Przeczytaj

Rozważmy proste, które można opisać równaniami kierunkowymi $y = a x + b$ i $y = c x + d$ , czyli żadna z nich nie jest równoległa do osi $Y$ . Wówczas ich wzajemne położenie możemy określić, rozważając układ równań

\{\begin{cases} y = a x + b \\ y = c x + d \end{cases}

z którego wynika równanie

a x + b = c x + d

(a - c) x = d - b

Mogą zachodzić następujące przypadki:

R1VpDMARkA9Fe1

Tabela opisuje trzy przypadki. Przypadek pierwszy: a-c=0. Wtedy istnieje możliwość, że d-b=0. Mamy w tym przypadku do czynienia z równaniem tożsamościowym, które spełnione jest przez każdą liczbę rzeczywistą x. Dla każdej liczby rzeczywistej x możemy wyznaczyć y=ax+b. Proste mają nieskończenie wiele punktów wspólnych o współrzędnych postaci x;ax+b. Rysunek ilustrujący przypadek pierwszy. Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do trzech oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Rysunek przedstawia dwie ukośne proste nakładające się na siebie. Proste te mają wzory: y=ax+b oraz y=cx+d, gdzie a=c oraz b=d. Przypadek drugi: a-c=0. Wtedy istnieje możliwość, że d-b≠0. Mamy w tym przypadku do czynienia z równaniem sprzecznym, którego nie spełnia żadna liczba rzeczywistą x. Proste nie mają punktów wspólnych - są one równoległe, ale się nie nakładają. Rysunek ilustrujący przypadek drugi. Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do trzech oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Rysunek przedstawia dwie ukośne równoległe proste nie nakładające się na siebie. Proste te mają wzory: y=ax+b oraz y=cx+d, gdzie a=c oraz b≠d. Przypadek trzeci: a-c≠0. Wtedy proste mają dokładnie jeden punkt wspólny, którego współrzędne wyznaczamy następująco. Pierwszą współrzędną obliczamy ze wzoru: x=d-ba-c. Drugą współrzędną obliczamy ze wzoru: y=a·d-ba-c+b=ad-ab+ab-bca-c=ad-bca-c. Punkt wspólny prostych ma zatem współrzędne: d-ba-c;ad-bca-c. Rysunek ilustrujący przypadek trzeci. Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do trzech oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Rysunek przedstawia dwie ukośne proste przecinające się. Proste te mają wzory: y=ax+b oraz y=cx+d, gdzie a≠c.

Zatem dwie proste opisane równaniami kierunkowymi mogą mieć:

dokładnie jeden punkt wspólny, gdy mają różne współczynniki kierunkowe,
nieskończenie wiele punktów wspólnych, gdy mają równe współczynniki kierunkowe i równe wyrazy wolne,
zero punktów wspólnych, gdy mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne.

Podobną analizę możemy przeprowadzić dla prostych opisanych równaniami ogólnymi, które obejmują również proste równoległeproste równoległeproste równoległe do osi $Y$ .

Aby określić wzajemne położenie prostych o równaniach $A x + B y = C$ , gdzie $A$ i $B$ nie są jednocześnie równe zeru, oraz $D x + E y = F$ , gdzie $D$ i $E$ nie są jednocześnie równe zeru, wystarczy rozważyć układ równań

\{\begin{cases} A x + B y = C \\ D x + E y = F \end{cases}

Wyznaczymy $x$ z pierwszego równania:

A x = C - B y

x = \frac{C - B y}{A}

Podstawiając otrzymany wynik za $x$ do drugiego równania, dostaniemy:

\frac{C D - B D y}{A} + E y = F | \cdot A

C D - B D y + A E y = A F

Dochodzimy finalnie do prostego równania z niewiadomą $y$ :

(A E - B D) y = A F - C D

Analogiczne równanie możemy otrzymać dla niewiadomej $x$ :

