Przeczytaj

Warto przeczytać

Energia mechaniczna danego ciała jest sumą jego energii kinetycznej oraz energii potencjalnej. Energia kinetyczna związana jest z każdym ciałem znajdującym się w ruchu i dana jest wzorem:

E_{k} = \frac{m v^{2}}{2}

gdzie m jest masą ciała, a v – jego prędkością w analizowanym układzie odniesienia. Więcej informacji na temat energii kinetycznej znajdziesz w e‑materiale „Energia kinetyczna”.

Energia potencjalna danego ciała może mieć dwojaką naturę. Istnieje grawitacyjna energia potencjalna, związana z wysokością względem Ziemi, na której znajduje się dany obiekt. Dla ciał znajdujących się w pobliżu Ziemi, zmianę tej energii można obliczyć jako:

Δ E_{pg} = m g Δ h

gdzie g = 9,81 $\frac{m}{s^{2}}$ wyraża wartość średniego przyspieszenia ziemskiego przy powierzchni planety, natomiast deltah jest zmianą wysokości ciała. Więcej informacji o grawitacyjnej energii potencjalnej znajdziesz w e‑materiale „Energia potencjalna grawitacyjna”.

Część dla bardziej dociekliwych

RVpOE225Pv9qC

Rys. 1. Zdjęcie poglądowe przedstawia sprężynę leżącą na białym blacie. — Rys. 1. Rozciągnięta lub ściśnięta sprężyna posiada energię potencjalną sprężystości.

Dla ciał sprężystych, tj. guma lub sprężyna można wprowadzić energię potencjalną sprężystości. Jest to energia, którą posiada np. sprężyna, która została rozciągnięta lub skurczona względem swojego początkowego wymiaru. Można ją wyznaczyć jako:

E_{p s} = \frac{k (Δ x)^{2}}{2}

gdzie k jest współczynnikiem sprężystości danego ciała, a deltax – zmianą długości tego ciała względem jego długości swobodnej.

Więcej informacji o tej postaci energii uzyskasz w e‑materiałach „Energia potencjalna sprężystości” oraz „Jak obliczyć energię potencjalną sprężystości?”.

Aby móc wprowadzić zasadę zachowania energii mechanicznej, musimy najpierw omówić, jakie skutki mogą wywoływać siły działające na ciało. Pod wpływem działania sił wykonujących pewną pracę, energia danego ciała może zmieniać swoją postać lub wartość. Przykładem pierwszej sytuacji może być swobodny spadek jabłka z drzewa (Rys. 2.). Początkowa energia potencjalna jabłka, na skutek działania pracy siły grawitacji, zostaje przekształcona w energię kinetyczną (wysokość jabłka nad Ziemią maleje, lecz rośnie jego prędkość). W tym przypadku zmienia się jedynie rodzaj energii, jaką ma ciało, lecz nie jej wartość.

RahFGjmRvGfPs

Rys. 2. Rysunek przedstawia jabłko spadające z drzewa. Na rysunku widać kształt drzewa w kolorze czarnym oraz kształt jabłka w kolorze czerwonym w trzech pozycjach. Na drzewie, na wysokości opisanej dużą czarną literą, H jabłko nie ma prędkości, w połowie drogi do ziemi, na wysokości opisanej małą literą h, jabłko ma już pewną prędkość co oznaczono na rysunku czarną strzałką skierowaną w dół oznaczoną małą czarną literą v ze znaczkiem wektora skierowanym w prawo nad nią. Zaraz przed dotknięciem ziemi jabłko osiąga prędkość maksymalną co oznaczono na rysunku dłuższą czarną strzałką skierowaną w dół oznaczoną małą czarną literą v z indeksem dolnym w postaci małych liter „max” i ze znaczkiem wektora skierowanym w prawo nad nią. Wysokości zostały zwymiarowane poprzez wyprowadzenie od odpowiednich miejsc poziomych kropkowanych zielonych linii i poprowadzenie między nimi a powierzchnią ziemi, symbolizowaną przez długą poziomą zieloną linię, pionowych dwustronnych niebieskich strzałek ze zwrotami skierowanymi na zewnątrz. Po prawej stronie rysunku umieszczono cztery czarne wzory. Pierwszy jest postaci: duża litera E z indeksem dolnym w postaci małych liter „pmax” równa się małej literze m, małej literze g i dużej literze H. Drugi wzór jest treści: duża litera E z indeksem dolnym w postaci małej litery k równa się ułamkowi, w którego liczniku znajduje się mała litera m oraz mała litera v podniesiona do kwadratu, a w którego mianowniku znajduje się liczba dwa. Trzeci wzór jest następujący: duża litera E z indeksem dolnym w postaci małej litery p równa się małej literze m, małej literze g i małej literze h. Czwarty wzór jest treści: duża litera E z indeksem dolnym w postaci małych liter „kmax” równa się ułamkowi, w którego liczniku znajduje się mała litera m oraz mała litera v z indeksem dolnym w postaci małych liter „max” podniesiona do kwadratu, a w którego mianowniku znajduje się liczba dwa. — Rys. 2. Podczas spadania jabłka dochodzi do przemiany jego energii potencjalnej E_p w energię kinetyczną E_k.

