Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Przypomnijmy, że każdemu wektorowi umieszczonemu w układzie współrzędnych możemy przyporządkować dwie współrzędne. Pierwszą interpretujemy jako przesunięcie w poziomie: jeśli jest dodatnia, to przesunięcie następuje w prawo, jeśli ujemna - w lewo. Druga określa przesunięcie w pionie: jeśli jest dodatnia, przesunięcie następuje w górę, jeśli ujemna - w dół. Złożenie obu przesunięć to droga, jaką należy pokonać, aby dostać się od początku wektora do jego końca. Podamy teraz i udowodnimy dwa wzajemnie odwrotne twierdzenia.

o wektorach w układzie współrzędnych
Twierdzenie: o wektorach w układzie współrzędnych

Jeżeli wektory w prostokątnym układzie współrzędnych mają równe odpowiednie współrzędne, to są one wektorami równymi.

Dowód

Niech u=a, b oraz v=a, b. Skorzystamy z interpretacji współrzędnych wektorów jako przemieszczenia w pionie i w poziomie, które prowadzą od początku do końca wektora. Możemy zauważyć, że w obu przypadkach, aby z początku wektora dotrzeć do jego końca, należy przemieścić się w poziomie o tę samą liczbę jednostek w tę samą stronę; przemieszczenie w pionie również jest takie samo w obu przypadkach. Oznacza to, że oba trójkąty prostokątne widoczne na rysunkach poniżej są przystające (na mocy cechy bkbcecha bkb przystawania trójkątówcechy bkb), zatem wektory zawarte w przeciwprostokątnych są równe.

R1ecGO2CxN283
o równości współrzędnych dwóch wektorów
Twierdzenie: o równości współrzędnych dwóch wektorów

Jeśli wektory w układzie współrzędnych są równe, to mają równe współrzędne.

Dowód

Wektory równe mają ten sam kierunek, zwrot i długość, zatem trójkąty prostokątne zbudowane na tych wektorach jako na przeciwprostokątnych o przyprostokątnych równoległych do osi układu mają równe kąty i przystające przeciwprostokątne. Zatem na mocy cechy KBK są przystające.

R1XVhKIeDwVl3

Wektory zawarte w przyprostokątnych są wektorami parami równymi w obu trójkątach prostokątnych. Rrasa jaką należy pokonać, aby przemieścić się od początku wektora do końca jest taka sama dla wektorów zawartych w każdej z przeciwprostokątnych. Oznacza to, że wektory zawarte w przeciwprostokątnych mają równe współrzędne.

Powyższe dwa twierdzenia można zapisać jako jedno:

o równości wektorów w układzie współrzędnych
Twierdzenie: o równości wektorów w układzie współrzędnych

Wektory w układzie współrzędnych są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współrzędne.

Przykład 1

Wyznaczymy wartości parametru m tak, aby wektory o współrzędnych m2-4; m+3 oraz 5; 2m+6 były równe.

Zgodnie z kryterium równości wektorów w układzie współrzędnychkryterium równości wektorów w układzie współrzędnychkryterium równości wektorów w układzie współrzędnych wektory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współrzędne. Wobec tego, wektory będą równe dokładnie wtedy, gdy spełnione będą równania: m2-4=5m+3=2m+6, czyli wystarczy rozwiązać układ

m2-4=5m+3=2m+6,

który jest równoważny z układem

m2=9-3=m.

Jedyną liczbą spełniającą warunki zadania jest liczba m=-3.

Przykład 2

Dane są punkty A=4; 0, B=6; 3, C=2; 5. Wyznaczymy wierzchołek D=x;y równoległoboku ABCD. Zauważmy, że wektory BA=4-6; 0-3=-2; -3 oraz CD=x-2; y-5 są równe. Oznacza to, że odpowiednie współrzędne są równe, czyli spełnione są równania: -2=x-2 oraz -3=y-5, czyli x=0y=2. Zatem D=0,2.

Słownik

kryterium równości wektorów w układzie współrzędnych
kryterium równości wektorów w układzie współrzędnych

twierdzenie orzekające, że wektory w prostokątnym układzie współrzędnych są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe odpowiednie współrzędne

cecha bkb przystawania trójkątów
cecha bkb przystawania trójkątów

twierdzenie orzekające, że dwa trójkąty są przystające dokładnie wtedy, gdy dwa boki jednego trójkąta są przystające odpowiednio do dwóch boków drugiego trójkąta oraz kąty między tymi bokami w obu trójkątach również są przystające