Warto przeczytać

Układy fizyczne, których poszczególne składniki utrzymywane są razem dzięki wzajemnym, przyciągającym oddziaływaniom, nazywamy układami związanymi. Jądro atomowe jest układem związanym, w którym nukleony utrzymują się razem dzięki oddziaływaniom jądrowym. Innym przykładem jest atom, w którym jądro i elektrony utrzymywane są razem dzięki przyciągającym oddziaływaniom elektromagnetycznym. Podobnie, dzięki oddziaływaniom elektromagnetycznym grupy atomów tworzą cząsteczki. Po drugiej stronie skali mamy natomiast obiekty astronomiczne, które tworzą układy związane dzięki przyciągającym oddziaływaniom grawitacyjnym.

Aby rozbić układ związany na jego poszczególne składniki należy do niego dostarczyć odpowiednią ilość energii. Innymi słowy, aby rozbić układ, musimy pokonać działające między jego składnikami oddziaływania – musimy więc wykonać pracę. Ilość energii niezbędna do rozbicia układu związanego na jego poszczególne składniki nosi nazwę energii wiązania układu.

Energia wiązania układu jest ilościowo równa energii wyzwolonej w procesie jego powstawania, czyli łączenia się poszczególnych składników (często w wielu etapach). Emisja energii w procesie łączenia się składników układu ma ogromne konsekwencje. Oznacza to, że całkowita energia układu związanego jest mniejsza niż suma energii jego niezwiązanych składników. Zgodnie z zasadą równoważności masy i energii sformułowaną przez Einsteina, miarą zawartej w obiekcie, lub układzie energii jest jego masa. Różnica w energiach układu i jego niezwiązanych składników wyraża się zatem w pewnym deficycie (ubytku) masydefekt (deficyt) masydeficycie (ubytku) masy. W rezultacie masa spoczynkowa układu związanego jest mniejsza niż suma mas jego elementów składowych.

Prześledźmy teraz, jak obliczyć energię wiązania układu związanego, jakim jest jądro atomowe składające się z $Z$ protonów i $N$ neutronów. Energię spoczynkową możemy obliczyć korzystając ze wzoru Einsteina $E=mc^{2}$, gdzie $m$ to masa spoczynkowa obiektu, a $c$ = 3 · 10Indeks górny 8⁸ m/s to prędkość światła w próżni. Energia spoczynkowa jądra o masie $M_{j}$ wynosi zatem $M_{j}c^{2}$. Analogicznie obliczamy energie spoczynkowe dla protonu $m_{p}c^{2}$ i neutronu $m_{n}c^{2}$. W fizyce atomowej i subatomowej przyjęło się wyrażać energię w elektronowoltach (1 eV = 1,602177 · 10Indeks górny -19^-19 J), a masę w jednostkach eV/cIndeks górny 2², czyli w elektronowoltach podzielonych przez $c$ do kwadratu, przy czym 1 eV/cIndeks górny 2² = 1,782662 · 10Indeks górny -36^-36 kg. Masa protonu w tych jednostkach wynosi 938,272 MeV/cIndeks górny 2²1 MeV/cIndeks górny 2²MeV/cIndeks górny 2² (czyt. megaelektronowoltów na cIndeks górny 2², czyli milionów eV/cIndeks górny 2²), a masa neutronu to 939,565 MeV/cIndeks górny 2². Jednostka ta jest bardziej praktyczna w obliczeniach niż kg, ponieważ energia spoczynkowa danego obiektu jest liczbowo równa jego masie wyrażonej w eV/cIndeks górny 2². Trzeba tylko zamienić jednostkę masy na jednostkę energii eV. Energie spoczynkowe protonu i neutronu wynoszą zatem kolejno 938,272 MeV i 939,565 MeV.

Energia wiązania jądra atomowegoenergia wiązania jądra atomowegoEnergia wiązania jądra atomowego $B_{j}$ dana jest przez różnicę sumarycznej energii spoczynkowej $Z$ protonów i $N$ neutronów i energii spoczynkowej jądra:

Łatwo zauważyć, że prawa strona powyższego wzoru to nic innego, jak iloczyn deficytu masydefekt (deficyt) masydeficytu masy układu $\Delta M=Zm_{p}+Nm_{n}-M_{j}$ i kwadratu prędkości światła $c^{2}$.

Dla przykładu policzymy energię wiązania jądra węgla ${}_6^{14}C$. Liczba masowa $A$ tego jądra to 14, a liczba atomowa $Z$ to 6. Jądro to składa się zatem z 6 protonów i $N = A - Z = 8$ neutronów. Masa jądra ${}_6^{14}C$ wynosi 13040,872 MeV/cIndeks górny 2²1 MeV/cIndeks górny 2²MeV/cIndeks górny 2². Podstawiając do wzoru, dostajemy, że $B_{j}$ = 6 · 938,272 MeV/cIndeks górny 2² · cIndeks górny 2² + 8 · 939,565 MeV/cIndeks górny 2² · cIndeks górny 2² - 13040,872 MeV/cIndeks górny 2² · cIndeks górny 2² = 105,280 MeV.

Energia niezbędna do rozbicia jądra na jego poszczególne składniki zależy, jak widać, od składu jądra i wynosi od kilkunastu‑kilkudziesięciu MeV dla lekkich jąder do prawie 2000 MeV dla jąder najcięższych. Aby ułatwić porównywanie energii wiązań różnych jąder atomowych, przyjęło się podawać wartość $B_{j}$ w przeliczeniu na nukleonnukleonynukleon (Rys. 1.). W  tym celu wystarczy podzielić obliczoną wartość $B_{j}$ przez liczbę masową jądra $A = N + Z$, dla którego wykonujemy rachunki. Dla większości stabilnych jąder atomowych średnia energia wiązania przypadająca na nukleon, $B_{j}/A$, wynosi około 8 MeV. Dla jądra ${}_6^{14}C$ na jeden nukleon przypada energia wiązania równa 7,520 MeV.