Przykładem drugiej sytuacji, może być wznoszenie się samolotu na skutek działania siły ciągu silnika. Samolot, który początkowo spoczywał na płycie lotniska, zaczyna poruszać się (a zatem zwiększa się jego energia kinetyczna) oraz wznosić (co oznacza wzrost energii potencjalnej). Obydwa rodzaje energii nie mogły powstać „z niczego”. Ich pojawienie się jest skutkiem wykonania pracy przez siłę ciągu silnika.

Dlaczego siła ciągu silnika spowodowała zmianę wartości energii samolotu, a siła grawitacji spowodowała jedynie zmianę postaci energii? Odpowiedź na to pytanie kryje się w źródle działającej siły. W układzie jabłko‑Ziemia, siła grawitacji jest siłą wewnętrzną. Praca takiej siły nie powoduje zmiany energii układu, gdyż działa ona wewnątrz niego i nie powoduje przepływu energii między układem a otoczeniem. Z kolei, siła ciągu silnika jest siłą zewnętrzną. Praca zewnętrznej siły powoduje zmianę energii układu.

R135CpVxyoj2K

Rys. 3. Rysunek przedstawia schemat. W górnym (niebieskim) polu po lewej stronie napisane jest "praca siły wewnętrznej ( np. siły grawitacji)", od tego pola skierowana jest strzałka w dół do pola zielonego z napisem "nie zmienia energii mechanicznej układu". Po prawej stronie na górze w niebieskim polu napisane jest "praca siły zewnętrznej (np. siły tarcia, siły ciągu silnika), od tego pola skierowana jest strzałka na dół do zielonego pola z napisem "zmienia energię mechaniczną układu". — Rys. 3. Jaki efekt wywołują siły wewnętrzne i zewnętrzne?

Jak odróżnić siłę wewnętrzną od zewnętrznej? Siły wewnętrzne działają tylko między częściami badanego układu. Siły zewnętrzne dotyczą oddziaływań wychodzących „na zewnątrz” układu. W przypadku rozpędzającego się samolotu, siła ciągu silnika powstaje na skutek spalenia paliwa. Produkty spalania, w postaci gazowej, wyrzucane są na zewnątrz samolotu, a zatem poza układ związany z samolotem. Innym przykładem siły zewnętrznej jest siła tarcia.

Gdy poznaliśmy już wpływ działających sił na energię ciała, możemy wprowadzić zasadę zachowania energii mechanicznej w dwóch przypadkach: 1) przy braku lub 2) przy obecności sił zewnętrznych.

W pierwszym przypadku, na ciało działają tylko siły wewnętrzne, nie powodujące zmiany wartości energii. Możemy zatem zapisać, że:

E_{1} = E_{2}

gdzie EIndeks dolny 1 oraz EIndeks dolny 2 wyrażają początkową oraz końcową wartość energii mechanicznej ciała. W tym przypadku może dojść jedynie do zmiany postaci energii, np. początkowo obecna energia potencjalna może ulec przekształceniu w energię kinetyczną. Wzór ten odczytujemy następująco: jeśli na układ nie działają siły zewnętrzne, to jego całkowita energia mechaniczna nie ulega zmianie.

