Przeczytaj
Znasz już przykłady wielościanów, np. sześcian, prostopadłościan, itp. Teraz przypomnisz i utrwalisz wiadomości o graniastosłupach prawidłowych oraz rozwiniesz zdobyte wcześniej umiejętności i zastosujesz je do sporządzania rysunków pomocniczych.
Pojęcia wstępne
Graniastosłupem nazywamy wielościan, który ma dwie przystające i równoległe ściany zwane podstawami graniastosłupa, a pozostałe ściany (ściany boczne) są równoległobokami. Graniastosłupy, których ściany boczne są prostokątami, nazywamy graniastosłupami prostymi, pozostałe są graniastosłupami pochyłymigraniastosłupami pochyłymi.
Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prostygraniastosłup prosty, którego podstawy są wielokątami foremnymi (czyli wielokątami o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach równej miary).
Graniastosłup prawidłowyGraniastosłup prawidłowy sześciokątny w podstawach ma sześciokąty foremne, a ściany boczne są przystającymi prostokątami. Długość krawędzi bocznej jest wysokością graniastosłupawysokością graniastosłupa.
Poćwiczysz znajomość budowy tego graniastosłupa poprzez aplet w GeoGebrze. Przyjrzyjmy się dokładnie modelowi graniastosłupa. Możesz wykonać obroty modelu.
Zapoznaj się z poniższym opisem apletu przedstawiającym graniastosłup prawidłowy sześciokątny.
Zastanowimy się jeszcze nad figurą, która jest podstawą graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego.
Sześciokąt foremny – budowa i własności
Sześciokąt foremny to figura zbudowana z trójkątów równobocznych.
Łatwo wskazać jego pole:
Ma on dwa rodzaje przekątnych:
- dłuższą przekątną, równą
- krótszą przekątną, równą
Ciekawe w sześciokącie foremnym jest to, że zaznaczając przekątne można wskazać tak zwany trójkąt szczególny. Trójkąt ma kąty , i , a jego boki odpowiednio są równe , i .
Rysowanie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego
Zastanowimy się jeszcze jak sprawnie i łatwo narysować rysunek pomocniczy do zadania dotyczącego graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego.
Aby narysować graniastosłup, wykorzystujemy własności rzuturzutu równoległego na płaszczyznę. Najczęściej rysunek wykonujemy tak, że jedna ze ścian bocznych jest równoległa do rzutni. Krawędzie boczne są odcinkami równoległymi o równych długościach, więc na rysunku też są równoległe i mają równą długość, tak samo zachowują się odpowiednie pary krawędzi podstaw.
Uzupełnijmy tabelkę z informacjami opisującymi graniastosłup sześciokątny.
Liczba wierzchołków | Liczba krawędzi podstawy | Liczba krawędzi bocznych | Liczba wszystkich krawędzi | Ilość ścian | Ilość ścian bocznych |
---|---|---|---|---|---|
Wyznaczymy sumę długości krawędzi graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy długości , i wysokości .
Wiemy już, że krawędzie podstawy są jednakowej długości i jest ich , a krawędzie boczne, są równe wysokości tego graniastosłupa i jest ich , stąd mamy wzór:
Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest sześciokąt o polu . Wysokość graniastosłupa jest równa . Oblicz, ile centymetrów drutu potrzeba na wykonanie szkieletowego modelu tego graniastosłupa.
Graniastosłup jest prawidłowy sześciokątny, zatem jego podstawą jest sześciokąt foremny o znanym polu .
Obliczamy długość krawędzi podstawy – korzystamy ze wzoru na pole sześciokąta foremnego:
Wszystkie krawędzie boczne graniastosłupa są równe i mają długość .
Możemy już obliczyć, ile drutu potrzebujemy:
Odpowiedź: Na wykonanie modelu graniastosłupa potrzeba drutu.
Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest sześciokąt o przekątnej długości
. Wysokość graniastosłupa jest dwa razy większa od jego krawędzi podstawy. Oblicz sumę wszystkich krawędzi tego graniastosłupa, (rozważ przypadki).
W zadaniu nie mamy doprecyzowane, o którą przekątną chodzi, a wiemy, że przekątne sześciokąta foremnego mają przekątne o dwóch różnych długościach. Dlatego musimy rozważyć przypadki:
dłuższa przekątna ma ,
krótsza przekątna ma .
Rozwiązanie
Graniastosłup jest prawidłowy sześciokątny, zatem jego podstawą
jest sześciokąt foremny o znanej dłuższej przekątnej . Obliczamy długość krawędzi podstawy – korzystamy ze wzoruRnVRMIYhTNlDL
Wszystkie krawędzie boczne graniastosłupa są równe i mają długość dwa razy większą od jego krawędzi podstawy, czyli .
Możemy już obliczyć sumę wszystkich krawędzi tego graniastosłupa:
.
Odpowiedź: Suma wszystkich krawędzi tego graniastosłupa wynosi .Graniastosłup jest prawidłowy sześciokątny, zatem jego podstawą jest sześciokąt foremny o znanej krótszej przekątnej .
RyIEnGP8VaMVn Obliczamy długość krawędzi podstawy – korzystamy ze wzoru .
Wszystkie krawędzie boczne graniastosłupa są równe i mają długość dwa razy większą od jego krawędzi podstawy, czyli .
Możemy już obliczyć sumę wszystkich krawędzi tego graniastosłupa:
.
Odpowiedź: Suma wszystkich krawędzi tego graniastosłupa wynosi .
Słownik
graniastosłup, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw
figura przestrzenna, której podstawy są przystającymi wielokątami, a wszystkie ściany boczne są prostokątami
graniastosłup prosty, którego podstawy są wielokątami foremnymi. W graniastosłupie prawidłowym ściany boczne są figurami przystającymi (są po prostu identycznymi prostokątami).
odcinek zawarty w prostej prostopadłej do jego podstaw, którego końcami są punkty wspólne tej prostej z płaszczyznami zawierającymi podstawy graniastosłupa
przekształcenie przestrzeni trójwymiarowej na przestrzeń dwuwymiarową. Rzutowanie polega na poprowadzeniu prostej przez dany punkt obiektu i znalezieniu punktu wspólnego tej prostej z rzutnią. Wyznaczony punkt nazywany jest rzutem a prosta promieniem rzutującym