Warto przeczytać

Rfp64PlOcQ4N9

Rys. 1. Ilustracja przedstawia portret Keplera, nieznanego autorstwa, z tysiąc sześćset dziesiątego roku. Postać przedstawiona na portrecie skierowana jest przodem do osoby oglądającej obraz. Postać ma około pięćdziesięciu lat, ciemne włosy i bujną siwą brodę. Ubrana jest w czarny strój z białym pofalowanym kołnierzem. W lewym ręku trzyma prostopadłościenny, brązowy przedmiot natomiast w prawym ręku trzyma brązowy cyrkiel traserski. Cyrkiel traserski jest bardzo podobny do zwykłego cyrkla ale zamiast jednej końcówki wyposażonej w grafitowy rysik posiada obie końcówki zakończone szpikulcami. Służy on do odmierzania odcinków o jednakowej długości na przykład na mapach.

Kepler, jako wybitny matematyk, był cenionym uczonym. Był zwolennikiem teorii Kopernikateoria heliocentrycznateorii Kopernika, co w tamtych czasach nie było powszechne. Bardzo dokładnie analizował dane obserwacyjne zbierane przez lata przez duńskiego astronoma Tychona Brahe - jednego z jednego z najwybitniejszych obserwatorów nocnego nieba tamtych czasów – Tycho Brahe. Dzięki wielkiej bazie pomiarów położeń planet na niebie mógł wyznaczyć zależności pomiędzy parametrami charakteryzującymi planety. Na mocy pierwszych dwóch praw dokładnie określił kształt orbit planet. Następnie porównał średnie odległości z czasem obiegu planet wokół Słońca. W ten sposób sformułował prawo, określające zależność pomiędzy okresem obiegu planet a ich odległościami w Układzie Słonecznym.

Kepler w tamtym czasie wiedział, że stosunek ten jest taki sam dla wszystkich planet, ale nie było jeszcze wtedy wiadomo, dlaczego tak się dzieje. Natomiast dzięki rozwojowi nauki, przede wszystkim odkryciu prawa grawitacji, wiadomo, że stała ta ma postać:

czyli zależy od stałej grawitacji $G$ oraz masy Słońca. Dzięki temu prawu znając jedynie wielką półoś orbity planety oraz jej okres bez problemu możemy wyznaczyć masę gwiazdy centralnej z bardzo dobrym przybliżeniem.

Wykorzystując prawo powszechnego ciążenia oraz wiedzę na temat ruchu planet wokół Słońca, można zapisać uogólnione III prawo Keplera w postaci:

gdzie $M_{\odot }$ to masa Słońca, $m$ – masa planety, $G$ – stała grawitacji.

Ponieważ masa planety jest znikomo mała w porównaniu z masą Słońca ($m<M_{\odot }$), często pomija się ją w obliczeniach, dostając postać zapisaną powyżej jako podstawowe III prawo Keplera. Natomiast nie do przecenienia jest rola, jaką uogólnione III prawo Keplera odgrywa w astrofizyce - to dzięki niemu, obserwując i analizując wzajemny ruch składników w układach podwójnych gwiazd oraz pozasłonecznych układach planetarnych mamy możliwość wyznaczania mas odległych obiektów.

Odkrycie prawa powszechnej grawitacji pozwoliło wyznaczyć stałą dla każdego układu planetarnego, w szczególności Układu Słonecznego. Wiedząc, że:

• masa Słońca: $M_{\odot }$ = 1,989 ∙ 10Indeks górny 30³⁰ kg,

• stała grawitacji: $G$ = 6,67430(15) ∙ 10Indeks górny -11^-11$\frac{m^3}{kg{s}^2}$,

dostajemy wartość stałej w uogólnionym III prawie Keplera równą 3,3626 ∙ 10Indeks górny 18¹⁸ w Układzie Słonecznym. Dzięki temu możemy, na przykład, wyznaczyć wielką półoś orbity planety na podstawie okresu jej obiegu. Dziś już wiadomo, że prawo to jest słuszne w każdym układzie planetarnym.

Tab. 1. Dane użyte przez Keplera (1618).

W Tab. 1. przedstawiono dane, którymi posługiwał się Kepler oraz w ostatniej kolumnie prawie stałą wartość wiążącą okres obiegu z odległością planety od Słońca. Po odkryciu tego wzorca Kepler napisał: Wydawało mi się, że śnię... Ale jest absolutnie pewne i dokładne, że stosunek, który istnieje między okresami dowolnych dwóch planet, jest dokładnie stosunkiem 3/2 potęgi ich średniej odległości od Słońca (J. Kepler, Harmonices Mundi, 1619).

R1HGE6sAZCklG

Rys. 2. Ilustracja przedstawia zdjęcie strony tytułowej książki pod tytułem Harmonices Mundi napisanej przez Johannesa Keplera w całości po łacinie. Autor omawia w niej harmonię i zgodność form geometrycznych i zjawisk fizycznych, a także przedstawia tak zwane odkrycie trzeciego prawa ruchu planet. Tekst napisany jest w całości po łacinie na żółtym papierze. Kolor papieru wynika z wieku książki, która została wydana po raz pierwszy w tysiąc sześćset dziewiętnastym roku.

Kepler potrafił w swoich czasach stwierdzić jedynie, że stosunki sześcianu wielkiej półosi do kwadratu okresu obiegu dla każdej planety są stałe. Nie była wtedy znana wartość stałej $G$ i nie była znana masa Słońca. Dzięki odkryciu tego prawa przez Keplera, Newton mógł potwierdzić swoje przypuszczenia, że siła grawitacji jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości oddziałujących ciał i sformułować prawo powszechnej grawitacji. Więcej o zależności III prawa Keplera i prawa powszechnego ciążenia dowiesz się w e‑materiale pt. „Jaki jest wiązek między III prawem Keplera a prawem powszechnego ciążenia?”.

Słowniczek