W drugim przypadku, gdy istnieją zewnętrzne siły działające na ciała w układzie, musimy zapisać powyższy wzór w zmodyfikowanej formie:

E_{2} = E_{1} + W

gdzie W jest pracą mechaniczną wykonaną przez zewnętrzne siły. Wzór ten odczytujemy w następujący sposób: jeśli na układ działają siły zewnętrzne, to całkowita energia mechaniczna ciała zmienia się o wartość równą wartości pracy mechanicznej wykonywanej przez siły zewnętrzne. Innymi słowy, możemy zapisać równość między początkową, a końcową energią mechaniczną ciała, jeśli w bilansie energii uwzględnimy pracę wykonaną przez zewnętrzne siły.

Przeanalizujmy teraz te zagadnienia na kilku prostych przykładach.

Przykład 1 – ruch sanek bez tarcia

Jaką maksymalną prędkość uzyskają sanki zjeżdżające bez tarcia ze wzniesienia o wysokości h = 3 m? Na jakiej wysokości grawitacyjna energia potencjalna sanek będzie równa ich energii kinetycznej?

Dane wysokość wzniesienia h = 3 m przyspieszenie ziemskie g = 9,81 $\frac{m}{s^{2}}$	Szukane maksymalna prędkość sanek vIndeks dolny max = ? wysokość, na której wartość energii potencjalnej sanek będzie równa wartości energii kinetycznej hIndeks dolny x = ?

Analiza zadania

Znajdujące się na szczycie wzniesienia sanki posiadają energię potencjalną grawitacji. Podczas ruchu sanek w dół, maleje ich wysokość nad Ziemią i rośnie ich prędkość. Oznacza to, że energia potencjalna sanek, pod wpływem pracy siły grawitacji, zamienia się zatem w energię kinetyczną. W trakcie zjazdu sanki posiadają oba rodzaje energii. Na dole wzniesienia sanki nie będą posiadać już energii potencjalnej, a ich energia kinetyczna będzie maksymalna. Ruch sanek zachodzi bez tarcia. W tym układzie nie ma zatem siły zewnętrznej. Zgodnie z zasadą zachowania energii mechanicznej oznacza to, że początkowa energia potencjalna sanek będzie równa ich końcowej energii kinetycznej. W trakcie ruchu po zboczu, suma energii potencjalnej i kinetycznej również będzie równa początkowej lub końcowej wartości energii. Przemiany energii w tym ruchu przedstawiliśmy na Rys. 4.

RUDN4XbZUODKP

Rys. 4. Rysunek przedstawia symbolicznie czarne sanki zjeżdżające z górki. Górka została przedstawiona za pomocą trójkąta prostokątnego pomalowanego na niebiesko o wysokości oznaczonej za pomocą dwustronnej niebieskiej strzałki ze zwrotami skierowanymi na zewnątrz oraz małej czarnej litery h. Zjazd następuje skośnie w dół w prawą stronę rysunku. Na rysunku przedstawiono sanki w trzech pozycjach. Szczyt górki ścięto i ustawiono na nim sanki w pierwszej pozycji, w której sanki nie mają prędkości. Pozycję tę opisano dużą czarną literą E z indeksem dolnym w postaci małych liter „pg” i cyfry zero. Druga pozycja jest mniej więcej w połowie stoku gdzie sanki mają już pewną prędkość, wzdłuż stoku, oznaczoną niebieską strzałką i małą literą v. Położenie to opisano dużą czarną literą E z indeksem dolnym w postaci małych liter „pg”, do której dodano dużą czarną literę E z indeksem dolnym w postaci małej litery k. W trzeciej pozycji, znajdującej się po zjechaniu z górki, na płaskim terenie, sanki osiągają maksymalną prędkość oznaczoną czarną poziomą strzałką i małą czarną literą v z indeksem dolnym w postaci małych liter „max”. Pozycję tę oznaczono na rysunku dużą czarną literą E z indeksem dolnym w postaci małych liter „kmax”. — Rys. 4. Przemiany energii podczas ruchu sanek wzdłuż zbocza.

