozważyć, czym jest grawitacyjna energia potencjalna, wyjaśnijmy najpierw kilka ogólnych właściwości energii potencjalnej.

Oddziaływanie i układ ciał

Energię potencjalną łączymy z oddziaływaniem pomiędzy ciałami. Zgodnie więc z III zasadą dynamikiIII zasada dynamikiIII zasadą dynamiki, w najprostszym nawet przypadku rozpatrywania energii potencjalnej, musimy myśleć o dwóch ciałach. Często rozpatrujemy energię potencjalną układu wielu ciał - przykładem jest energia potencjalna sprężystościenergia potencjalna sprężystościenergia potencjalna sprężystości, wynikająca ze wzajemnego oddziaływania atomów w ciele stałym.

Ważne!

W wielu sytuacjach upraszczamy opis i mówimy o energii potencjalnej jednego ciała, gdy oddziaływanie drugiego ciała i jego udział w istnieniu energii potencjalnej jednoznacznie wynikają z kontekstu. Podobnie, pomijamy często nazwę oddziaływania, z którym wiążemy energię potencjalną.
Przykład: pytanie o energię potencjalną śliwki wiszącej na gałęzi jest zrozumiałe, choć czysto formalnie powinno się zapytać o „energię potencjalną grawitacji układu Ziemia‑śliwka, gdy ta ostatnia znajduje się w pobliżu powierzchni Ziemi”.

Energia potencjalna zależy od położenia

Energia potencjalna układu ciał zależy od położenia każdego z ciał względem pozostałych. W układach dwuciałowych rolę położenia można bardzo często sprowadzić do odległości pomiędzy środkami tych ciał. Grawitacyjna energia potencjalna śliwki przy powierzchni Ziemi jest najczęściej wyrażana przez wysokość śliwki nad powierzchnią Ziemi za pomocą znanego wzoru

Zwróć uwagę, że pomimo zastosowania sformułowania uproszczonego (energia potencjalna śliwki), w wyrażeniu odnajdujemy zarówno właściwości śliwki (jej masa ) jak i Ziemi (przyspieszenie grawitacyjne na jej powierzchni).

Ciekawostka

Te dwie właściwości odróżniają energię potencjalną od kinetycznej:

  1. Ta ostatnia może być przypisana pojedynczemu obiektowi, niekoniecznie zaś układowi ciał.

  2. Energia kinetyczna zależy bezpośrednio od wartości prędkości ciała, nie zaś od jego położenia.

Co znaczy, że energia jest „potencjalna”?

Określenie „potencjalna” wskazuje na istnienie pewnego „potencjału”. Według Słownika Języka Polskiego, potencjał to „tkwiący w kimś lub czymś zasób możliwości, zdolności”. W tym przypadku fizyczna definicja czerpie z definicji słownikowej. Przyjrzyjmy się temu krok po kroku.

Gromadzenie energii potencjalnej - praca siły zewnętrznej

Oddziaływanie pomiędzy ciałami może prowadzić do gromadzenia energii, gdy działająca na układ zewnętrzna siła wykonuje pracę, zmieniając względne położenie jego składników.

Przykład: ściśnięcie sprężyny powoduje zmianę względnych położeń atomów, z których jest ona zbudowana. Makroskopowo (Rys. 1a.) obserwujemy to jako zmniejszenie odległości pomiędzy końcami sprężyny mimo obecności siły sprężystości. Więcej o tym przeczytasz w e‑materiale „O czym mówi współczynnik sprężystości i jaka jest jego jednostka?”.

