Miejscem zerowym funkcji $f$ nazywamy taki argument $x$, dla którego:

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x-2,& \mathrm{gdy} x<3\\ -x+5,& \mathrm{gdy} x\ge 3\end{array}\right.$

Wyznaczymy miejsca zerowe funkcji $f$ (o ile istnieją).

Rozwiązanie:

W celu wyznaczenia miejsca zerowego funkcji $f$ musimy rozwiązać równanie $f\left(x\right)=0$. Funkcja $f$ opisana jest za pomocą dwóch różnych wyrażeń w różnych przedziałach. Rozwiążemy równanie $f\left(x\right)=0$ w każdym z podanych przedziałów.

1. $x\in \left(-\infty , 3\right)\Rightarrow f\left(x\right)=x-2\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2$.
   Liczba $2\in \left(-\infty , 3\right)$. Stąd liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.

2. $x\in \left.⟨3, \infty \right)\Rightarrow f\left(x\right)=-x+5\Rightarrow -x+5=0\Rightarrow x=5$.
   Liczba $5\in \left.⟨3, \infty \right)$. Stąd liczba $5$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Funkcja $f$ posiada dwa miejsca zerowe: $2$, $5$.

Możemy to zapisać: $x_1=2$, $x_2=5$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^2-36,& \mathrm{gdy} x\in \left(-\infty , -3\right)\\ \frac{1}{3}x-2,& \mathrm{gdy} x\in \left.⟨-3, \infty \right)\end{array}\right.$

Wyznaczymy miejsca zerowe funkcji $f$ (o ile istnieją).

Rozwiązanie:

W celu wyznaczenia miejsca zerowego funkcji $f$ musimy rozwiązać równanie $f\left(x\right)=0$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą dwóch różnych wzorów w różnych przedziałach. Rozwiążemy równanie $f\left(x\right)=0$ w każdym z podanych przedziałów.

1. $x\in \left(-\infty , -3\right)\Rightarrow f\left(x\right)=x^2-36\Rightarrow x^2-36=0\Rightarrow$
   $\Rightarrow \left(x-6=0 \vee x+6=0\right)\Rightarrow \left(x=6 \vee x=-6\right)$.
   Liczba $-6\in \left(-\infty , -3\right)$, liczba $6\notin \left(-\infty , -3\right)$. Stąd liczba $\left(-6\right)$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.

2. $x\in \left.⟨-3, \infty \right)\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{3}x-2\Rightarrow \frac{1}{3}x-2=0\Rightarrow \frac{1}{3}x=2\Rightarrow x=6$.
   Liczba $6\in \left.⟨-3, \infty \right)$. Stąd liczba $6$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Funkcja $f$ posiada dwa miejsca zerowe: $-6$, $6$.

Możemy to zapisać: $x_1=-6$, $x_2=6$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x-4,& \mathrm{gdy} x\le -3\\ -x+4,& \mathrm{gdy} x\in \left(-3, 2\right)\\ \left|x\right|-1,& \mathrm{gdy} x\ge 2\end{array}\right.$

Sprawdzimy, która z liczb: $-1$, $1$, $4$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Rozwiązanie:

Zadanie rozwiążemy   dwoma sposobami.

Sposób 1:

Wyznaczymy miejsca zerowe funkcji $f$ metodą algebraiczną. Rozwiążemy równanie $f\left(x\right)=0$.

Funkcja $f$ opisana jest trzema wzorami w trzech różnych przedziałach. Rozwiążemy równanie

$f\left(x\right)=0$ w każdym z podanych przedziałów.

1. $x\in \left(-\infty , -3\right.⟩\Rightarrow f\left(x\right)=x-4\Rightarrow x-4=0\Rightarrow x=4$.
   Liczba $4\notin \left(-\infty , -3\right.⟩$. Stąd liczba $4$ nie jest miejscem zerowym funkcji $f$.

2. $x\in \left(-3, 2\right)\Rightarrow f\left(x\right)=-x+4\Rightarrow -x+4=0\Rightarrow x=4$.
   Liczba $4\notin \left(-3, 2\right.⟩$. Stąd liczba $4$ nie jest miejscem zerowym funkcji $f$.

