Warto przeczytać

Wielkości mierzone pośrednio

W pomiarach bardzo często spotykamy sytuacje, kiedy daną wielkość trudno jest zmierzyć pomiarem bezpośrednim, ale można to zrobić korzystając ze związku tej wielkości z innymi, które zmierzyć łatwo. Oto przykłady takich okoliczności:

• Istnieją wprawdzie prędkościomierze i akcelerometry. Ale prędkość i przyspieszenie ciała można także zmierzyć pośrednio, korzystając ze związku tych wielkości z drogą, jaką ciało przebyło w określonym czasie. Te ostatnie wielkości mierzylibyśmy wtedy bezpośrednio (Rys. 1a.).

  RRPNHJE9YsA6r

  Rys. 1a. Ilustracja podzielona jest na dwie części, lewą i prawą. Lewa część przedstawia schemat wyznaczenia prędkości ciała w ruchu jednostajnym. Tło schematu jest żółte. W górnej części widoczne są obok siebie dwa puzzle w kolorze zielonym. Na lewym elemencie zapisana jest droga wraz z niepewnością, mała litera s plus minus wielka grecka litera delta i mała litera s. Na prawym elemencie układanki zapisany jest czas wraz z niepewnością, mała litera t plus minus wielka grecka litera delta i małą litera t. W dolnej części schematu widoczne jest złożenie obu puzzli układanki, na których zapisano wzór określający prędkość ciała w ruchu jednostajnym, mała litera v, równa się drodze, mała litera s, podzielonej przez czas, małą litera t. Prawa część ilustracji prezentuje schemat wyznaczenia wartości przyspieszenia w ruchu jednostajnie przyspieszonym. Tło schematu jest żółte. W górnej części widoczne są dwa puzzle w kolorze zielonym ułożone jeden obok drugiego. Na lewym elemencie zapisana jest droga wraz z niepewnością, mała litera s plus minus wielka grecka litera delta i mała litera s. Na prawym elemencie układanki zapisany jest czas wraz z niepewnością, mała litera t plus minus wielka grecka litera delta i małą litera t. W dolnej części schematu dwa puzzle są złożone, zapisany jest na nich wzór określający wartość przyspieszenia, mała litera a, równa się dwa razy droga mała litera s, podzielona przez czas do kwadratu, mała litera t do potęgi drugiej.

  

• Nie ma prostego przyrządu do bezpośredniego pomiaru energii kinetycznej ciała. Możemy jednak, w pomiarach bezpośrednich, zmierzyć masę ciała (istnieją wagi) oraz jego prędkość (istnieją prędkościomierze) i na tej podstawie zmierzyć jego energię kinetyczną.

  RVAcyMOJybNJp

  Rys. 1b. Ilustracja prezentuje schemat wyznaczenia energii kinetycznej ciała o znanej masie, poruszającego się ze stałą prędkością. Tło schematu jest żółte. W jego górnej części widoczne są dwa puzzle w kolorze zielonym. Jeden z elementów znajduje się po lewej, a drugi po prawej stronie schematu. Lewy element układanki przedstawia masę ciała wraz z niepewnością, mała litera m plus minus wielka grecka litera delta i mała litera m. Prawy element układanki przedstawia prędkość wraz z niepewnością, mała litera v plus minus wielka grecka litera delta i małą litera v. W dolnej części schematu złożone są dwa puzzle, widnieje na nich wzór opisujący energię kinetyczną, wielka litera E z indeksem dolnym mała litera k, równą iloczynowi masy i kwadratu prędkości, mała litera m razy małą litera v do potęgi drugiej, podzielonemu przez dwa.

  

• Nie ma prostego przyrządu do pomiaru współczynnika tarcia statycznego klocka o podłoże. Współczynnik ten można jednak wyrazić, w odpowiednio przygotowanym pomiarze, przez tangens kąta nachylenia równi pochyłej, przy którym to nachyleniu klocek zaczynia się z tej równi zsuwać (zob. materiał pt. Wyznaczamy wartość współczynnika tarcia statycznego na podstawie analizy zachowania ciała na równi pochyłej).

  R1FImv9yUzlbG

  Rys. 1c. Ilustracja prezentuje schemat wyznaczenia współczynnika tarcia dla klocka zsuwającego się po równi pochyłej Tło schematu jest żółte. W górnej jego części widoczne są dwa puzzle w kolorze zielonym. Jeden z elementów znajduje się po lewej, a drugi po prawej stronie schematu. Na lewym elemencie zapisany jest kąt nachylenia równi wraz z niepewnością, mała grecka litera alfa plus minus wielka grecka litera delta i małą grecka litera alfa. Na prawym elemencie układanki widoczny jest schematyczny rysunek równi pochyłej i klocka zsuwającego się z niej. W dolnej części schematu złożone są dwa puzzle, widnieje na nich wzór opisujący współczynnik tarcia klocka o równię, mała litera f, równa się tangensowi kąta nachylenia, mała grecka litera alfa.

  

• W bezpośrednim pomiarze łatwo zmierzymy średnicę i wysokość walca. Dokonane na tej podstawie pomiary jego objętości i powierzchni bocznej będą pomiarami pośrednimi. Tym ostatnim przykładem zajmiemy się szczegółowo.

R9NMiPgcKIbwt

Rys. 1d. Ilustracja przedstawia schemat wyznaczenia pola powierzchni bocznej oraz objętości walca. Tło schematu jest żółte. W centralnej części schematu widoczny jest poziomo ułożony szary walec. W połowie wysokości schematu, po lewej i prawej stronie, widoczne są dwa zielone puzzle. Na lewym elemencie układanki zapisano wysokość walca wraz z niepewnością, mała litera h plus minus wielka grecka litera delta i mała litera h. Na prawym elemencie układanki zapisano średnicę walca wraz z niepewnością, mała litera d plus minus wielka grecka litera delta i mała litera d. W górnej części schematu złożono dwa puzzle w całość i zapisano wzór określający pole powierzchni bocznej walca, wielka litera S, równa się stała pi razy średnica walca, mała litera d, pomnożone przez wysokość walca, mała litera h. W dolnej części schematu również złożono dwa puzzle, na których zapisano wzór określający objętość walca, wielka litera V, równa się stała pi razy kwadrat średnicy, mała litera d do potęgi drugiej, razy wysokość walca, małą litera h, wszystko podzielone przez cztery.

Niepewność pomiarowa wielkości mierzonej pośrednio

Wymienione powyżej i podobne pomiary nazywamy pomiarami pośrednimiPomiar pośrednipomiarami pośrednimi.

Jak wyznaczyć niepewnośćNiepewności pomiarów pośrednichniepewność wielkości zmierzonej w taki sposób? Odpowiedź na to pytanie nie jest intuicyjna. Aby to pokazać, skupmy się na chwilę na pomiarze wartości prędkości w ruchu jednostajnym (Rys. 1a.). Wyznaczając niepewność pomiaru prędkości, nie będziemy przecież dodawać do siebie niepewności drogi, wyrażonej w metrach i niepewności czasu, wyrażonej w sekundach - to byłoby niepoważne. Dzielenie niepewności drogi przez niepewność czasu, choć mniej niepoważne, także nie byłoby dobrym pomysłem. Prowadziłoby to do sprzeczności: im większa niepewność pomiaru czasu, tym mniejsza byłaby niepewność pomiaru prędkości. Takie podejście byłoby nie do przyjęcia.

A jak wyznaczyć niepewność objętości kuli, która jest proporcjonalna do trzeciej potęgi długości jej średnicy? Czy w tej sytuacji należałoby do trzeciej potęgi podnieść niepewność średnicy kuli? Okazuje się, że takie rozwiązanie też nie jest właściwe.

Rfsdbl6kon4Lm

Rys. 2. Ilustracja przedstawia schemat wyznaczenia wartości niepewności objętości kuli. Tło schematu jest żółte. W jego górnej części, centralnie zaprezentowano piłkę do koszykówki. Po jej obu bokach położone są dwa zielone puzzle. Na lewym elemencie układanki zapisano wzór określający objętość kuli, wielka litera V, równa się stała pi podzielona przez sześć i wszystko pomnożone przez sześcian średnicy kuli, mała litera d do potęgi trzeciej. Na prawym elemencie układanki zapisano średnicę kuli wraz z niepewnością, mała litera d plus minus wielka grecka litera delta i mała litera d. W dolnej części schematu złożono dwa puzzle, przekreślono je dwiema czerwonymi liniami, co oznacza, że zapisany na nich wzór określający niepewność objętości nie jest prawdziwy. Nieprawdziwy wzór określający niepewność objętości kuli ma postać: wielka grecka litera delta i wielka litera V, równa się stała pi podzielona przez sześć i całość pomnożona przez sześcian niepewności średnicy, wielka grecka litera delta i mała litera d do potęgi trzeciej.

