Zbadamy, dla jakich wartości parametru $m$równanie kwadratowe zupełnerównanie kwadratowe zupełnerównanie kwadratowe zupełne $x^2+\left(2m-4\right)x+m^2=0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Rozwiązanie

Aby równanie kwadratowe miało dokładnie jedno rozwiązanie, musi być spełniony warunek $∆=0$.

Zauważmy, że:

$a=1$, $b=2m-4$, $c=m^2$

Ponieważ: $∆=b^2-4ac$, to:

$∆={\left(2m-4\right)}^2-4·1·m^2=4m^2-16m+16-4m^2=-16m+16$

$∆=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy: $-16m+16=0$. Zatem: $-16m=-16$, co daje: $m=1$

Aby równanie miało jedno rozwiązanie $m=1$.

Zbadamy, dla jakich wartości parametru $m$ równanie $\frac{1}{4}{x}^2+3mx+3\cdot (3m^2-1)=0$ ma co najmniej jedno rozwiązanie.

Rozwiązanie

Aby równanie kwadratowe miało co najmniej jedno rozwiązanie (tzn. jedno rozwiązanie lub dwa rozwiązania), musi być spełniony warunek $∆\ge 0$.

$∆=b^2-4ac$, zatem:

$∆={\left(3m\right)}^2-4·\frac{1}{4}·3(3m^2-1)=9m^2-9m^2+3=3$

Oczywiście $3\ge 0$ dla dowolnego $m\in \mathrm{ℝ}$.

Równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie dla dowolnego $m\in \mathrm{ℝ}$.

Zbadamy, dla jakich wartości parametru $k$ równanie $x^2+2kx+1=0$ nie posiada rzeczywistych rozwiązań.

Rozwiązanie

Równanie nie posiada rozwiązań, jeżeli wyróżnik trójmianu kwadratowego, zwany deltą, przyjmuje ujemną wartość.

$∆={\left(2k\right)}^2-4·1=4k^2-4$

$4·\left(k^2-1\right)<0$

$k^2-1<0$

$\left(k-1\right)\left(k+1\right)<0$

$k<1$ i $k>-1$

Równanie nie posiada rozwiązań dla $k\in \left(-\mathrm{1,} 1\right)$.

Wyznaczymy takie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2-2mx+m^2-2m=0$ ma dwa pierwiastki jednakowych znaków.

Rozwiązanie

Aby równanie kwadratowe posiadało dwa pierwiastki jednakowych znaków muszą być spełnione następujące warunki:

$\left\{\begin{array}{l}1. ∆\ge 0\\ 2. x_1·x_2>0\end{array}\right.$

1. Wyróżnik trójmianu kwadratowego ma być liczbą nieujemną, ponieważ równanie może mieć „pierwiastek podwójny”.
$∆={\left(-2m\right)}^2-4·\left(m^2-2m\right)=4m^2-4m^2+8m=8m$

$8m\ge 0$

$m\ge 0$

$m\in \left.⟨0, +\infty \right)$

2. Teraz rozważymy  warunek $x_1·x_2>0$
Z wzorów Viète’a wiemy, że $x_1·x_1=\frac{c}{a}$
Czyli $\frac{c}{a}>0$
$m^2-2m>0$
$m\left(m-2\right)>0$
$m<0$ lub $m>2$
$m\in \left(-\infty , 0\right)\cup \left(2, +\infty \right)$
Liczby $m$,  muszą spełniać  warunki $1$ i $2$.
Zatem $m\in \left(2, +\infty \right)$.

Sprawdziamy, dla jakich wartości parametru $m$ równanie $2x^2+2mx+\frac{1}{2}·\left(m^2-4m\right)=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste dodatnie.

Rozwiązanie

Warunki zadania:

$\left\{\begin{array}{l}1. ∆>0\\ {2. x}_1+x_2>0\\ {3. x}_1·x_2>0\end{array}\right.$

1. $∆=4m^2-4·2·\frac{1}{2}·\left(m^2-4m\right)=4m^2-4m^2+16m=16m$
$∆>0$ wtedy i tylko wtedy, gdy: $16m>0$, zatem: $m>0$

2. $-\frac{b}{a}>0$
$\frac{-2m}{2}>0$
$m<0$

3. $\frac{c}{a}>0$
$\frac{\frac{1}{2}·\left(m^2-4m\right)}{2}>0$
$m^2-4m>0$
$m\left(m-4\right)>0$
$m<0$ lub $m>4$

Przedstawimy na osi liczbowej część wspólną warunków $\left(1\right)$, $\left(2\right)$, $\left(3\right)$.

R668mizaPi3GD

Grafika przedstawia poziomą oś m. Na osi zaznaczone zostały dwa punkty: zero i cztery. Na osi zaznaczone zostały również przedziały. Kolorem fioletowym zaznaczono przedział od minus nieskończoności do plus nieskończoności. Kolorem niebieskim zaznaczono dwa przedziały pierwszy z nich jest prawostronnie otwarty od minus nieskończoności do zera, a drugi jest lewostronnie otwarty od czterech do plus nieskończoności.

$m\in \varnothing$

Nie istnieje taka wartość parametru $m$, dla której równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste dodatnie.

równanie postaci $a{x}^2+bx+c=0$, dla $a\ne 0$, $b\ne 0$, $c\ne 0$