Sumą zdarzeń $A$ i $B$ nazywamy zdarzenie $A\cup B$, któremu sprzyjają zdarzenia elementarne $\omega$ sprzyjające zdarzeniu $A$ lub zdarzeniu $B$.

W kapeluszu znajdują się karteczki, na których zapisane są liczby: $0$, $3$, $5$, $6$, $7$, $10$. Z pudła Arek wyciąga jedną karteczkę.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na wyciągnięciu karteczki, na której zapisana jest liczba podzielna przez $5$,
$B$ – zdarzenie polegające na wyciagnięciu karteczki, na której zapisana jest liczba parzysta.

Wtedy zdarzeniem $A\cup B$ będzie wyciagnięcie karteczki, na której zapisana jest liczba podzielna przez $5$ lub liczba parzysta.

Zatem:

$A\cup B=\left\{0, 5, 6, 10\right\}$.

Iloczynem zdarzeń $A$ i $B$ nazywamy zdarzenie $A\cap B$, któremu sprzyjają zdarzenia elementarne $\omega$ sprzyjające zdarzeniu $A$ i zdarzeniu $B$.

W kapeluszu znajdują się karteczki, na których zapisane są liczby: $0$, $3$, $5$, $6$, $7$, $10$. Z pudła Arek wyciąga jedną karteczkę.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na wyciągnięciu karteczki, na której zapisana jest liczba podzielna przez $5$,
$B$ – zdarzenie polegające na wyciagnięciu karteczki, na której zapisana jest liczba parzysta,
$C$ – zdarzenie polegające na wyciągnięciu karteczki, na której zapisana jest liczba nieparzysta większa od $6$.

Wtedy:

• zdarzeniem $A\cap B$ będzie wyciagnięcie karteczki, na której zapisana jest liczba parzysta podzielna przez $5$,

• zdarzeniem $A\cap C$ będzie wyciagnięcie karteczki na której zapisana jest liczba nieparzysta większa od $6$ podzielna przez $5$.

Zatem:

$A\cap B=\left\{0, 10\right\}$

$A\cap C=\varnothing$

Różnicą zdarzeń $A$ i $B$ nazywamy zdarzenie $A\setminus B$, któremu sprzyjają zdarzenia elementarne $\omega$ sprzyjające zdarzeniu $A$ i niesprzyjające zdarzeniu $B$.

Z talii $52$ kart losujemy jedną.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na wylosowaniu damy,
$B$ – zdarzenie polegające na wylosowaniu karty koloru pik.

Wtedy zdarzeniu $A\setminus B$ odpowiada wylosowanie damy, która nie jest koloru pik, natomiast zdarzeniu $B\setminus A$ odpowiada wylosowanie karty koloru pik, która nie jest damą.

Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia $A$ nazywamy zdarzenie $A\text{'}$ takie, że

Rzucamy dwoma kostkami do gry.

Niech $A$ będzie zdarzeniem polegającym na wyrzuceniu sumy oczek równej 12. Wtedy zdarzeniem $A\text{'}$ będzie zdarzenie – suma oczek jest różna od 12.

Niech $A$, $B$, $C$ będą podzbiorami tego samego zbioru zdarzeń elementarnych.

Dla przykładu wykażemy prawdziwość równości

$A\cap \left(B\cup C\right)=\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)$

Dowód:

Należy wykazać, że $A\cap \left(B\cup C\right)\subset \left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)$ i $A\cap \left(B\cup C\right)\supset \left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)$.

Udowodnimy tylko pierwszy z zapisanych związków, dowód drugiej zależności pozostawiamy Ci do samodzielnego rozwiązania.

Niech $\omega \in A\cap \left(B\cup C\right)$. Wtedy $\omega \in A$ i $\omega \in \left(B\cup C\right)$.

Rozpatrzymy trzy przypadki.

1. $\omega \in A$, $\omega \in B$ i $\omega \notin C$
   Wtedy
   $\omega \in A\cap B\Rightarrow \omega \in \left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)$.

2. $\omega \in A$, $\omega \notin B$ i $\omega \in C$
   Wtedy
   $\omega \in A\cap C\Rightarrow \omega \in \left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)$.

3. $\omega \in A$, $\omega \in B$ i $\omega \in C$
   Wtedy
   $\omega \in A\cap B$ i $\omega \in A\cap C\Rightarrow \omega \in \left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)$.

Niech $A$, $B$ będą zdarzeniami należącymi do tego samego zbioru zdarzeń elementarnych.

Korzystając z praw działań na zdarzeniach, wykażemy, że

$\left(A\cup B\right)\cap \left(A\text{'}\cap B\text{'}\right)=\varnothing$

Korzystamy z prawa de’ Morgana.

$\left(A\cup B\right)\cap \left(A\text{'}\cap B\text{'}\right)=\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup B\right)\text{'}$

Zdarzenia $A\cup B$ i $\left(A\cup B\right)\text{'}$ są zdarzeniami przeciwnymi, ich iloczyn jest więc zdarzeniem niemożliwym.

Zatem:

$\left(A\cup B\right)\cap \left(A\text{'}\cap B\text{'}\right)=\varnothing$

Co należało wykazać.

sumą zdarzeń $A$ i $B$ nazywamy zdarzenie $A\cup B$, któremu sprzyjają zdarzenia elementarne $\omega$ sprzyjające zdarzeniu $A$ lub zdarzeniu $B$

iloczynem zdarzeń $A$ i $B$ nazywamy zdarzenie $A\cap B$, któremu sprzyjają zdarzenia elementarne $\omega$ sprzyjające zdarzeniu $A$ i zdarzeniu $B$

różnicą zdarzeń $A$ i $B$ nazywamy zdarzenie $A\setminus B$, któremu sprzyjają zdarzenia elementarne $\omega$ sprzyjające zdarzeniu $A$ i niesprzyjające zdarzeniu $B$