(A E - B D) x = C E - B F

RyopWeHmH12aL1

Tabela opisuje trzy przypadki. Przypadek pierwszy: AE-BD=0. Wtedy istnieje możliwość, że AF-CD≠0 lub CE-BF≠0. Mamy w tym przypadku do czynienia z równaniem sprzecznym, układ nie ma rozwiązań. Proste nie mają punktów wspólnych - są one równoległe, ale się nie nakładają. Rysunek ilustrujący przypadek pierwszy. Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do czterech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Rysunek przedstawia dwie ukośne równoległe proste nie nakładające się na siebie. Proste opisane są wzorami: Ax+By=C oraz Dx+Ey=F, gdzie AE-BD=0, AF-CD≠0, CE-BF≠0. Przypadek drugi: AE-BD=0. Wtedy istnieje możliwość, że AF-CD=0 lub CE-BF=0. Mamy w tym przypadku do czynienia z równaniem tożsamościowym, układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, którymi są pary x;y spełniające warunek Ax+By=C. Rysunek ilustrujący przypadek drugi. Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do czterech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Rysunek przedstawia dwie ukośne proste nakładające się na siebie. Proste opisane są wzorami: Ax+By=C oraz Dx+Ey=F, gdzie AE-BD=0, AF-CD=0, CE-BF=0. Przypadek trzeci: AE-BD≠0. Wtedy układ ma jedno rozwiązanie. x=CE-BFAE-BDy=AF-CDAE-BD. Proste przecinają się w jednym punkcie o współrzędnych: CE-BFAE-BD;AF-CDAE-BD Rysunek ilustrujący przypadek trzeci. Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do dwóch oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Rysunek przedstawia dwie ukośne proste przecinające się w jednym punkcie. Proste opisane są wzorami: Ax+By=C oraz Dx+Ey=F, gdzie AE-BD≠0.

Przykład 1

Określimy wzajemne położenie prostych o równaniach $3 x - 2 y = 4$ oraz $- 6 x + 4 y = 8$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że jeśli podzielimy obie strony drugiego równania przez $(- 2)$ , otrzymamy równanie

$3 x - 2 y = - 4$ .

Ponieważ wyrażenie $3 x - 2 y$ nie może jednocześnie przyjąć wartości $4$ i $(- 4)$ , więc układ złożony z podanych równań jest sprzeczny. Oznacza to, że proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych.

R1OAJfFgG3lGl

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do czterech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do dwóch. Rysunek przedstawia dwie ukośne proste. Proste opisane są wzorami: 3x-2y=-4 oraz 3x-2y=4.

Przykład 2

Zbadamy wzajemne położenie prostych o równaniach $5 x + 3 y = 2$ oraz $2, 5 x + 1, 5 x = 1$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że jeśli pomnożymy obie strony drugiego równania przez $2$ , to otrzymamy równanie

$5 x + 3 y = 2$ .

Oznacza to, że oba równania opisują proste, które się nakładają (można też myśleć, że opisują tę samą prostą). Zatem każdy punkt o współrzędnych $(x; \frac{2 - 5 x}{3})$ spełnia oba równania.

RvmrDnmLMZ8Sc

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do trzech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do dwóch. Rysunek przedstawia dwie ukośne proste nakładające się na siebie. Proste opisane są wzorami: 5x+3y=2 oraz 5x+3y=2.

Przykład 3

Określimy wzajemne położenie prostych o równaniach $y = 2 x - 3$ oraz $2 x - 3 y = 1$ .

Rozwiązanie

W tym celu rozwiążemy układ równań

$\{\begin{cases} y = 2 x - 3 \\ 2 x - 3 y = 1 \end{cases}$ .

Wynika z niego równanie

$2 x - 3 (2 x - 3) = 1$ .

Kolejne przekształcenia pozwalają wyznaczyć wartość niewiadomej $x$ :

$2 x - 6 x + 9 = 1$
$- 4 x = - 8$
$x = 2$ .

Pozostało wyznaczyć wartość niewiadomej $y$ :

$\{\begin{cases} x = 2 \\ 2 \cdot 2 - 3 y = 1 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x = 2 \\ - 3 y = - 3 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$ .

