Przeczytaj
Jednym ze sposobów określenia ciągu jest podanie wzoru na –ty wyraz tego ciągu. Wzór ten nazywamy też wzorem ogólnym ciągu. Na podstawie wzoru ogólnego można podać wiele własności ciągu i określić dowolny jego wyraz.
W tym materiale będziemy zakładać, że dany ciąg liczbowy określony jest dla .
Ciąg określony jest wzorem ogólnym . Obliczymy wyrazy , , .
Do wzoru ciągu w miejsce podstawiamy kolejno: , , .
Wyznaczmy te wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym , które są równe .
Przekształcamy wzór ogólny ciągu, wykonując wskazane działania.
Chcemy rozłożyć na czynniki wyrażenie po prawej stronie znaku równości. Zapisujemy więc prawą stronę równości tak, aby można było pogrupować odpowiednio wyrazy i wyłączyć wspólny czynnik przed nawias.
Pozostaje jeszcze rozłożyć na czynniki wyrażenie w nawiasie.
Szukamy wyrazów ciągu, które są równe .
Wszystkie otrzymane liczby są naturalne, zatem równe są wyrazy , , .
Określimy, ile wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym to liczby całkowite.
Przekształcamy wzór ciągu tak, aby wyrażenie po prawej stronie zapisać w postaci sumy liczby całkowitej i ułamka algebraicznego.
Aby wyrażenie przyjmowało wartości całkowite, liczba musi być dzielnikiem liczby .
Zatem . Cztery wyrazy ciągu to liczby całkowite.
Znajdziemy najmniejszy wyraz ciągu określonego wzorem ogólnym .
Wykres ciągu składa się z punktów leżących na paraboli, będącej wykresem funkcji . Ramiona paraboli skierowane są ku górze, więc najmniejsza wartość funkcji znajduje się w wierzchołku paraboli.
Znajdujemy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.
Interesujące nas argumenty muszą być liczbami całkowitymi. Zatem lub .
Czyli lub . Obliczamy i porównujemy wartości wyrazów i .
Dwa najmniejsze wyrazy ciągu to i .
Nie zawsze znamy wzór lub regułę określającą ciąg. Mając danych tylko kilka początkowych wyrazów ciągu, trzeba samodzielnie odkryć ogólną zasadę. W prostych przypadkach odkrycie takiej reguły nie przedstawia większych trudności. Jednak nie zawsze tak jest.
Kolejne początkowe wyrazy ciągu to: , , , , , Wykażemy, że liczba jest większa od .
Znajdziemy najpierw wyraz ogólny ciągu.
Zauważmy, że liczniki ułamków to kwadraty kolejnych liczb naturalnych dodatnich. Mianowniki to kolejne liczby naturalne, począwszy od . Zatem:
Obliczamy sumę .
Sumą początkowych wyrazów ciągu nazywamy wyrażenie
gdzie .
Obliczymy wyrazy i ciągu , w którym sumasuma początkowych wyrazów określona jest wzorem
Obliczamy pierwszy wyraz ciągu.
Zauważmy, że
Obliczamy szósty wyraz ciągu.
Słownik
sumą początkowych wyrazów ciągu nazywamy wyrażenie
gdzie