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć końcową prędkość sanek, porównajmy energię potencjalną sanek na górze zbocza i energię kinetyczną na dole zbocza. Zgodnie z zasadą zachowania energii mechanicznej, są one sobie równe:

Δ E_{pg} = Δ E_{k}

m g h = \frac{m v_{max}^{2}}{2}

v_{m a x} = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \cdot 9, 81 \frac{m}{s^{2}} \cdot 3 m} \approx 7, 7 \frac{m}{s}

Określmy teraz, kiedy spełniony będzie warunek $E_{k} = E_{pg}$ . Wykorzystując zasadę zachowania energii, możemy porównać energię mechaniczną sanek na początku ruchu z energią mechaniczną w dowolnej chwili tego ruchu:

E_{p g 0} = E_{pg} + E_{k}

E_{p g 0} = 2 E_{pg}

m g h = 2 m g h_{x}

h_{x} = \frac{h}{2} = \frac{3 m}{2} = 1, 5 m

Przykład 2 – młyn wodny

Młyny wodne są konstrukcjami budowanymi jeszcze w czasach antycznych. Pierwsze opisy takich urządzeń pochodzą z 230 r. p.n.e. Pomysł takiego młyna jest znany zatem przynajmniej od 2050 lat! Młyny wodne budowano nad rzekami. Znajdujące się na zewnątrz młyna koło było umieszczane w płynącej wodzie, której ruch powodował obrót koła. Wewnątrz młyna, obracające się koło powodowało ruch innych urządzeń, które służyły np. do mielenia zboża na mąkę.

Spróbujmy, w prostym modelu, wyznaczyć wartość pracy mechanicznej, jaką wykonywał młyn. Załóżmy, że w jednostce czasu przez koło przepłynęła woda o masie m. Przyjmijmy, że woda przed kołem ma prędkość vIndeks dolny 1, a za kołem – vIndeks dolny 2 < vIndeks dolny 1. Ze względu na różne oporu ruchu, młyn nie przekształca całości dostarczonej mu przez wodę energii kinetycznej na użyteczną pracę mechaniczną. SprawnośćsprawnośćSprawność młyna (określająca jaka część dostarczonej energii zostanie zamieniona na pracę mechaniczną) wynosi $η$ , gdzie $η$ < 100%.

R1Nv2nigsaP4y

Rys. 5. Zdjęcie poglądowe przedstawia usytuowany pomiędzy budynkami młyn wodny. Młyn wodny – budowla z urządzeniem do przemiału ziarna na mąkę i kaszę, poruszanym za pomocą koła wodnego lub turbiny wodnej, usytuowana nad rzekami. Bardzo rzadko budowane były młyny pływające. — Rys. 5. Młyn wodny.

Analiza zadania

Przepływająca przez koło woda przekazuje mu część swojej energii kinetycznej. Energia ta zostaje wykorzystana do wykonania pracy mechanicznej, np. zmielenia zboża na mąkę. Młyn cechuje się sprawnościąsprawnośćsprawnością mniejszą od 100%, co oznacza, że część tej energii zostanie zamieniona na pracę różnych sił oporu oraz ciepło.

Rozwiązanie

Zmiana energii kinetycznej wody wynosi:

Δ E_{k} = \frac{m v_{2}^{2}}{2} - \frac{m v_{1}^{2}}{2} = \frac{m}{2} (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) < 0

Energia kinetyczna wody maleje, gdyż woda przekazuje część swojej energii do mechanizmu młyna. Zgodnie z zasadą zachowania energii mechanicznej, zmiana energii wody musi być co do wartości równa pracy wykonanej przez wodę nad młynem:

| Δ E_{k} | = \frac{m}{2} (v_{1}^{2} - v_{2}^{2}) = W

Ponieważ młyn ma określoną sprawnośćsprawnośćsprawność, tylko pewna część pracy W (a zatem: tylko pewna część energii kinetycznej przekazanej przez wodę) zostanie wykorzystana w użyteczny sposób:

W_{u ż} = η W = \frac{ηm}{2} (v_{1}^{2} - v_{2}^{2}) = η | Δ E_{k} |

Przykład 3 – spadek ciała z tarciem

Na zgniecioną, upuszczoną z wysokości h = 1,5 m kulkę papieru, oprócz siły ciężkości FIndeks dolny g działa siła oporu powietrza FIndeks dolny o, o stałej wartości wynoszącej FIndeks dolny o = 0,05FIndeks dolny g. Wyznacz prędkość kulki tuż przy powierzchni Ziemi. Porównaj otrzymaną wartość z sytuacją, w której siła oporu nie występowałaby.