RPL50IezPyI42
Rys. 1. (a) Spężynę ściśnięto siłą zewnętrzną, wykonując przy tym pracę.
(b) Energię potencjalną ściśniętej sprężyny, po jej zwolnieniu, można wykorzystać do wystrzelenia piłeczki pingpongowej w popularnej dziecięcej zabawce.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.
Przetwarzanie energii potencjalnej - praca siły wewnętrznej

Jeśli oddziaływanie pomiędzy ciałami tworzącymi układ ma zdolność do przemieszczenia jego składników, to układ ten ma potencjał do wykonania pracy i tym samym do przetworzenia zgromadzonej energii na inne formy.
Przykład: zwolnienie blokady sprężyny umożliwia jej powrót do początkowego stanu (Rys. 1b.). Praca wykonana przez siłę sprężystości (opisana szczegółowo w e‑materiale „Energia potencjalna sprężystości”) zamienia energię potencjalną sprężystości między innymi w energię kinetyczną końców sprężyny i wyrzucanej piłeczki.

Energia potencjalna a praca siły wewnętrznej
Definicja: Energia potencjalna a praca siły wewnętrznej

Związek pomiędzy pracą wewnętrznej siły a zmianą energii potencjalnej układu zapisujemy równaniem:

Zakłada się w nim, że siła wewnętrzna nie powoduje innych zmian w układzie niż przemieszczenie jego składników. Praca siły jest obliczana na drodze pomiędzy stanami początkowym i końcowym układu.

Ważne!

W definicji mowa jest o zmianie energii potencjalnej. Jak jednak określić energię potencjalną w stanach początkowym, końcowym i dowolnym pośrednim? Na to pytanie odpowiemy niebawem, analizując dwa przypadki spadku śliwki z gałęzi drzewa.

Nie każde oddziaływanie jest potencjalne

Dla istnienia energii potencjalnej równie istotne są obie możliwości: gromadzenia energii w układzie oraz jej wydzielania poza układ (często mówimy wtedy o wyzwalaniu energii potencjalnej). Jeśli oddziaływanie pomiędzy ciałami nie spełnia obu tych warunków, to nazywamy je niepotencjalnym i nie wiążemy z nim energii potencjalnej.

Przykład: gdybyśmy ścisnęli kawałek plasteliny (a nie stalową sprężynę), wywołalibyśmy przemieszczenie cząsteczek rozmaitych substancji, z których jest zbudowana. Praca przy tym wykonana spowodowałaby wzrost temperatury plasteliny. Ale oddziaływania międzycząsteczkowe w plastelinie nie mają potencjału, by przemieścić te cząsteczki. Więc po ustaniu działania palców plastelina pozostałaby ściśnięta i nie wykonałaby żadnej pracy. O tej różnicy właściwości materiałów traktuje e‑materiał „Odkształcenia sprężyste i niesprężyste”.

Ciekawostka

Przed dwoma niemal stuleciami, gdy kształtowało się pojęcie energii, nazywano ją różnie, między innymi „siłą”. Dla energii kinetycznej używano takich określeń jak „siła żywa” czy „siła dynamiczna”. Dla energii potencjalnej zaś „siła utajona” czy „siła statyczna”. Co sądzisz o trafności tych określeń?

II. Energia potencjalna grawitacji

Skonkretyzujmy dotychczasowe ogólne rozważania - zajmijmy się grawitacyjną energią potencjalną. Jako przykład wyobraź sobie spadającą z drzewa śliwkę.

Nie będziemy zajmować się analizą okoliczności, których skutkiem jest pojawienie się śliwki na wysokości nad Ziemią. Odtworzenie pracy wykonanej przez wszystkie siły, które w polu grawitacyjnym przemieszczały materię składającą się na śliwkę, byłoby niezmiernie trudne. Znacznie istotniejsze jest stwierdzenie, że obecnie działa na śliwkę siła ciężkości, która może spowodować jej ruch w kierunku Ziemi. Śliwka ma więc początkowy zasób grawitacyjnej energii potencjalnej.

Po oderwaniu się śliwki od drzewa siła grawitacji pochodząca od Ziemi wykonuje pracę na drodze spadku śliwki. W wyniku tego energia potencjalna śliwki zamienia się (głównie) w jej energię kinetyczną – śliwka porusza się z coraz większą prędkością. Spróbujmy ten proces opisać ilościowo: jak zmieni się grawitacyjna energia potencjalna śliwki?

