Przeczytaj

Równaniem kierunkowym

y = a x + b, a, b \in ℝ

można opisać każdą prostą, która nie jest równoległa do osi $Y$ . Proste równoległe do osi $Y$ opisuje się równaniami postaci

x = a, a \in ℝ .

W geometrii analitycznej często używa się tzw. równania ogólnego, które obejmuje każdą prostą narysowaną w układzie współrzędnych. Ma ono postać

A x + B y + C = 0

gdzie $A, B, C \in ℝ$ , $(A, B) \neq (0, 0)$ .

Warunek $(A, B) \neq (0, 0)$ oznacza, że współczynniki $A$ i $B$ nie są równocześnie równe zeru. Czasami zapisuje się ten fakt inaczej:

A^{2} + B^{2} > 0

albo

A^{2} + B^{2} \neq 0 .

Zauważmy, że warunek ten jest niezbędny, aby równanie opisywało prostą. Gdyby bowiem $A$ i $B$ były jednocześnie równe zeru, równanie $A x + B y + C = 0$ opisywałoby:

zbiór pusty, gdy $C \neq 0$ albo
całą płaszczyznę, gdy $C = 0$ .

Zwróćmy jeszcze uwagę, że równanie $A x + B y + C = 0$ opisuje:

prostą równoległą do osi $X$ , gdy $A = 0$ i $B \neq 0$ , równanie tej prostej to

y = - \frac{C}{B} .

RncJPR6m0FAzw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowana jest pozioma prosta opisana równaniem y=-CB.

prostą równoległą do osi $Y$ , gdy $A \neq 0$ i $B = 0$ , równanie tej prostej to

x = - \frac{C}{A} .

RxUiQBGvWAMwW

prostą przecinającą obie osie układu współrzędnych w punktach o współrzędnych

(- \frac{C}{A}, 0)

(0, - \frac{C}{B}),

gdy $A \neq 0$ i $B \neq 0$ .

R16lnedH2d7z0

Przykład 1

Aby narysować prostą o danym równaniu ogólnym

$3 x - 2 y + 6 = 0,$

wystarczy wyznaczyć współrzędne punktów przecięcia prostej z osiami układu współrzędnych. Współrzędne punktu przecięcia prostej z osią $X$ są postaci $(x_{0}, 0)$ , zatem możemy do równania prostej podstawić

$x = x_{0}, y = 0$ .

Wówczas otrzymujemy kolejno:

$3 x_{0} - 2 \cdot 0 + 6 = 0$

$3 x_{0} = - 6$

$x_{0} = - 2$

Zatem punkt przecięcia z osią $X$ ma współrzędne $(- 2, 0)$ .

Współrzędne punktu przecięcia prostej z osią $Y$ są postaci $(0, y_{0})$ , zatem możemy do równania prostej podstawić

$x = 0, y = y_{0}$ .

Wówczas otrzymujemy kolejno:

$3 \cdot 0 - 2 y_{0} + 6 = 0$

$- 2 y_{0} = - 6$

$y_{0} = 3$ .

Zatem punkt przecięcia z osią $X$ ma współrzędne $(0, 3)$ .

Wystarczy zatem poprowadzić prostą przez punkty $(- 2, 0)$ i $(0, 3)$ , aby otrzymać wykres równaniawykres równaniawykres równania

$3 x - 2 y + 6 = 0$

R15UMLwrpBhpk

Przykład 2

Równania kierunkowe prostejrównanie kierunkowe prostejRównania kierunkowe prostej zapiszemy w postaci ogólnej.

Równanie kierunkowe prostej	Równanie ogólne prostej
$y = a x + b$	$a x - y + b = 0$
$y = - 3 x + \sqrt{2}$ dla $a = - 3$ , $b = \sqrt{2}$	$- 3 x - y + \sqrt{2} = 0$ dla $A = - 3$ , $B = - 1$ , $C = \sqrt{2}$
$y = π x$ dla $a = π$ , $b = 0$	$π x - y = 0$ dla $A = π$ , $B = - 1$ , $C = 0$
$y = - 2, 5$ $a = 0$ , $b = - 2, 5$	$y + 2, 5 = 0$ dla $A = 0$ , $B = 1$ , $C = 2, 5$
$y = 0$ dla $a = 0$ , $b = 0$	$y = 0$ dla $A = 0$ , $B = 1$ , $C = 0$

Aby równanie kierunkowe przekształcić do ogólnego, wystarczy przenieść wszystkie składniki na jedną stronę równania i uporządkować je tak, aby najpierw wystąpił składnik ze zmienną $x$ , później składnik ze zmienną $y$ , a na końcu wyraz wolny. Zwróćmy przy okazji uwagę, że jeśli prosta opisana jest równaniem kierunkowym, to jest ono tylko jedno. Natomiast każda prosta ma nieskończenie wiele równoważnych równań ogólnych.

