Warto przeczytać

Energia fal podłużnych

Zastanówmy się nad tym, jaki charakter ma energia fal na prostym przykładzie podłużnej płaskiej fali harmonicznej o okresie T i długości fali ${\displaystyle \lambda }$, biegnącej w sprężystym ośrodku materialnym, jakim jest na przykład sprężyna, z prędkością V. W sprężynie (Rys. 1.) fala – zagęszczenia i rozrzedzenia - występują naprzemiennie.

R1ZZ6ruIg0Ndc

Rys. 1. Na zdjęciu przedstawiono długie sprężyny‑zabawki. Na długości sprężyn widoczne są miejsca, gdzie ich zwoje leżą blisko siebie i takie, gdzie są one od siebie oddalone.

Schematycznie przedstawiono taką falę na Rys. 2. Czerwonymi liniami zostały zaznaczone wybrane płaszczyzny (zwoje w przypadku sprężyny) tego ośrodka. W górnej części rysunku nie ma fali, płaszczyzny są równoodległe. W dolnej zaznaczono części widzimy te same płaszczyzny podczas rozchodzenia się fali. Strzałki obrazują wychylenia poszczególnych płaszczyzn od położenia równowagi.

R1XcMWZx3QnXp

Rys. 2. Rysunek składa się z dwóch części. W każdej części znajdują się identyczne żółte, długie prostokąty, zawierające w środku czerwone, wąskie prostokąty. Wysokość czerwonych prostokątów jest taka sama jak żółtego prostokąta. Czerwone prostokąty symbolizują zwoje sprężyny. Górny i dolny żółty prostokąt leżą dokładnie jeden pod drugim, lecz są nieco rozsunięte w pionie. Górny prostokąt przedstawia schemat sprężyny przez którą nie przebiega fala. Wtedy czerwone prostokąty leżą w ustalonej odległości od siebie. W dolnej części przedstawiony jest schemat sprężyny przez którą przebiega fala. Tu czerwone prostokąty umieszczono w różnych odległościach. Istnieją obszary, gdzie są one bliżej siebie niż na rysunku w części górnej (jeden z takich obszarów podpisano poniżej jako zagęszczenie) oraz obszary, gdzie są one dalej od siebie w porównaniu z rysunkiem w części górnej (jeden z takich obszarów podpisano poniżej rozrzedzenie). W pustej przestrzeni pomiędzy żółtymi prostokątami widoczne są pionowe linie, które zostały poprowadzone z krótszych boków czerwonych prostokątów. Linie te wskazują na położenie czerwonych prostokątów w obu żółtych prostokątach. Pomiędzy pionowymi liniami łączącymi odpowiadające sobie czerwone prostokąty z obu części rysunku poprowadzono strzałki, które wskazują na zmianę położenia. Pod podpisami zagęszczenie i rozrzedzenie umieszczono dwie pionowe linie, które wskazują na położenia dwóch czerwonych prostokątów znajdujących się w tej samej fazie fali. Pomiędzy nimi poprowadzono strzałkę z dwoma grotami, pod którą zapisano grecką literę lambda, kształtem przypominającą małą, odwróconą o 180 stopni, literę y.

Energia całkowita takiej fali składa się z dwóch części: kinetycznej oraz potencjalnej.

Energia kinetyczna

Wydzielmy myślowo w naszym ośrodku malutki element o masie m. Wykonuje on ruch harmoniczny o okresie T i amplitudzie A. Jego położenie zależy periodycznie od czasu i możemy je zapisać w następujący sposób:

gdzie $\omega=2\pi f=2\pi/T$ jest częstością kołową drgań, a $f$ - częstotliwością drgań.

Prędkość tego elementu możemy obliczyć jako stosunek różnicy jego położeń w dwóch bliskich sobie chwilach czasu $t$ i $t'$ do różnicy czasu. Jeśli zatem $(t'-t)\rightarrow 0$, to:

Ponieważ argument funkcji sinus jest mały, to możemy przybliżyć tę funkcję jej argumentem. Ponadto, ponieważ $t$ jest prawie równe $t'$, możemy też uprościć argument funkcji cosinus:

Możemy zatem obliczyć energię kinetyczną tego elementu:

Wynikają z tego dwa ważne fakty:

1. Energia kinetyczna fali ma charakter oscylacyjny. Znika ona w obszarach, w których prędkość w danej chwili jest równa zeru, natomiast maksima posiada w obszarach, gdzie prędkość ma wartość maksymalną, niezależnie od jej zwrotu.