Przykład 1

Śliwka spada z drzewa na Ziemię

Z gałęzi drzewa znajdującej się na wysokości  odrywa się dorodna, dojrzała śliwka o masie  i zaczyna poruszać się w kierunku Ziemi (Rys. 2.)
a) Wyprowadź wzór opisujący wartość grawitacyjnej energii potencjalnej, gdy śliwka znajduje się na dowolnej wysokości nad Ziemią.
b) Wyznacz wartość tej energii, gdy , oraz gdy .
Przyjmij wartość przyspieszenia ziemskiego .

R1OKp16uq2bD2
Rys. 2. Ruch śliwki w polu grawitacyjnym Ziemi. Układ współrzędnych wiążemy z powierzchnią Ziemi, przypisując jej wysokość h=0.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Dane

Szukane

wysokość gałęzi nad Ziemią:

masa śliwki:

pośrednia wysokość, na której znajduje się śliwka:

wartość przyspieszenia ziemskiego:

a) zależność energii potencjalnej śliwki od chwilowej jej wysokości nad Ziemią

b) wartość energii potencjalnej śliwki dla oraz dla

Rozwiązanie

a) Wykorzystajmy przytoczony wcześniej związek zmiany energii potencjalnej z pracą wykonaną przez siłę wewnętrzną. W naszym przykładzie jest to siła grawitacji.

Zmianę energii potencjalnej wyrazimy jako różnicę pomiędzy wartościami końcową i początkową: . Natomiast pracę siły ciężkości wykonaną podczas przemieszczania śliwki z początkowej wysokości do dowolnej wysokości możemy wyrazić jako

Wyjściowe równanie przybierze wtedy postać:

Przyjęcie, że na dowolnej wysokości energia potencjalna

oraz, konsekwentnie, że na wysokości

jest wynikiem niesprzecznym z wyjściowym równaniem.

Ważne!

Uzyskane tu rozwiązanie jest poprawne, ale nie jest ogólne. Nie jest ono bowiem jedynym możliwym rozwiązaniem wyjściowego równania. Tym bardzo ciekawym aspektem energii potencjalnej zajmiemy się w Przykładzie 2.

b) Obliczmy teraz, korzystając z wyprowadzonej zależności, energię potencjalną śliwki na dwóch wysokościach:

  1. na wysokości

  2. na wysokości

Dwa wybory: zero układu odniesienia i zero energii potencjalnej

W Przykładzie 1. związaliśmy układ odniesienia z powierzchnią Ziemi. Ten wybór nie jest podyktowany żadnymi względami przyrodniczymi. Jest on „wyborem naturalnym”, układ taki jest wygodny: śliwka kończy swój ruch na powierzchni Ziemi, czyli na wysokości . Ale to niejedyny dokonany przez nas wybór w tym przykładzie.

Uzyskany w wyprowadzeniu wynik

podpowiada nam, że dla  . To też jest „naturalne”: skoro energia potencjalna zależy od wysokości, to dla zerowej wysokości przyjmuje zerową wartość. Ale ta właściwość nie wynika z żadnego prawa przyrody! Podkreślmy: tak wolno przyjąć - nie prowadzi to do żadnej sprzeczności.

Nie mamy jednak obowiązku przyjmowania układu odniesienia, w którym powierzchnia Ziemi ma wysokość równą zero. Podobnie, nie mamy obowiązku przypisywania zerowej energii potencjalnej śliwce znajdującej się na wysokości zero. Czy skutki tej niejednoznaczności są poważne? Przeanalizuj drugi przykład.