Dane wysokość początkowa kulki: h = 1,5 m przyspieszenie ziemskie g = 9,81 $\frac{m}{s^{2}}$ siła oporu powietrza stanowi 5% siły ciężkości	Szukane prędkość kulki tuż przy powierzchni Ziemi vIndeks dolny 1 = ? prędkość kulki tuż przy powierzchni Ziemi w sytuacji braku oporu powietrza vIndeks dolny 2 = ?

Analiza zadania

Przeanalizujmy to zagadnienie z punktu widzenia zasady zachowania energii. W momencie upuszczenia, kulka posiada energię potencjalną grawitacji, która w trakcie ruchu jest przekształcana w energię kinetyczną i częściowo rozpraszana w postaci ciepła z powodu pracy siły oporu. Tuż przy powierzchni Ziemi, energia potencjalna staje się równa zeru, a energia kinetyczna przyjmuje maksymalną możliwą wartość.

W sytuacji, gdy nie występuje opór powietrza, cała energia potencjalna kulki zostaje przekształcona w energię kinetyczną.

Rozwiązanie

Zmiana energii mechanicznej kulki jest równa pracy wykonanej przez siłę tarcia WIndeks dolny T

Δ E = W_{T}

gdzie $Δ E$ jest różnicą energii kinetycznej kulki tuż przy powierzchni Ziemi i początkowej energii potencjalnej:

Δ E = E_{k} - E_{p g}

Praca wykonana przez siłę oporu:

W_{T} = F_{o} h \cos 180 ° = - F_{o} h

Otrzymujemy zatem równanie:

\frac{m v_{1}^{} 2}{2} - m g h = - 0, 05 m g h

\frac{m v_{1}^{} 2}{2} = 0, 95 m g h

v_{1} = \sqrt{1, 9 g h} = \sqrt{1, 9 \cdot 9, 81 \frac{m}{s^{2}} \cdot 1, 5 m} \approx 5, 29 \frac{m}{s}

W sytuacji, gdy nie występuje opór powietrza, cała energia potencjalna przekształca się w kinetyczną:

E_{pg} = E_{k}

m g h = \frac{m v_{2}^{2}}{2} \to v_{2} = \sqrt{2 g h}

v_{2} = \sqrt{2 \cdot 9, 81 \frac{m}{s^{2}} \cdot 1, 5 m} \approx 5, 42 \frac{m}{s}

W przypadku, gdy występuje siła oporu powietrza, prędkość kulki tuż przy powierzchni Ziemi jest mniejsza. Część początkowej energii potencjalnej kulki zostaje wtedy rozproszona.

Przykład 4 – ruch sanek z tarciem

Zadanie dla profilu rozszerzonego.

Jaką maksymalną prędkość uzyskają sanki zjeżdżające ze wzniesienia o wysokości h = 3 m i kącie nachylenia 5° ? Współczynnik tarcia sanek o zbocze wynosi mu = 0,08.

Dane wysokość wzniesienia h = 3 m kąt nachylenia wzniesienia alfa = 5° współczynnik tarcia mu = 0,08 przyspieszenie ziemskie g = 9,81 $\frac{m}{s^{2}}$	Szukane maksymalna prędkość sanek vIndeks dolny max = ?

Analiza zadania

W tym przypadku zachodzi przemiana energii potencjalnej sanek w energię kinetyczną (opisana w poprzednim przykładzie) oraz zamiana części energii na ciepło pod wpływem pracy siły tarcia (będącej siłą zewnętrzną).

