Obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta $\alpha =240°$. Musimy zauważyć, że $240°=180°+60°$. Oznacza to, że możemy skorzystać z drugiej grupy wzorów redukcyjnych z powyższej tabeli. Zatem wykorzystując znajomość wartości funkcji trygonometrycznych kąta $60°$ mamy:

• $\sin 240°=\sin \left(180°+60°\right)=-\sin 60°=-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

• $\cos 240°=\cos \left(180°+60°\right)=-\cos 60°=-\frac{1}{2}$;

• $\mathrm{tg}240°=tg\left(180°+60°\right)=tg60°=\sqrt{3}$.

Wiedząc że $\cos 558°=-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$, wyznaczymy dokładną wartość $\sin \left(-18°\right)$.

Pierwszym krokiem będzie zastosowanie wzorów redukcyjnych do informacji, którą posiadamy:

$\cos \left({558}^{\circ }\right)=\cos \left({360}^{\circ }+{198}^{\circ }\right)=$
$=\cos \left({198}^{\circ }\right)=\cos \left({180}^{\circ }+{18}^{\circ }\right)=$
$=-\cos \left({18}^{\circ }\right)$.

Podstawiając znaną nam wartość $\cos 558°$ i mnożąc powyższą równość stronami przez $\left(-1\right)$ uzyskujemy

$\cos 18°=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$.

Wykorzystując jedynkę trygonometryczną jesteśmy w stanie wyznaczyć wartość $\sin 18°$.

$1={\cos }^{2}18°+{\sin }^{2}18°$

$1={\left(\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\right)}^2+{\sin }^{2}18°$

$1=\frac{10+2\sqrt{5}}{16}+{\sin }^{2}18°$

Teraz wystarczy już tylko przenieść podstawioną wartość ${\cos }^{2}18°$ na drugą stronę równości:

$1=\frac{10+2\sqrt{5}}{16}+{\sin }^{2}18°$

$\frac{6-2\sqrt{5}}{16}={\sin }^{2}18°$

${\sin }^{2}18°=\frac{3-\sqrt{5}}{8}$

Pamiętając, że kąt $18°$ przynależy do pierwszej ćwiartki możemy odrzucić warianty, w których wynik tej części obliczeń jest ujemny. Zatem

$\sin 18°=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{8}}$.

Oczekiwaną od nas wartość możemy obliczyć, wykorzystując nieparzystość funkcjinieparzystość/funkcja nieparzystanieparzystość funkcji sinus. Mamy bowiem $-\sin \alpha =\sin \left(-\alpha \right)$. Ostateczną odpowiedź uzyskujemy korzystając z tej właśnie tożsamości:

$\sin \left(-18°\right)=-\sin 18°=-\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{8}}$.

Obliczymy

$A=\frac{\cos 135°+tg330°}{\frac{1}{tg225°}·\sin 840°}$.

Niestety, żadna z występujących w tym wyrażeniu funkcji trygonometrycznych nie posiada argumentu należącego do znanego nam zbioru argumentów z przedziału $⟨0, 90°⟩$. Musimy zatem odwołać się do wzorów redukcyjnych. Kolejno, mamy:

• $\cos 135°=\cos \left(180°-45°\right)=-\cos 45°=-\frac{\sqrt{2}}{2}$;

• $tg330°=tg\left(360°-30°\right)=-tg30°=-\frac{\sqrt{3}}{3}$;

• $tg225°=tg\left(180°+45°\right)=tg45°=1$;

• $\sin 840°=\sin \left(360°+360°+120°\right)=\sin 120°=$

  $=\sin \left(180°-60°\right)=\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Podstawmy powyżej wyliczone wartości do wyrażenia opisującego stałą $A$. Uzyskujemy

$A=\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1·\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{-\frac{3\sqrt{2}}{6}-\frac{2\sqrt{3}}{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{6}·\frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{6\sqrt{2}+4\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}=$

$=-\frac{6\sqrt{6}+12}{18}=-\frac{2+\sqrt{3}}{3}$.