Przykład 2

Śliwka spada z drzewa do koszyka

Rozważmy teraz sytuację podobną do przedstawionej w Przykładzie 1., z tą różnicą, że śliwka spada nie na Ziemię, lecz do koszyka ustawionego na stojącej przy drzewie drabinie (Rys. 3.). Oznaczmy początkową wysokość śliwki nad koszykiem jako , zaś chwilową jej wysokość nad koszykiem jako . Niech wreszcie odległość pomiędzy dnem koszyka a powierzchnią Ziemi wynosi .

RcEgEbYtoamHR
Rys. 3. Ruch śliwki jak w przykładzie 1. Tym razem układ współrzędnych wiążemy z dnem koszyka przypisując mu wysokość h*=0.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Podobnie jak w pierwszym przykładzie:
a) wyprowadzimy wzór opisujący wartość grawitacyjnej energii potencjalnej, gdy śliwka znajduje się na dowolnej wysokości nad koszykiem.
b) wyznaczymy wartość tej energii, gdy , oraz gdy .

Rozwiązanie

Zwróć uwagę, że w tym przykładzie wybraliśmy inny układ odniesienia niż w poprzednim. Wiążemy go z dnem koszyka - ono teraz znajduje się na zerowej wysokości. Możemy zatem w wyprowadzeniu z pierwszego przykładu wszędzie zastąpić wysokość przez oraz wysokość przez . Otrzymamy ponownie wynik dopuszczalny, o dokładnie takiej samej postaci matematycznej:

Ep(h)=mgh,

który tak samo wymusza przyjęcie, że na wysokości

Jest to również wynik niesprzeczny z wyjściowym równaniem.

b) Zauważmy, że - taka jest wysokość gałęzi nad koszykiem. Zauważmy także, iż odpowiada wysokości nad Ziemią . Obliczmy, korzystając z wyprowadzonej zależności, energię potencjalną śliwki na dwóch wysokościach:

  1. na wysokości

  2. na wysokości

Energia potencjalna jest wielkością względną

Analizę wyników z obu przykładów przeprowadzisz na podstawie tabeli.

Rng7aXRGb6Bmj
Ćwiczenie 1
Wstaw do tabeli, dla obu przykładów, wysokości oraz wartości energii potencjalnej śliwki uzyskane w dwóch przykładach. Wykonaj odpowiednie obliczenia, by uzupełnić wielkości brakujące.

Bez trudu zauważasz, że w każdym położeniu śliwki wartości jej wysokości są różne dla każdego z przykładów. Nie dziwi Cię to, bo wynika to wprost z wyboru początku układu współrzędnych. Jest to także kwestia przyzwyczajenia - wiesz przecież dobrze, że wysokość jest wielkością względną. Być może zapis jest nieco nietypowy. Jest on jednak formalnie poprawny, mimo że częściej spotykamy sformułowania typu „pół metra pod poziomem dna koszyka”.

Podobnie jest z energią potencjalną śliwki. Dla tych samych położeń przyjmuje ona różne wartości, zarówno dodatnie jak i ujemne. Zależy to od wyboru miejsca zerowego energii potencjalnej. Nie powinno to Cię dziwić, bo energia potencjalna także jest wielkością względną. Tą właściwością energia potencjalna przypomina nieco temperaturę wyrażaną w skali Celsjusza, Fahrenheita czy innych umownych skalach: temperatura zamarzania wody to równie dobrze , jak i .

Zauważ jednak, że różnice wysokości dla poszczególnych położeń są w obu przykładach jednakowe: śliwka początkowo wisi 1,5 m nad dnem koszyka i 2 m nad powierzchnią Ziemi, niezależnie od wybranego układu współrzędnych.
Podobnie jest z energią potencjalną: jej różnice pomiędzy tymi samymi położeniami są jednakowe - sprawdź to. To nie przypadek, bo zmiana energii potencjalnej związana jest z pracą siły grawitacji, ta zaś jest jednakowa, bo ani wartość, ani kierunek działania siły, ani przemieszczenie nie zależą od wyboru układu odniesienia, gdy układy te spoczywają względem siebie.