Rozwiązanie

Zmiana energii mechanicznej sanek jest równa pracy WIndeks dolny T wykonanej przez siłę tarcia:

Δ E = W_{T}

gdzie $Δ E$ jest różnicą energii kinetycznej sanek na dole równi i początkowej energii potencjalnej (na górze równi):

Δ E = E_{k} - E_{p g}

Praca wykonana przez siłę tarcia:

W_{T} = T s \cos 180^{\circ} = - T s

gdzie s jest drogą, na której działa siła tarcia.

Wartość siły tarcia jest równa wartości siły naciskusiła naciskusiły nacisku N sanek na podłoże pomnożonej przez współczynnik tarcia.

T = μ N

Aby wyznaczyć siłę nacisku, wzniesienie o stałym kącie nachylenia potraktujemy jako równię pochyłą. Przeanalizujmy rozkład sił na takiej równi (Rys. 6.).

R1Pr5NONPjHZD

Rys. 6. Rysunek przedstawia symbolicznie czarne sanki zjeżdżające z górki. Górka została przedstawiona za pomocą trójkąta prostokątnego pomalowanego na szaro. Kąt nachylenia stoku do podłoża oznaczono małą czarną literą alfa. Zjazd następuje skośnie w dół w prawą stronę rysunku. Na rysunku przedstawiono sanki w pozycji mniej więcej w połowie stoku. Na rysunku naniesiono wektory sił działające na sanki w tym ruchu. Kolorem pomarańczowym oznaczono wektor opisany pomarańczowym tekstem jako siła ciężkości i oznaczony dużą pomarańczową literą F z indeksem dolnym w postaci małej litery g oraz strzałką skierowaną prawą stronę nad nią skierowany pionowo w dół od sanek. Wektor ten rozłożony został na dwa wektory. Kolorem niebieskim oznaczono wektor opisany niebieskim tekstem jako składowa równoległa siły ciężkości i oznaczony dużą niebieską literą F z indeksem dolnym w postaci małej litery g oraz symbolu równoległości oraz strzałką skierowaną w prawą stronę nad nią. Wektor ten skierowany jest wzdłuż stoku. Kolorem czerwonym oznaczono wektor opisany czerwonym tekstem jako składowa prostopadła siły ciężkości i oznaczony dużą czerwoną literą F z indeksem dolnym w postaci małej litery g oraz symbolu prostopadłości oraz strzałką skierowaną w prawą stronę nad nią. Wektor ten skierowany jest w głąb góry prostopadle do jej stoku. Obok tego wektora umieszczono kolorem fioletowym wektor równoległy do niego o tej samej wartości, kierunku i zwrocie opisany jako siła nacisku i oznaczony dużą czarną literą N ze znaczkiem wektora skierowanego w prawo ponad nią. Na rysunku naniesiono też zielony wektor o tej samej wartości i tym samym kierunku ale przeciwnym zwrocie do dwóch poprzednich. Wychodzący od sanek w kierunku przeciwnym do góry prostopadle do jej stoku. Wektor ten został opisany kolorem zielonym jako siła reakcji równi i oznaczony dużą zieloną literą F z indeksem dolnym w postaci małej litery r ze znaczkiem wektora skierowanym w prawo ponad nią. — Rys. 6. Siły działające na sanki na wzniesieniu.

Siła naciskusiła naciskuSiła nacisku N na podłoże jest co do wartości równa prostopadłej składowej siły ciężkości: $N = F_{g} cos α = m g cos α$ . Praca siły tarcia jest zatem równa:

W_{T} = - μ m g s \cos α

Musimy jeszcze wyznaczyć drogę s, na której działa siła tarcia. Ponieważ dana jest wysokość zbocza h, oraz kąt nachylenia, drogę możemy wyznaczyć z prostych relacji geometrycznych:

sin α = \frac{h}{s} \to s = \frac{h}{sin α}

Ostatecznie zatem:

W_{T} = - μ m g s \cos α = - μ m g \frac{h}{\sin α} \cos α = - μ m g h ctg α

Wstawmy otrzymane wyrażenia do równania opisującego bilans energii i wyznaczmy wartość prędkości:

\frac{m v_{max}^{} 2}{2} - m g h = - μ m g h ctg α

v_{max} = \sqrt{2 g h (1 - μ ctg α)} = \sqrt{2 \cdot 9, 81 \frac{m}{s^{2}} \cdot 3 m \cdot (1 - 0, 08 ctg 5^{o})} \approx 2, 2 \frac{m}{s}

Prędkość ta jest niższa niż otrzymana w Przykładzie 1. Taki rezultat związany jest z działaniem pracy siły tarcia, która przekształca część początkowej energii potencjalnej sanek na ciepło.