Przedstawimy podane wyrażenia w możliwie najprostszej postaci:

a) $2\sin \left(6\pi -\alpha \right)-{\cos }^2\left(\pi -\alpha \right)+2$;

b) $\cos \left(\alpha +4\pi \right)·tg\left(\alpha +7\pi \right)-\frac{\sin \left(5\pi +\alpha \right)}{tg\left(4\pi -\alpha \right)}$.

Ad a)

Na początku skorzystajmy ze wzorów redukcyjnych, które pozwolą nam sprowadzić wartości zapisane w treści zadania do prostszej postaci. Wykorzystując kilkukrotnie wzory redukcyjne otrzymujemy:

• $\sin \left(6\pi -\alpha \right)=\sin \left(2\pi -\alpha \right)=-\sin \alpha$;

• ${\cos }^2\left(\pi -\alpha \right)={\left(-\cos \alpha \right)}^2={\cos }^2\alpha$.

Wykorzystując jedynkę trygonometryczną mamy ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$. Podstawiając te wartości do rozważanego wyrażenia mamy

$2\sin \left(6\pi -\alpha \right)-{\cos }^2\left(\pi -\alpha \right)+2=-2\sin \alpha -1+{\sin }^2\alpha +2=$

$={\sin }^2\alpha -2\sin \alpha +1={\left(\sin \alpha -1\right)}^2$,

gdzie ostatnie przejście wykorzystuje wzory skróconego mnożenia.

Ad b)

Przyjrzyjmy się teraz drugiemu wyrażeniu rozpatrywanemu w przykładzie:

$\cos \left(\alpha +4\pi \right)·tg\left(\alpha +7\pi \right)-\frac{\sin \left(5\pi +\alpha \right)}{tg\left(4\pi -\alpha \right)}$

Zacznijmy, tak jak poprzednio, od wykorzystania wzorów redukcyjnych do uproszczenia wyrażeń:

• $\cos \left(\alpha +4\pi \right)=\cos \alpha$;

• $tg\left(\alpha +7\pi \right)=tg\alpha$;

• $tg\left(4\pi -\alpha \right)=tg\left(2\pi -\alpha \right)=-tg\alpha$;

• $\sin \left(5\pi +\alpha \right)=\sin \left(\pi +\alpha \right)=-\sin \alpha$.

Wstawiając przekształcone funkcje trygonometryczne do wyjściowego wyrażenia otrzymujemy

$\cos \left(\alpha +4\pi \right)·tg\left(\alpha +7\pi \right)-\frac{\sin \left(5\pi +\alpha \right)}{tg\left(4\pi -\alpha \right)}=$

$=\cos \alpha tg\alpha -\left(\frac{-\sin \alpha }{-tg\alpha }\right)=\cos \alpha tg\alpha -\frac{\sin \alpha }{tg\alpha }$.

W tym miejscu warto podkreślić, że rozpatrywane w zadaniu wyrażenie ma sens tylko w przypadku, gdy $\alpha$ nie stanowi wielokrotności kąta $\frac{\pi }{2}$ z uwagi na występowanie w wyrażeniu tangensa tak w liczniku, jak i w mianowniku.

Wykorzystując fakt, że $tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ możemy uprościć powyższe wyrażenie do postaci

$\cos \alpha ·tg\alpha -\frac{\sin \alpha }{tg\alpha }=\cos \alpha ·\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }·\sin \alpha =\sin \alpha -\cos \alpha$.

funkcję $f: \mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}$ nazywamy nieparzystą, jeżeli dla dowolnego $x\in \mathrm{ℝ}$ zachodzi $f\left(x\right)=-f\left(-x\right)$ (czyli wykres funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych); przykładami takich funkcji są $\sin x$ oraz funkcje liniowe postaci $f\left(x\right)=ax$, $a\in \mathrm{ℝ}$

zbiorcze określenie tożsamości trygonometrycznych, które wiążą wartości funkcji trygonometrycznych argumentów $\alpha \pm k·\pi$, $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ z wartościami funkcji trygonometrycznych dla argumentu $\alpha$