R1GbceFtsNpVl

Rys. 1. Na rysunku przedstawiono wykres, gdzie oś pozioma to liczba nukleonów w jądrze w zakresie od 2 do 270. Oś pionowa to energia wiązania na nukleon, jednostka megaelektrowolt. Zakres wartości osi pionowej od zera do 9 megaelektrowoltów.
Wykres zaczyna się w punkcie 0 – 0 i bardzo stromo wznosi się do góry, osiągając maksymalną wartość 7,2 megaelektrowolta dla 4 nukleonów. Przy maksimum jest symbol helu He. Dalej wykres stromo opada do wartości około 5 megaelektrowoltów, a następnie wolno wznosi się w górę, aż do wartości na osi poziomej 56 nukleonów. Przy tej wartości energia wiązania na nukleon osiąga największą wartość równą około 9 megaelektrowoltów. Przy tym maksimum jest symbol żelaza Fe. Dalej wykres łagodnie opada do wartości około 8 megaelektrowoltów dla liczby nukleonów 238. Przy końcu wykresu jest symbol uranu U 235 oraz U 238.

Przejdźmy teraz do atomu i zastanówmy się, jaka jest energia wiązania układu składającego się z dodatnio naładowanego jądra oraz ujemnie naładowanych, krążących wokół niego, elektronów. Jeżeli chcielibyśmy oderwać od atomu jeden elektron, musielibyśmy pokonać działające między nim a resztą atomu oddziaływanie przyciągające. Ilość energii, którą trzeba dostarczyć do obojętnego atomu, aby oderwać najsłabiej związany elektron, nazywamy energią jonizacji atomu. Energia ta zależy od pierwiastka i wynosi od kilku do kilkunastu eV (jedynie dla helu i neonu przekracza ona wartość 20 eV). Odrywanie kolejnych elektronów od atomu wymaga coraz większej pracy. Dla atomów najcięższych pierwiastków energia całkowitej jonizacji $B_{e}$, czyli energia potrzebna na oderwanie od atomu wszystkich elektronów, jest rzędu kilkuset keV (kiloelektronowoltów, 1 keV = 1000 eV). Energia $B_{e}$ jest zatem energią niezbędną do rozbicia atomu na jądro atomowe i swobodne elektrony. Możemy zatem zapisać, że

gdzie $M_{a}$ to masa atomu, $M_{j}$ oznacza, tak jak wcześniej, masę jądra atomowego, a $m_{e}$ = 0,511 MeV/cIndeks górny 2² to masa elektronu. Jak widać z powyższego przykładu, pojęcie energii wiązania można również odnieść do wybranych elementów układu, wystarczy, że między tymi elementami występują przyciągające oddziaływania. Możemy nie tylko określić energię wiązania pojedynczego elektronu w atomie (układ elektron‑reszta atomu), tak jak to zrobiliśmy powyżej, ale również określić energię wiązania pojedynczego nukleonu w jądrze (układ nukleon‑reszta jądra), czy energię potrzebną do rozbicia cząsteczki. Dla przykładu masa atomu węgla ${}_6^{14}C$ wynosi 13043,937 MeV/cIndeks górny 2². Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy, że energia całkowitej jonizacji jest sto tysięcy razy mniejsza niż energia wiązania jądra atomowego i jest rzędu 1 keV.

Pójdźmy teraz o krok dalej i zastanówmy się, ile energii potrzebujemy, aby rozbić obojętny atom danego pierwiastka na jego poszczególne elementy składowe, czyli swobodne neutrony, protony i elektrony. Energia ta musi wystarczyć na oderwanie wszystkich elektronów i rozbicie jądra na poszczególne nukleonynukleonynukleony. Całkowita energia wiązania dowolnego atomu $B$ jest zatem sumą energii całkowitej jonizacji $B_{e}$ i energii wiązania jądra atomowego $B_{j}$. Dodając stronami $B_{e}$ i $B_{j}$ otrzymujemy, że

Prawa strona wzoru to po prostu różnica sumarycznej masy swobodnych składników atomu, $Zm_{p}+Nm_{n}+Zm_{e}$, i masy samego atomu pomnożona przez $c^{2}$. Wzór ten występuje często w postaci

Główny wkład do $B$ będzie miała oczywiście energia wiązania jądra atomowegoenergia wiązania jądra atomowegoenergia wiązania jądra atomowego, która jest setki tysięcy razy większa od energii potrzebnej na całkowitą jonizację atomu. Nie powinno to dziwić, gdyż ponad 99,9% masy atomu stanowi masa jądra, a oddziaływania jądrowe spajające jądro są dużo silniejsze od oddziaływań elektromagnetycznych utrzymujących elektrony na ich orbitach. Z tego powodu, powyższy wzór można wykorzystać do określenia energii wiązania jądra atomowego. Wystarczy przyjąć, że $B\approx B_{j}$.

Więcej na temat deficytu masydefekt (deficyt) masydeficytu masy możesz przeczytać w e‑materiałach „Co to jest deficyt masy i jak go obliczyć dla dowolnego izotopu?”. Zależność średniej energii wiązania na nukleon w funkcji liczby masowej jądra omówiona jest w e‑materiałach „Jak definiujemy energię wiązania nukleonów w jądrze?”.

Słowniczek