2. Energia kinetyczna takiego elementu jest proporcjonalna do amplitudy $A$ w kwadracie.

Energia potencjalna

Z falą związana jest też deformacja ośrodka, czyli zagęszczenia i rozrzedzenia, a z deformacją związana jest energia potencjalna sprężystości:

Nieznaną stałą $k$ możemy wyznaczyć na przykład następująco: zakładając, że nie dochodzi do rozpraszania energii, to by spełniona była zasada zachowania energii

musimy pozbyć się w niej wyrazów trygonometrycznych zależnych od czasu: $\sin^2 \omega t$ oraz $\cos^2 \omega t$. Będziemy mogli to zrobić, jeśli wykorzystamy tożsamość zwaną jedynką trygonometryczną: $\sin^2 \omega t+\cos^2 \omega t=1$. Aby to było możliwe, oba te wyrazy trygonometryczne muszą być mnożone przez ten sam czynnik, a zatem

i stąd $k=m\omega^2$, a energia potencjalna wyniesie

Energia ta znika w obszarach, gdzie w danej chwili deformacji nie ma, a jest maksymalna w obszarach największego zagęszczenia i największego rozrzedzenia (spójrz na dolną część Rys. 2.).

Energia potencjalna fali posiada zatem dwie cechy:

1. Ma charakter plastrów, podobnie jak energia kinetyczna.

2. Jest również proporcjonalna do kwadratu amplitudy.

Całkowita energia, czyli suma energii kinetycznej i potencjalnej, jest niesiona przez ośrodek wraz z falą z prędkością ruchu fali $V$. Zarówno energia kinetyczna, jak i potencjalna, są proporcjonalne do kwadratu amplitudy, więc również energia całkowita fali jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy

Natężenie fali harmonicznej

Dotychczas rozważaliśmy mały element ośrodka. Ponieważ jest on powiązany siłami wiązania z sąsiednimi elementami, pobudza je do drgań. Te z kolei pobudzają następne. W ten sposób energia każdego elementu zostaje przekazana następnemu elementowi i następuje propagacja fali. Dla scharakteryzowania wielkości przenoszonej energii w jednostce czasu posługujemy się pojęciem natężenia faliNatężenie falinatężenia fali.

Natężeniem fali nazywamy wielkość energii przenoszonej przez jednostkowy wycinek powierzchni prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali w jednostce czasu:

Wielkość ta mówi, jaka energia przepływałaby przez powierzchnię 1 mIndeks górny 2² w ciągu jednej sekundy. Jednostka natężenia fali jest równa

Energia przepływająca przez wyznaczoną powierzchnię zmienia się w czasie, ponieważ ma budowę „plastrów”. Najczęściej interesuje nas średnia wartość tej energii. Odpowiada to sytuacji, kiedy przedział czasu ∆t jest znacznie większy od okresu fali T (Rys. 3.).

R2oFGqvbgKaP8

Rys. 3. Na rysunku przedstawiono rozchodzącą się w poziomie falę płaską. Widoczny jest długi prostokąt symbolizujący fragment przestrzeni, w której biegnie fala. Doliny i grzbiety fali są wyróżnione różnymi kolorami. Dolina zaznaczona jest kolorem czarnym, grzbiet – kolorem białym, a pośrednie etapy między grzbietem i doliną mają kolory zmieniające się od czarnego przez fiolet, czerwień, pomarańczowy aż do białego. Nad rysunkiem znajdują się dwie poziome strzałki. Jedna, w lewej części ma dwa groty i wskazuje na odległość pomiędzy dwoma grzbietami. Nad strzałką podany jest wzór opisujący długość fali: lambda równa się 2 pi podzielone przez wielką literę T. Prawa strzałka ma grot skierowany w prawo. Nad strzałką znajduje się podpis kierunek ruchu fali. Na prawym, pionowym brzegu prostokąta znajduje się błękitna linia podpisana wielką literą S. Pod dolnym, poziomym bokiem prostokąta znajduje się pozioma strzałka z dwoma grotami która łączy dwa pionowe boki prostokąta. Pod strzałką znajduje się wzór matematyczny mała litera v mnożona przez Delta mała litera t. Delta to grecka litera wyglądająca jak trójkąt równoramienny.