III. Podsumowanie

1. Energia potencjalna grawitacji jest wielkością względną. Określenie jej wartości wymaga wskazania układu odniesienia oraz położenia, w którym przyjmuje ona wartość zero.
Powyższe dotyczy energii potencjalnej związanej z dowolnym oddziaływaniem.

2. Zmiana energii potencjalnej w konkretnym układzie przy konkretnym procesie jest bezwzględna. Nie zależy ona od wskazania układu odniesienia ani od wyboru położenia zerowej energii potencjalnej.

3. Energia potencjalna grawitacji ciała o masie w codziennych sytuacjach może być wyrażana wzorem

w którym oznacza przyspieszenie grawitacyjne przy powierzchni Ziemi, zaś - wysokość nad dowolnie ustalonym poziomem odniesienia, dla którego energia potencjalna przyjmuje wartość zero.

Dla zainteresowanych

Przywołana analogia z temperaturą zapewne nasunęła Ci pytanie: czy istnieje możliwość wskazania bezwzględnego zera energii potencjalnej zadanego układu? Albo bardziej ambitnie: czy można wskazać bezwzględne zero energii potencjalnej dla dowolnego układu dowolnie oddziałujących ciał? Przecież uczonym udało się zdefiniować pojęcie zera bezwzględnego skali temperatury i wyrazić jego wartość w skalach używanych wcześniej.

Odpowiedź jest jednoznaczna: stan dzisiejszej wiedzy nie pozwala zdefiniować energii potencjalnej (ani grawitacyjnej, ani innej) w sposób bezwzględny. Jak się o tym przekonać? Dokończmy wyprowadzenie z pierwszego przykładu i spróbujmy uzyskać ogólne rozwiązanie dla związku

Przypomnijmy, że poszukujemy matematycznej zależności energii potencjalnej od wysokości. Doprowadziliśmy równanie do postaci

co w równoważny sposób możemy zapisać jako

Pamiętajmy, że to dowolna wysokość, zaś wyrażenie po prawej stronie równości ma ustaloną wartość przy ustalonym układzie odniesienia. Oznaczmy ją symbolem . Otrzymujemy wtedy, po prostym przekształceniu, ogólne wyrażenie dla energii potencjalnej grawitacji w postaci

Energia to wartość energii potencjalnej dla . Problem w tym, że nie mamy najmniejszej wskazówki co do tego, ile ta wartość powinna wynosić. Natomiast przyjęcie wartości dowolnej, ale ustalonej dla potrzeb opisu konkretnego zagadnienia, daje dobre wyniki. Najwygodniej jest przyjąć , co najczęściej czynimy.

Ufamy, że przedstawione tu rozstrzygnięcie Cię nie zniechęci do zastanawiania się nad możliwością wskazania bezwzględnego zera energii. Wręcz odwrotnie - ktokolwiek by to osiągnął, może liczyć na zaszczyty w świecie nauki, a wśród nich na nagrodę Nobla.

By dodatkowo Cię zachęcić, dodamy, że dla układów mikroskopowych - w skali atomowej i subatomowej - potrafimy wskazywać stan najniższej możliwej energii całkowitej układu, choć tam też istnieje swoboda doboru stałej. Taki stan nazywamy jego stanem podstawowym.

IV. Uzupełnienie

Wyrażenie jest przybliżone

Wyprowadzone wyrażenie na energię potencjalną grawitacji ma ograniczony zakres stosowalności. Często mówi się, że obowiązuje ono „w pobliżu powierzchni Ziemi”. Dokładniej oznacza to, że zmiany wysokości nad powierzchnią Ziemi powinny być bardzo małe wobec jej promienia . To założenie zapewnia, że wartości siły grawitacji oraz przyspieszenia grawitacyjnego praktycznie nie zależą od odległości od Ziemi.