Przykład 5 – ruch ciała na sprężynie

Zadanie dla profilu rozszerzonego.

Do sprężyny o współczynniku sprężystości k = 15 $\frac{N}{m}$ dołączono ciężarek o masie m = 100 g. Drugi koniec sprężyny przyczepiono do ściany. Sprężyna może wykonywać drgania w kierunku poziomym. Początkowa długość sprężyny wynosiła xIndeks dolny 1 = 20 cm. Wyznacz, jaką maksymalną prędkość uzyska drgający ciężarek, jeżeli sprężyna została rozciągnięta do długości xIndeks dolny 2 = 25 cm i puszczona. Zaniedbaj tarcie.

Dane współczynnik sprężystości sprężyny k = 15 $\frac{N}{m}$ początkowa długość sprężyny xIndeks dolny 1 = 20 cm = 0,2 m długość rozciągniętej sprężyny xIndeks dolny 2 = 25 cm = 0,25 m masa ciężarka m = 100 g = 0,1 kg	Szukane maksymalna prędkość ciężarka vIndeks dolny max = ?

Analiza zadania

Na skutek pracy zewnętrznej siły rozciągającej sprężynę ponad jej długość początkową, rośnie energia potencjalna sprężystości sprężyny. Po puszczeniu sprężyny, sprężyna zaczyna drgać – energia sprężystości zostaje przekształcona w energię kinetyczną.

Rozwiązanie

Praca wykonana przez siłę zewnętrzną rozciągającą sprężynę jest równa zmianie energii potencjalnej sprężystości:

W = Δ E_{p s}

Zgodnie z zasadą zachowania energii mechanicznej, zmiana energii sprężystości musi być równa zmianie energii kinetycznej. Porównajmy zatem energię potencjalną sprężystości na początku ruchu z energią kinetyczną przy maksymalnej prędkości:

Δ E_{ps} = Δ E_{k}

\frac{k {(Δ x)}^{2}}{2} = \frac{m v_{max}^{2}}{2}

gdzie $Δ x = x_{2} - x_{1}$ i wyraża zmianę długości sprężyny pod wpływem siły rozciągającej. Stąd możemy wyznaczyć maksymalną prędkość ciała:

v_{max} = \sqrt{\frac{k {(Δ x)}^{2}}{m}}

[v_{max}] = \sqrt{\frac{\frac{N}{m} \cdot m^{2}}{kg} = \frac{Nm}{kg} = \frac{J}{kg} = \frac{m^{2}}{s^{2}}} = \frac{m}{s}

v_{max} = \sqrt{\frac{15 \frac{N}{m} {(0, 25 m - 0, 2 m)}^{2}}{0, 1 k g}} \approx 0, 61 \frac{m}{s}

Słowniczek

turbina

(ang.: turbine) z łac. turbo - tornado, burza powietrzna, urządzenie przekształcające energię przepływającego przez nie płynu (cieczy lub gazu) w energię kinetyczną obrotową.

generator prądu

(ang.: electric generator) urządzenie przekształcające dostarczoną mu energię w energię elektryczną. Przykładem generatora prądu jest dynamo rowerowe - w tym przypadku energią dostarczaną jest energia kinetyczna pochodząca od koła roweru.

sprawność

(ang.: energy conversion efficiency) określa, jaka część energii dostarczonej do układu ulegnie zamianie na inną formę energii.

siła nacisku

(ang.: normal force) siła z jaką ciało działa na daną powierzchnię wzdłuż prostej normalnej (prostopadłej) do tej powierzchni.

Wprowadzenie

Film samouczek

Warto przeczytać

Słowniczek