Zatem proste o równaniach $y = 2 x - 3$ oraz $2 x - 3 y = 1$ przecinają się w jednym punkcie o współrzędnych $(2; 1)$ .

Przykład 4

Zbadamy wzajemne położenie prostych w zależności od wartości parametru $m$ . Proste mają równania: $y = (m^{2} - 1) x + 2$ oraz $y = 3 x + m$ .

Rozwiązanie

Obie proste opisane są równaniami kierunkowymi. Są one równoległe dokładnie wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe, zatem

$m^{2} - 1 = 3$ ,

czyli

$m = 2$ lub $m = -2$ .

Dla $m = 2$ otrzymujemy równania

$y = 3 x + 2$ oraz $y = 3 x + 2$ ,

zatem proste opisane danymi równaniami pokrywają się.

Dla $m = -2$ otrzymujemy równania

$y = 3 x + 2$ oraz $y = 3 x - 2$ ,

zatem proste opisane danymi równaniami są równoległe, ale się nie pokrywają.

Dla $m \in ℝ ∖ \{- 2; 2\}$ otrzymujemy proste, które się przecinają.

Przykład 5

Zbadamy wzajemne położenie prostych w zależności od parametru $m$ . Proste mają równania $m x + 2 y = 1$ oraz $8 x + m y = - 2$ .

Rozwiązanie

Wykorzystamy zestawienie zawarte w tabeli 2.

Rozważmy układ równań

$\{\begin{matrix} m x + 2 y = 1 \\ 8 x + m y = - 2 . \end{matrix}$ .

Przy oznaczeniach przyjętych w tabeli 2, mamy:

$A = m$ , $B = 2$ , $C = 1$ , $D = 8$ , $E = m$ , $F = - 2$ .

Obliczmy teraz

$A E - B D = m^{2} - 16$
$C E - B F = m + 4$
$A F - C D = - 4 - m = - (m + 4)$ .

Jeśli $A E - B D = 0$ oraz $C E - B F = 0$ lub $A F - C D = 0$ , to proste będą się nakładać, co dzieje się tylko dla $m = -4$ .

Jeśli jednocześnie

$A E - B D = 0$ ,
$C E - B F \neq 0$ ,
$A F - C D = 0$ ,

to proste będą równoległe, co dzieje się tylko dla $m = 4$ .

Jeśli

$A E - B D \neq 0$ ,

wtedy będą to proste przecinające sięproste przecinające sięproste przecinające się, co dzieje się dla $m \in ℝ ∖ \{- 4; 4\}$ .

Rozważmy proste narysowane poniżej

ROouLWSz93D9x

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do trzech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Rysunek przedstawia dwie ukośne proste. Pierwsza prosta przechodzi przez punkty o współrzędnych: -2;-1 oraz 0;2. Druga prosta przechodzi przez punkty o współrzędnych: 1;0 oraz 3;3.

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że proste są równoległe. W rzeczywistości ich równania to

$y = \frac{3}{2} x + 2$

oraz

$y = \frac{149}{100} x - \frac{3}{2}$ ,

zaś ich punkt wspólny ma współrzędne $(- 350; - 523)$ .

Zauważmy na podstawie powyższego przykładu, że nawet przy bardzo dokładnych wykresach, możemy pochopnie wyciągnąć wnioski o położeniu prostych, dlatego też warto zawsze poprzeć takie obserwacje obliczeniami. Skala rysunku pomocniczego ma duże znaczenie. Powinna być dopasowana do współczynników równania prostej. W tym przypadku, decydując się na dokładne narysowanie obu prostych o niewielkich współczynnikach, pomijamy duże wartości, przez co na rysunku nie jest umieszczony punkt przecięcia prostych.

Słownik

proste równoległe

proste, które nie mają punktów wspólnych lub się nakładają

proste przecinające się

proste, które mają dokładnie jeden punkt wspólny

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Rozwiązanie

Rozwiązanie

Rozwiązanie

Rozwiązanie

Rozwiązanie

Słownik