RRppU98Rg0Sz11
Rys. 4. Wahadłowiec startujący z przylądka Canaveral
Źródło: dostępny w internecie: https://pixabay.com/es/photos/capa-ca%c3%b1averal-florida-92191/ [dostęp 21.08.2022], domena publiczna.

Co jednak w przypadku lotów kosmicznych? Czy stosowanie przybliżonego wyrażenia do ciał takich jak stacja orbitalna krążąca wokół Ziemi czy sonda kosmiczna wysłana ku innej planecie Układu Słonecznego jest dopuszczalne? A może zawodzi ono już dla samolotu pasażerskiego lecącego kilkanaście kilometrów nad Ziemią?

Odpowiedź na takie pytania zależy zawsze od oczekiwanej dokładności. Ocena tej dokładności jest problemem, który muszą rozwiązać korzystający z każdego wyrażenia przybliżonego.

Dla zainteresowanych

W e‑materiale „Praca w polu grawitacyjnym” przedstawiono wyprowadzenie wyrażenia wiążącego energię potencjalną z odległością pomiędzy środkami dwóch oddziałujących grawitacyjnie ciał o masach oraz . Dla naszych obecnych rozważań zastąpimy w tym wyrażeniu odległość od środka Ziemi wysokością nad jej powierzchnią , żądając, by . Gdy jeszcze ustalimy, że energia potencjalna przyjmuje wartość zero na powierzchni Ziemi (czyli dla wysokości ), to otrzymamy zależność

W tym wyrażeniu przyjmujemy wartość taką, jak na powierzchni Ziemi. Zależność pokazuje niebieska krzywa na Rys. 5. poprowadzona na tle czerwonej prostej, będącej przebiegiem zależności przybliżonej.

RUyI7MVBEEugb
Rys. 5. Porównanie dokładnej (linia niebieska) i przybliżonej (czerwona) zależności energii potencjalnej grawitacji Ziemi od wysokości. Oś pionowa ma jednostki umowne.

Zwróć szczególną uwagę na ułamek mnożący przybliżoną wartość energii potencjalnej - wartość dokładna jest wynikiem tego mnożenia. Ułamek ten nie przekracza jedności. Określa on, jaką częścią wartości przybliżonej jest wartość dokładna. Jakie wartości przybiera ten ułamek dla różnych wysokości?

Ćwiczenie 2

Przeprowadź, we własnym zakresie, obliczenia dla różnych wysokości i uzupełnij poniższą tabelkę (niezbędne informacje o wymienionych obiektach wyszukaj w dostępnych źródłach). Podaj także przykład obiektu znajdującego się – orientacyjnie – na każdej zaproponowanej wysokości nad powierzchnią Ziemi. Możesz równie dobrze zaproponować wiersze z własnymi danymi - wykorzystaj opcję „Dodaj”.

R15XebWQhfLaF
Przykład obiektu. h (km). 11+hRZ. (Uzupełnij). (Uzupełnij). (Uzupełnij). (Uzupełnij). (Uzupełnij). (Uzupełnij). (Uzupełnij). (Uzupełnij). (Uzupełnij).

Słowniczek

III zasada dynamiki
III zasada dynamiki

(ang. Newton's Third Law) prawo głoszące, że wszelkie oddziaływania zachodzą - w najprostszym ujęciu - pomiędzy dwoma ciałami. Siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał mają zawsze te same kierunki, przeciwne zwroty i takie same wartości.

energia potencjalna sprężystości
energia potencjalna sprężystości

(ang. elastic potential energy) - w ujęciu makroskopowym jest to energia związana z odkształcaniem ciał stałych. Skutkiem takiego odkształcenia może być pojawienie się siły sprężystości mającej tendencję do przywrócenia oryginalnego kształtu ciała.

W ujęciu mikroskopowym energię potencjalną sprężystości można sprowadzić do energii potencjalnej elektromagnetycznego oddziaływania pomiędzy atomami tworzącymi ciało stałe.