Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Warto przeczytać

Ruch jednostajny po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu krzywoliniowego. Podczas tego ruchu punkt materialnyPunkt materialnypunkt materialny porusza się po torzeTor ruchutorze, który ma kształt okręgu, w ten sposób, że wartość jego prędkości liniowejPrędkość liniowaprędkości liniowej jest stała |v|=const. Oznacza to, że w jednakowych odstępach czasu punkt przebywa taką samą drogę.

W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu możemy zdefiniować okres i częstotliwość ruchu.

Okres T to czas jednego pełnego obiegu, czyli czas, po którym punkt ponownie znajdzie się w położeniu początkowym (Rys. 1.).

Re9gaKTzdDO5Q
Rys. 1. Punkt materialny P, poruszający się ruchem jednostajnym po okręgu, wróci do tego samego miejsca po upływie jednego okresu.

Jednostką okresu jest sekunda [T] = 1 s.

Częstotliwość f opisuje liczbę obiegów wykonanych w jednostce czasu, najczęściej w ciągu 1 sekundy. Częstotliwość jest odwrotnością okresu

f=1T.

Jednostką częstotliwości jest herc: [f] = 1 Hz = 1/s.

Przykład 1

Jeśli punkt obiega okrąg w ciągu 10 s, wówczas okres jego ruchu wynosi 10 s (T = 10 s), a częstotliwość 0,1 Hz (f = 0,1 Hz).

W ruchu po okręgu, a także w ruchu obrotowym, wielkości takie jak okres, częstotliwość i wartość prędkości liniowej v można zmierzyć niezależnie, ale można też skorzystać ze znanych związków między nimi:

v=2πrT

oraz

v=2πrf,

gdzie r jest promieniem okręgu, po którym porusza się punkt.

Powyższe wzory wynikają bezpośrednio z definicji wartości prędkości liniowej jako stosunku długości Δ s zakreślonego przez punkt łuku do czasu Δ t, w którym to nastąpiło:

v= Δ s Δ t,

gdzie Δ s=2πr Δ t=T.

Wystarczy dokonać pomiaru tylko jednej z wielkości opisującej ruch po okręgu, a pozostałe można wyznaczyć z powyższych wzorów.

Przykład 2

ZEGAREK – BUDZIK

R1Ntoo8oPXBbK
Rys. 2. Budzik.

Oblicz częstotliwości ruchu wskazówek zegara (godzinowej, minutowej i sekundowej) oraz prędkości liniowe końców tych wskazówek.

Okresy ruchu wskazówek zegarka doskonale znamy:

dla wskazówki godzinowej – Tg = 12 h,

dla wskazówki minutowej – Tm = 1 h,

dla wskazówki sekundowej – Ts = 1 min.

Długości wskazówek można zmierzyć posługując się linijką. (Czy dostrzegasz, że twój pomiar będzie obarczony błędem?).

Długości wskazówek są promieniami okręgów, po których poruszają się ich końce (rg, rm, rs).

Znając okres i promień okręgu dla każdej ze wskazówek, można obliczyć częstotliwości ich ruchu i prędkości liniowe końców, korzystając z wcześniej podanych wzorów: f=1T oraz v=2πrT.

Przykład 3

RUCH OBROTOWY ZIEMI

Możemy obliczyć częstotliwość oraz prędkość liniową dowolnego punktu na Ziemi, pod warunkiem, że znamy jego szerokość geograficzną.

R1bSnWWsd5k2u
Rys. 3. Współrzędne geograficzne: φ - szerokość i λ - długość. [Źródło: Peter Mercator [Public domain], via Wikimedia Commons]

Znamy okres obrotu Ziemi wokół osi: T = 23 godziny 56 minut 4 sekundy. Jest to tzw. doba gwiazdowaDoba gwiazdowadoba gwiazdowa. Czas ten można wyznaczyć, obserwując obrót Ziemi względem odległych gwiazd.

Zakładając, że Ziemia jest kulą, możemy określić jej promień R. Promień Ziemi możemy wyznaczyć metodą podobną do tej, jaką posłużył się EratostenesEratostenesEratostenes ok. 200 lat p.n.e.

Należy wybrać dwie miejscowości, które mają tę samą długość geograficzną i obliczyć różnicę ich szerokości geograficznych ( Δ φ). Następnie, posługując się mapą, trzeba znaleźć odległość s między tymi miejscowościami. Z proporcji:

Δ φ 360 ° =sobwódZiemi,

otrzymujemy

obwódZiemi=2πR=s Δ φ 360 ° ,

gdzie R jest promieniem kuli ziemskiej.

Przekształcając powyższy wzór wyznaczamy szukany promień:

R=sπ Δ φ 180 ° .

Punkt o szerokości geograficznej φ znajdujący się na powierzchni kuli ziemskiej, porusza się po okręgu o promieniu (Rys. 4.):

r=R cos φ.
R1bUDjxdyHKyi
Rys. 4. Punkt P, którego szerokość geograficzna wynosi φ, porusza się po okręgu o promieniu r=R cos φ.

Częstotliwość wszystkich punktów (niezależnie od ich szerokości geograficznej) jest taka sama i wyznaczamy ją ze wzoru:

f=1T.

Prędkość liniową dowolnego punktu na Ziemi o szerokości geograficznej φ znajdujemy ze wzoru:

v=2πrT=2πR cos φT.

Przykład 4

MONOCYKL

R1Y7x3tGkgjjd
Rys. 5. Monocykl. [Źródło: Anna reg [CC BY-SA 3.0 at], via Wikimedia Commons]

Akrobata porusza się na monocyklu ze stałą prędkością wokół areny cyrkowej, mierząc swoją prędkość za pomocą licznika rowerowego. Obserwator mierzy częstotliwość f ruchu akrobaty – ile razy w ciągu określonego czasu okrąży on arenę lub okres T – ile trwa jedno okrążenie.

Z poznanych wzorów na prędkość liniową v=2πrT lub v=2πrf akrobata i obserwator mogą wyznaczyć promień areny cyrkowej.

Słowniczek

Punkt materialny
Punkt materialny

(ang. point mass) ciało obdarzone masą, którego rozmiary w danym zagadnieniu możemy zaniedbać. Wówczas położenie ciała opisujemy jako położenie punktu geometrycznego.

Tor ruchu
Tor ruchu

(ang. trajectory) krzywa, po której porusza się punkt materialny.

Prędkość liniowa
Prędkość liniowa

(ang. linear speed) do określenia wielkości fizycznej, jaką jest prędkość v, dodaje się często przymiotnik „liniowa”, aby podkreślić różnice między tą wielkością a prędkością kątową również podawaną przy opisie ruchu po okręgu.

Doba gwiazdowa
Doba gwiazdowa

(ang. stellar day) czas pomiędzy dwoma kolejnymi górowaniami punktu Barana (punktu równonocy wiosennej).

Eratostenes
Eratostenes

grecki matematyk, filozof, astronom, geograf i poeta (276 p.n.e. – 194 p.n.e.).