Tak jest na przykład dla typowych fal dźwiękowych. Dla dźwięku o częstotliwości f=1000 Hz okres wynosi T= 0,001 s. Taki dźwięk o jednej częstotliwości jest tonem. Jeżeli przyjmiemy ∆t = 0,1 s, co odpowiada w przybliżeniu czasowi reakcji naszego układu nerwowego, na odcinku V⋅∆t mieścić się będzie 200 plastrów energii.

Natężenie fali jest proporcjonalne do niesionej przez nią energii, która jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy. Oznacza to, że również natężenie fali jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy

Dźwięki

W życiu codziennym rzadko słyszymy czyste dźwięki – tony. Częściej mamy do czynienia z dźwiękami o bardziej złożonym charakterze – jak dźwięk orkiestry, rozmowa wielu osób, czy hałas uliczny. Wtedy także używamy pojęcia natężenia fali. Wielkość ta oczywiście na ogół zmienia się w czasie. Jej wartość może też zależeć od przedziału czasu ∆t, po którym dokonujemy uśrednienia.

Przyjmuje się umownie, że przy częstotliwości 1000 Hz:

• najcichsze słyszalne dźwięki mają natężenie 10Indeks górny –12^–12 W/mIndeks górny 2². Jest to tak zwany próg słyszalnościPróg słyszalnościpróg słyszalności.

• dźwięki o natężeniu powyżej 1 W/mIndeks górny 2² wywołują już wrażenie bólu. Jest to próg bóluPróg bólupróg bólu.

Zarówno próg słyszalności jak i próg bólu zależą od częstotliwości dźwięku.

Typowe wartości natężenia dźwięku podane są w tabeli poniżej.

Poziom natężenia dźwięku

Okazuje się, że ludzkie ucho nie odbiera dźwięku o dwa razy większym natężeniu fali jako dwa razy głośniejszego. Wielkością opisującą głośność jest poziom natężenia dźwięku L wyliczany ze wzoru

gdzie I jest natężeniem fali, której głośność liczymy, natomiast IIndeks dolny 0₀ jest to natężenie dźwięku odniesienia, które ma stałą wartość i wynosi 10Indeks górny -12^-12 W/mIndeks górny 2² (próg słyszalności). Jednostką poziomu natężenia dźwięku jest decybel. Na Rys. 4. przedstawiono wykres poziomu natężenia dźwięku od wartości stosunku natężenia dźwięku I do wartości IIndeks dolny 0₀.

R1SBVjyDq0h4u

Rys. 4. Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych. Pozioma oś układu jest podpisana jako wielka litera I podzielona przez wielką literę I z indeksem dolnym zero. Pionowa oś podpisana jest wielką literą L. Widoczne są tylko dodatnie wartości na osi poziomej oraz ujemne i dodatnie wartości na osi pionowej. W układzie współrzędnych narysowano wykres, który ma kształt krzywej logarytmicznej. Opiszmy kształt tego wykresu, przesuwając się wzdłuż osi poziomej, zaczynając od najmniejszych argumentów. Dla argumentu równego zero, wykres dąży do minus nieskończoności. Wraz ze wzrostem argumentu wartości funkcji rosną w ten sposób że dla argumentu równego jeden funkcja ma wartość zero. Powyżej argumentu 1 wartości funkcji stają się dodatnie i nadal rosną, ale coraz wolniej.

Z zależności logarytmicznej poziomu natężenia dźwięku od samego natężenia wynikają dwa spostrzeżenia:

1. Każdy 10‑krotny wzrost natężenia daje wzrost poziomu natężenia o 10 dB.

2. Dla bardzo cichych dźwięków (I<IIndeks dolny 0₀) poziom natężenia dźwięku przyjmuje wartości ujemne.

Inne fale

Pojęcia natężenia używa się także dla innych fal, na przykład fal elektromagnetycznych, w tym światła widzialnego. W falach tych mamy do czynienia z energią pola elektrycznego i energią pola magnetycznego.

Na przykład do 1 mIndeks górny 2² powierzchni Ziemi, prostopadłej do biegu promieni, w ciągu 1 sekundy dociera średnio od Słońca energia około 1400 J. Natężenie padających fal elektromagnetycznych jest wtedy równe

Słowniczek