Przykład 3

Do każdego z równań dopiszemy równania równoważne opisujące tę samą prostą.

Równanie $I$	Równanie $II$	Równanie $III$	Równanie $IV$
$3 x - 4 y + 1 = 0$	$- 3 x + 4 y - 1 = 0$	$6 x - 8 y + 2 = 0$	$\frac{3}{2} x - 2 y + \frac{1}{2} = 0$
$- 5 x + 7 y = 0$	$5 x - 7 y = 0$	$\frac{5}{3} x - \frac{7}{3} y = 0$	$15 x - 21 y = 0$
$2 x - 3 = 0$	$- 10 x + 15 = 0$	$x - \frac{3}{2} = 0$	$\frac{2}{3} x - 1 = 0$
$y = 0$	$2 y = 0$	$- 3 y = 0$	$0, 73 y = 0$

Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi $Y$ , czyli współczynnik $B$ w równaniu $A x + B y + C = 0$ jest różny od zera, to równanie ogólne można przekształcić do kierunkowego, wyznaczając zmienną $y$ w zależności od zmiennej $x$ .

Przykład 4

Przekształcimy równanie ogólne prostejrównanie ogólne prostejrównanie ogólne prostej na jej równanie kierunkowe.

$2 x - 3 y + 7 = 0$

Od obu stron równania odejmujemy $2 x$ i $7$ , otrzymując

$- 3 y = - 2 x - 7$

Obie strony równania dzielimy przez $(- 3)$ , otrzymując

$y = \frac{2}{3} x + \frac{7}{3}$

Wprowadzimy jeszcze jedno użyteczne pojęcie związane z prostą. Mianowicie do każdej prostej możemy narysować nieskończenie wiele wektorów prostopadłych - każdy z nich nazywamy wektorem normalnym prostejwektor normalny prostejwektorem normalnym prostej.

Wykorzystując iloczyn skalarny wektorówiloczyn skalarny wektorówiloczyn skalarny wektorów, można udowodnić, że współrzędne jednego z wektorów normalnych prostej o równaniu $A x + B y + C = 0$ są równe $[A, B]$ .

R1IAcPbp5WVP8

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta opisana wzorem Ax+By+C=0. Na płaszcyźnie narysowany jest także wektor A;B prostopadły do danej prostej. Wektor zaczepiony jest na prostej i skierowany do pewnego nieopisanego punktu płaszczyzny.

Przykład 5

Do podanych prostych podamy współrzędne przykładowych wektorów normalnych.

Równanie kierunkowe	Przykładowe równania ogólne	Współrzędne przykładowych wektorów normalnych
$y = 5$	$y - 5 = 0$ $2 y - 10 = 0$	$[0, 1]$ $[0, 2]$
$y = 3 x$	$3 x - y = 0$ $\frac{3}{2} x - \frac{1}{2} y = 0$	$[3, - 1]$ $[\frac{3}{2}, - \frac{1}{2}]$
$y = - 2 x - 1$	$2 x + y + 1 = 0$ $- 6 x - 3 y - 3 = 0$	$[2, 1]$ $[- 6, - 3]$
brak	$x - 3 = 0$ $10 x - 30 = 0$	$[1, 0]$ $[10, 0]$

Słownik

równanie ogólne prostej

równanie postaci $A x + B y + C =0$ , gdzie współczynniki $A$ i $B$ nie są jednocześnie równe zeru; równaniem takiej postaci można opisać dowolną prostą narysowana w układzie współrzędnych

równanie kierunkowe prostej

równanie postaci $y = a x + b$ , gdzie $a, b \in ℝ$ ; równaniem takiej postaci można opisać dowolną prostą narysowaną w układzie współrzędnych, która nie jest równoległa do osi $Y$

wykres równania

zbiór wszystkich punktów, których współrzędne spełniają dane równanie

wektor normalny prostej

każdy wektor prostopadły do danej prostej

iloczyn skalarny wektorów

wektory: $\vec{u} = [u_{1}, u_{2}]$ i $\vec{v} = [v_{1}, v_{2}]$ , liczba oznaczana jako $\vec{u} \circ \vec{v}$ (gdzie znak $\circ$ oznacza mnożenie skalarne w odróżnieniu od zwykłego mnożenia), którą można wyznaczyć na dwa sposoby:

\vec{u} \circ \vec{v} = u_{1} \cdot v_{1} + u_{2} \cdot v_{2}

albo inaczej

\vec{u} \circ \vec{v} = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \cos α,

gdzie $α$ to miara kąta pomiędzy wektorami $\vec{u}$ i $\vec{v}$ . Jeden z tych wzorów przyjmujemy jako definicję, zaś drugiego dowodzimy jako twierdzenie

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik