Warto przeczytać

Rozpatrując zagadnienie ruchu niejednostajnego po okręgu, mamy do czynienia ze zjawiskiem, w którym wartość prędkości liniowej ciała poruszającego się po obwodzie nie jest wartością stałą: $v\ne\text{const}.$ Prędkość kątowaPrędkość kątowaPrędkość kątowa $\omega$ zdefiniowana jest jako przyrost kątaZmiana położenia kątowegoprzyrost kąta $\Delta\alpha$, który następuje w pewnym czasie $\Delta t$

Jednostką prędkości kątowej jest radian podzielony przez sekundę:

Poruszające się z prędkością $v$ po okręgu ciało zakreśla pewien łuk. Spróbujmy znaleźć relację wiążącą ze sobą prędkość liniową i prędkość kątową.

RWefbGnTE0YZs

Rys. 1. Na ilustracji widoczny jest okrąg narysowany czarną linią ciągłą, którego środek oznaczono czarnym punktem. Na rysunku zaznaczono w postaci czarnych ciągłych linii dwa promienie okręgu. Promienie opisane są małymi literami r. Jeden z nich skierowany jest w prawo i w górę a drugi w prawo i w dół. Po prawej stronie pomiędzy punktami, w których promienie okręgu stykają się z obwodem okręgu narysowano czerwony łuk. Łuk biegnie wzdłuż obwodu okręgu i pokrywa się z nim. Łuk ten oznaczony jest po prawej stronie symbolem wielka grecka litera delta i mała litera s. Oznacza to zmianę położenia wzdłuż obwodu okręgu. W środku okręgu widać drugi, czarny łuk biegnący równolegle do obwodu okręgu. Czarny łuk również narysowany jest pomiędzy promieniami okręgu po prawej stronie od środka okręgu. Oznacza on kąt odpowiadający przemieszczeniu opisanemu czerwonym łukiem. Kąt ten oznaczony jest symbolem wielka grecka litera delta i mała grecka litera alfa. Przemieszczenie kątowe delta alfa odpowiada przemieszczeniu liniowemu delta s.

Związek pomiędzy długością łuku $\Delta s$ i przyrostem kąta $\Delta\alpha$ możemy zapisać w postaci

gdzie $r$ jest promieniem okręgu (patrz Rys. 1.). Zauważmy, że oba te przyrosty następują w tym samym czasie $\Delta t$. Podzielmy obustronnie powyższe wyrażenie przez $\Delta t$

Po lewej stronie wyrażenia otrzymaliśmy stosunek przyrostu drogi do czasu. Jest to wartość prędkości liniowej: $\frac{\Delta s}{\Delta t}=v$. Po prawej stronie równania widzimy natomiast stosunek przyrostu kąta do czasu. Jest to znana nam już definicja prędkości kątowej, $\frac{\Delta\alpha}{\Delta t}=\omega$. Możemy zatem zapisać powyższą relację w postaci:

Jak wspomnieliśmy na początku, w ruchu niejednostajnym po okręgu wartość prędkości liniowej, z jaką porusza się ciało, również ulega zmianie. Stosunek zmiany prędkości do czasu, w którym następuje, stanowi definicję przyspieszenia.

W analizowanym zagadnieniu przyspieszenie to rozumiane jest jako przyspieszenie styczne do toru $a_{s}$. Jego wektorową postać przedstawia Rys. 2.

R1QHeGr1XPyNe

Rys. 2. Na ilustracji widoczny jest okrąg narysowany czarną linią ciągłą, którego środek oznaczono czarnym punktem. Na rysunku zaznaczono w postaci czarnych ciągłych linii dwa promienie okręgu. Promienie opisane są małymi literami r. Jeden z promieni biegnie w prawo i nieco w górę a drugi w lewo i nieco w dół. Na końcu promieni widoczne są punkty narysowane w postaci czerwonych kropek. Do czerwonego punktu po lewej stronie przyłożone są dwa wektory styczne do obwodu okręgu, skierowane w dół. Jeden nich, czarny jest krótszy i opisany jest symbolem mała litera a z indeksem dolnym mała litera s i strzałką oznaczającą zapis wektorowy. Opisuje on przyspieszenie styczne. Drugi z przyłożonych do tego punktu wektorów widoczny jest w postaci zielonej strzałki skierowanej w dół, która jest dłuższa od czarnej. Wektory czarny i zielony pokrywają się. Zielony wektor opisany jest jako liniowa prędkość początkowa symbolem mała litera v z indeksem dolnym mała litera p i strzałką symbolizującą zapis wektorowy. Do drugiego czerwonego punktu znajdującego się po prawej stronie przyłożone są również dwa wektory styczne do obwodu okręgu, skierowane ku górze. Jeden nich, czarny jest krótszy i odpisany jest symbolem mała litera a z indeksem dolnym mała litera s i strzałką oznaczającą zapis wektorowy. Opisuje on przyspieszenie styczne. Drugi z przyłożonych do tego punktu wektorów widoczny jest w postaci czerwonej strzałki skierowanej w górę, która jest dłuższa od czarnej. Wektory czarny i czerwony pokrywają się. Czerwony wektor opisany jest jako liniowa prędkość końcowa symbolem mała litera v z indeksem dolnym mała litera k i strzałką symbolizującą zapis wektorowy. Wektor liniowej prędkości początkowej jest dłuższy niż wektor liniowej prędkości końcowej. Oznacza to, że prędkość liniowa maleje. Wektory przyspieszenia stycznego przyłożone do obu punktów są równej długości.

Zastanówmy się nad konsekwencją obecności przyspieszenia stycznego. Zmiana wartości prędkości liniowej, z jaką ciało porusza się po okręgu, wymusza również zmianę prędkości kątowej, zgodnie ze wzorem

Ponownie zauważmy, że przyrosty tych parametrów następują w takim samym czasie $\Delta t$

Część wyrażenia po prawej stronie, określająca przyrost prędkości kątowej w czasie, znana jest jako przyspieszenie kątowePrzyspieszenie kątoweprzyspieszenie kątowe:

Jednostką przyspieszenia kątowego jest radian podzielony przez sekundę w kwadracie

Możemy zatem zapisać relację wiążącą przyspieszenie styczne i przyspieszenie kątowe jako

W zadaniach rachunkowych często pojawia się konieczność wyznaczenia kąta $\alpha(t)$, jaki zakreśliło ciało w czasie ruchu, lub wyznaczenia jego prędkości kątowej $\omega(t)$. I tak, kąt, który został zakreślony przez ciało poruszające się początkowo z prędkością kątową $\omega_{p}$, a która wzrosła do wartości końcowej $\omega_{k}$ w czasie $t$, określa wzór :

Zwróćmy uwagę, że czynnik $\frac{\omega_{p}+\omega_{k}}{2}$ jest wartością średnią prędkości kątowej. Jest to ważne, ponieważ powyższe równanie jest prawdziwe tylko w przypadku ruchu niejednostajnego po okręgu, w którym wartość przyspieszenia kątowego jest stała $\varepsilon=\textrm{const}$.

Z definicji przyspieszenia kątowego wynika, że:

a zatem wartość końcową prędkości kątowej wyrażamy jako

Przykład 1.

Przeanalizujmy przykład chłopca jadącego na rowerze. Rowerzysta jedzie w taki sposób, że koła jego roweru mają początkową prędkość kątową $\omega_{p}$. W pewnej chwili chłopiec zaczyna hamować i zatrzymuje się po upływie czasu $t$. Wyznaczmy prędkość kątową kół w chwili będącej połową czasu hamowania oraz liczbę obrotów, jakie wykonają one do tego momentu (Rys. 3.).

REAE0FRLgnrPi

Rys. 3. Na ilustracji widoczny jest w postaci czarnego ludzika rowerzysta jadący po poziomej powierzchni. Rowerzysta początkowo znajduje się po lewej stronie ilustracji. Pod rowerzystą widoczny jest czarny napis mała litera t z indeksem dolnym mała litera p równa się zero co oznacza czas początkowy rowerzysty jest równy zero. Obok rowerzysty po prawej stronie widoczny jest czarny napis mała grecka litera omega z indeksem dolnym r większa od zera. Oznaczenie to symbolizuje prędkość kątową większą od zera. Z prawej strony ilustracji widoczny jest ten sam rowerzysta. Pod nim widoczny jest napis mała litera t z indeksem dolnym mała litera k równa się mała litera t. Oznacza to czas końcowy, większy od zera i równy t. Po prawej stronie rowerzysty, w chwili czasu końcowego widnieje symbol mała grecka litera omega z indeksem dolnym mała litera k równa się zero. Oznacza to zerową prędkość kątową rowerzysty, czyli jego zatrzymanie się.

Rozwiązanie:

Wyznaczenie obu szukanych parametrów wymaga określenia wartości przyspieszenia kątowego, z jakim poruszają się koła roweru. Wykorzystajmy definicję przyspieszenia kątowego:

W analizowanym przykładzie pozwala ona na wyznaczenie przyspieszenia kątowego kół

Wykorzystując znajomość wartości przyspieszenia kątowego możemy wyznaczyć zmianę prędkości kątowej kół, do jakiej dojdzie w czasie $\frac{1}{2}t$

Określmy zatem pierwszy z szukanych parametrów, jakim jest prędkość kątowa po upływie czasu $\frac{1}{2}t$

Wyznaczenie liczby obrotów, jakie wykonają koła roweru, wymaga obliczenia kąta, jaki zakreślą w zadanym czasie. Zauważmy, że wartość przyspieszenia kątowego w analizowanym przypadku jest stała, $\varepsilon=\textrm{const}$. Wykorzystamy w tym celu wzór

który przekształcimy zgodnie z warunkami analizowanego przykładu do postaci

Zwróćmy uwagę, że powyższy wynik nie jest odpowiedzią, której poszukujemy. Jest to wartość przesunięcia kątowego. Wyznaczenie liczby obrotów każdego z kół rowerowych wymaga podzielenia otrzymanego wyniku przez kąt odpowiadający pełnemu obrotowi

Zapamiętajmy, że zaprezentowany tok rozumowania zakłada, że ruch niejednostajny po okręgu odbywa się ze stałym przyspieszeniem kątowym.

Słowniczek