3. $x\in \left.⟨2, \infty \right)\Rightarrow f\left(x\right)=\left|x\right|-1\Rightarrow \left|x\right|-1=0\Rightarrow \left|x\right|=1\Rightarrow \left(x=-1 \vee x=1\right)$.
   Liczba $-1\notin \left.⟨2, \infty \right)$. Stąd liczba $-1$ nie jest miejscem zerowym funkcji $f$.
   Liczba $1\notin \left.⟨2, \infty \right)$. Stąd liczba $1$ nie jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Stąd wniosek – funkcja $f$ nie posiada miejsc zerowych, czyli żadna z podanych liczb nie może być miejscem zerowym funkcji $f$.

Sposób 2:

Obliczamy wartość funkcji dla każdego z  podanych argumentów.

Liczba $-1\in \left(-3, 2\right)$. Jeżeli liczba $-1$ jest miejscem zerowym funkcji $f$, to wartość funkcji dla tego argumentu musi być równa zero.

Podstawiamy liczbę $-1$ do drugiej części wzoru.

$-\left(-1\right)+4=1+4=5$

Otrzymaliśmy wartość funkcji różną od zera. Stąd wniosek, że liczba $-1$ nie jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Liczba $1\in \left(-3, 2\right)$. Jeżeli liczba $1$ jest miejscem zerowym funkcji $f$, to wartość funkcji dla tego argumentu musi być równa zero. Podstawiamy liczbę $1$ do drugiej części wzoru.

$-1+4=3$

Otrzymaliśmy wartość funkcji różną od zera. Stąd wniosek, że liczba $1$ nie jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Liczba $4\in \left.⟨2, \infty \right)$. Jeżeli liczba $4$ jest miejscem zerowym funkcji $f$, to wartość funkcji dla tego argumentu musi być równa zero.

Podstawiamy liczbę $4$ do trzeciej części wzoru.

$\left|4\right|-1=4-1=3$

Otrzymaliśmy wartość funkcji różną od zera. Stąd wniosek, że liczba $4$ nie jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Sprawdziliśmy, że żadna z podanych liczb nie jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{-x},& \mathrm{gdy} x\le 0\\ \left|x+3\right|-2,& \mathrm{gdy} x\in \left(0, 3\right)\\ \frac{1}{9}{x}^2-1,& \mathrm{gdy} x\ge 3\end{array}\right.$

Wyznaczymy miejsca zerowe funkcji $f$ (o ile istnieją).

Rozwiązanie:

W celu wyznaczenia miejsca zerowego funkcji $f$ musimy rozwiązać równanie $f\left(x\right)=0$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą trzech różnych wyrażeń w różnych przedziałach.

Rozwiążemy równanie $f\left(x\right)=0$ w każdym z podanych przedziałów.

1. $x\in \left(-\infty , 0\right.⟩\Rightarrow f\left(x\right)=\sqrt{-x}\Rightarrow \sqrt{-x}=0\Rightarrow x=0$.
   Liczba $0\in \left(-\infty , 0\right.⟩$. Stąd liczba $0$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.

2. $x\in \left(0, 3\right)\Rightarrow f\left(x\right)=\left|x+3\right|-2\Rightarrow \left|x+3\right|-2=0\Rightarrow \left|x+3\right|=2\Rightarrow$
   $\Rightarrow \left(x+3=-2 \vee x+3=2\right)\Rightarrow \left(x=-5 \vee x=-1\right)$.
   Liczba $-5\notin \left(0, 3\right)$ oraz liczba $-1\notin \left(0, 3\right)$. Stąd żadna z tych liczb nie jest miejscem zerowym funkcji $f$.

3. $x\in \left.⟨3, \infty \right)\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{9}{x}^2-1\Rightarrow \frac{1}{9}{x}^2-1=0\Rightarrow x^2-9=0\Rightarrow$
   $\Rightarrow \left(x-3\right)\left(x+3\right)=0\Rightarrow \left(x-3=0 \vee x+3=0\right)\Rightarrow \left(x=3 \vee x=-3\right)$.
   Liczba $-3\notin \left.⟨3, \infty \right)$. Stąd liczba $-3$ nie jest miejscem zerowym funkcji $f$.
   Liczba $3\in \left.⟨3, \infty \right)$. Stąd liczba $3$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe: $0$, $3$.

Możemy to zapisać: $x_1=0$, $x_2=3$.

argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą $0$