Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Znasz już przykłady wielościanów, np. sześcian, prostopadłościan, itp. Teraz przypomnisz i utrwalisz wiadomości o graniastosłupach prawidłowych oraz  rozwiniesz zdobyte wcześniej umiejętności i zastosujesz je do sporządzania rysunków pomocniczych.

Pojęcia wstępne

Graniastosłupem nazywamy wielościan, który ma dwie przystające i równoległe ściany zwane podstawami graniastosłupa, a pozostałe ściany (ściany boczne) są równoległobokami. Graniastosłupy, których ściany boczne są prostokątami, nazywamy graniastosłupami prostymi, pozostałe są graniastosłupami pochyłymigraniastosłup pochyłygraniastosłupami pochyłymi.

Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prostygraniastosłup prostygraniastosłup prosty, którego podstawy są wielokątami foremnymi (czyli wielokątami o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach równej miary).

Graniastosłup prawidłowygraniastosłup prawidłowyGraniastosłup prawidłowy sześciokątny w podstawach ma sześciokąty foremne, a ściany boczne są przystającymi prostokątami. Długość krawędzi bocznej jest wysokością graniastosłupawysokość graniastosłupawysokością graniastosłupa.

RO5x5hTfRgPft

Poćwiczysz znajomość budowy tego graniastosłupa poprzez aplet w GeoGebrze. Przyjrzyjmy się dokładnie modelowi graniastosłupa. Możesz wykonać obroty modelu.

Zapoznaj się z poniższym opisem apletu przedstawiającym graniastosłup prawidłowy sześciokątny.

RWeMBX0m5XA9K
Aplet przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Możliwe jest obracanie graniastosłupem. Podstawowym ułożeniem graniastosłupa jest pokazanie go w taki sposób aby można było wskazać wszystkie wierzchołki, ściany boczne i podstawy graniastosłupa wraz z krawędziami bocznymi i krawędziami podstaw. Istnieje możliwość obrócenia graniastosłupa w taki sposób, że rysunek przedstawia podstawę graniastosłupa. W takim ułożeniu możemy wyróżnić krawędź podstawy oraz podstawę i 6 wierzchołków, które są wierzchołkami podstawy. Ostatnią charakterystyczną możliwością jest obrócenie graniastosłupa w taki sposób, że na rysunku znajdują się tylko 3 ściany boczne graniastosłupa, 4 krawędzie boczne,2 krawędzie podstaw oraz 8 wierzchołków.

Zastanowimy się jeszcze nad figurą, która jest podstawą graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego.

Sześciokąt foremny – budowa i własności

Sześciokąt foremny to figura zbudowana z 6 trójkątów równobocznych.

RFzR9bRs5JRdq

Łatwo wskazać jego pole:

Pf=6·PΔ=6·a234=3a232

Ma on dwa rodzaje przekątnych:

d1 - dłuższą przekątną, równą d1=2·a

d2 - krótszą przekątną, równą d2=2·hΔ=2·a32=a3

Ciekawe w sześciokącie foremnym jest to, że zaznaczając przekątne można wskazać tak zwany trójkąt szczególny. Trójkąt ACD ma kąty 30°, 60°90°, a jego boki odpowiednio są równe a, a32a.

Rysowanie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego

Zastanowimy się jeszcze jak sprawnie i łatwo narysować rysunek pomocniczy do zadania dotyczącego graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego.

Aby narysować graniastosłup, wykorzystujemy własności rzuturzutowanierzutu równoległego na płaszczyznę. Najczęściej rysunek wykonujemy tak, że jedna ze ścian bocznych jest równoległa do rzutni. Krawędzie boczne są odcinkami równoległymi o równych długościach, więc na rysunku też są równoległe i mają równą długość, tak samo zachowują się odpowiednie pary krawędzi podstaw.

R1GJeiIQFRNYd
Przykład 1

Uzupełnijmy tabelkę z informacjami opisującymi graniastosłup sześciokątny.

Liczba wierzchołków

Liczba krawędzi podstawy

Liczba krawędzi bocznych

Liczba wszystkich krawędzi

Ilość ścian

Ilość ścian bocznych

12

12

6

18

8

6

Przykład 2

Wyznaczymy sumę długości krawędzi graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy długości a, i wysokości h.

Wiemy już, że krawędzie podstawy są jednakowej długości i jest ich 12, a krawędzie boczne, są równe wysokości tego graniastosłupa i jest ich 6, stąd mamy wzór:

Sk=12·a+6·h

Przykład 3

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest sześciokąt o polu 1503 cm2. Wysokość graniastosłupa jest równa 12 cm. Oblicz, ile centymetrów drutu potrzeba na wykonanie szkieletowego modelu tego graniastosłupa.

RUPVWUApsSjrW

Graniastosłup jest prawidłowy sześciokątny, zatem jego podstawą jest sześciokąt foremny o znanym polu 1503 cm2.

Obliczamy długość a krawędzi podstawy – korzystamy ze wzoru na pole sześciokąta foremnego:

P=3a232

1503=3a232·2

3003=3a23:3

1003=a23:3

100=a2

a=100

a=10

Wszystkie krawędzie boczne graniastosłupa są równe i mają długość 12 cm.

Możemy już obliczyć, ile cm drutu potrzebujemy:

Sk=12·a+6·h=12·10+6·12=120+72=192 cm

Odpowiedź: Na wykonanie modelu graniastosłupa potrzeba 192 cm drutu.

Przykład 4

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest sześciokąt o przekątnej długości
18 cm. Wysokość graniastosłupa jest dwa razy większa od jego krawędzi podstawy. Oblicz sumę wszystkich krawędzi tego graniastosłupa, (rozważ 2 przypadki).

W zadaniu nie mamy doprecyzowane, o którą przekątną chodzi, a wiemy, że przekątne sześciokąta foremnego mają przekątne o dwóch różnych długościach. Dlatego musimy rozważyć 2 przypadki:

  1. dłuższa przekątna ma 18 cm,

  2. krótsza przekątna ma 18 cm.

Rozwiązanie

  1. Graniastosłup jest prawidłowy sześciokątny, zatem jego podstawą
    jest sześciokąt foremny o znanej dłuższej przekątnej d1=18 cm. Obliczamy długość a krawędzi podstawy – korzystamy ze wzoru d1=2·a

    RnVRMIYhTNlDL

  2. d1=18
    2a=18:2
    a=9 cm
    Wszystkie krawędzie boczne graniastosłupa są równe i mają długość dwa razy większą od jego krawędzi podstawy, czyli h=2·9=18 cm.
    Możemy już obliczyć sumę wszystkich krawędzi tego graniastosłupa:
    Sk=12·a+6·h=12·9+6·18=108+108=216 cm.
    Odpowiedź: Suma wszystkich krawędzi tego graniastosłupa wynosi 216 cm.

  3. Graniastosłup jest prawidłowy sześciokątny, zatem jego podstawą jest sześciokąt foremny o znanej krótszej przekątnej d2=18 cm.

    RyIEnGP8VaMVn

    Obliczamy długość a krawędzi podstawy – korzystamy ze wzoru d2=a3.
    d2=18 a3=18·3
    3a=183:3
    a=63 cm
    Wszystkie krawędzie boczne graniastosłupa są równe i mają długość dwa razy większą od jego krawędzi podstawy, czyli h=2·63=123 cm.
    Możemy już obliczyć sumę wszystkich krawędzi tego graniastosłupa:
    Sk=12·a+6·h=12·63+6·123=723+723=1443 cm.
    Odpowiedź: Suma wszystkich krawędzi tego graniastosłupa wynosi 1443 cm.

Słownik

graniastosłup pochyły
graniastosłup pochyły

graniastosłup, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw

graniastosłup prosty
graniastosłup prosty

figura przestrzenna, której podstawy są przystającymi wielokątami, a wszystkie ściany boczne są prostokątami

graniastosłup prawidłowy
graniastosłup prawidłowy

graniastosłup prosty, którego podstawy są wielokątami foremnymi. W graniastosłupie prawidłowym ściany boczne są figurami przystającymi (są po prostu identycznymi prostokątami).

wysokość graniastosłupa
wysokość graniastosłupa

odcinek zawarty w prostej prostopadłej do jego podstaw, którego końcami są punkty wspólne tej prostej z płaszczyznami zawierającymi podstawy graniastosłupa

rzutowanie
rzutowanie

przekształcenie przestrzeni trójwymiarowej na przestrzeń dwuwymiarową. Rzutowanie polega na poprowadzeniu prostej przez dany punkt obiektu i znalezieniu punktu wspólnego tej prostej z rzutnią. Wyznaczony punkt nazywany jest rzutem a prosta promieniem rzutującym