Zależność pomiędzy wielkościami mierzonymi bezpośrednio a wielkością, którą chcemy na ich podstawie wyznaczyć, może przyjmować różne postacie: sumy lub różnicy, iloczynu lub ilorazu, jakiejś funkcji trygonometrycznej, potęgowej, wykładniczej itd. Często występują różne kombinacje tych związków. Metoda obliczania niepewności musi uwzględniać te różne postacie. Widać, że niepewności pomiarów pośrednich to problem wart spokojnego rozważenia.

Maksymalne odchylenia zamiast niepewności standardowych

W jakich granicach mieści się powierzchnia boczna walca?

Za pomocą suwmiarki zmierzyliśmy średnicę $d$ pręta walcowego z dokładnością do 0,1 mm. Pomiar powtórzyliśmy po to, by upewnić się, że nie popełniliśmy pomyłki przy odczycie. Przyjmujemy, że graniczna niepewność tego wyniku związana z dokładnością przyrządu to $\mathrm{\Delta }d$ = 0,01 cm. Wysokość $h$ pręta zmierzyliśmy taśmą mierniczą, także dwukrotnie, z dokładnością do 1 mm. Podobnie, przyjmujemy graniczną niepewność $\mathrm{\Delta }h$ = 0,1 cm. Uzyskaliśmy wyniki dla wielkości zmierzonych bezpośrednio:

Skomentujmy te wyniki:

• Oba pomiary spełniają warunek, że niepewność wyniku jest znaczenie mniejsza od samego wyniku.

• Względne niepewności wyników obu pomiarów są porównywalne, żadna z niepewności nie dominuje nad drugą. Decyzja o użyciu suwmiarki do pomiaru średnicy i taśmy do pomiaru wysokości była więc trafna.

• Dla potrzeb obliczeń powinniśmy zaokrąglać wartość liczbyLiczba Piliczby $\pi$ co najmniej do czterech cyfr znaczących: $\pi \approx 3,142$. Popełniamy przy tym błąd mniejszy niż 0,001, gdyż $\pi \in (3,141;3,142)$. Związany z takim przybliżeniem błąd względny to niecałe 0,03%. Jest on o ponad rząd wielkości mniejszy od względnej niepewności wyników pomiaru średnicy i wysokości. Dzięki temu zaokrąglenie $\pi$ nie wpłynie znacząco na wyniki naszych obliczeń i możemy ten parametr traktować jako stałą znaną dokładnie.

Pole bocznej powierzchni naszego pręta $S$ obliczamy zgodnie z podanym wyżej wzorem:

Jakie jest maksymalne odchylenie od tej wartości, z jakim powinniśmy się liczyć, a które wynika z granicznych niepewności pomiarów bezpośrednich? Przedstawmy ten problem z praktycznego punktu widzenia: chcemy kupić bardzo drogą farbę, którą pokryjemy powierzchnię boczną badanego walca. Jaką ilość tej farby trzeba zakupić, by mieć pewność, że wystarczy do pomalowania całej powierzchni - ani większej, ani mniejszej?

Powierzchnia boczna walca to - po przecięciu i rozwinięciu - prostokąt (Rys. 3.). Długości dwóch jego boków odpowiadają wysokości walca $h$. Pozostałe dwa boki mają długości równe obwodowi walca $p$, przy czym $p=\pi ·d$.

RHDNGqNzExQxh

Rys. 3. Rysunek przedstawia po lewej, pomarańczowy pionowy walec. Wysokość walca opisana jest małą literą h. Po prawej pokazano rozwinięcie powierzchni bocznej walca do postaci prostokąta. Rozwinięcie ma postać poziomego, pomarańczowego prostokąta o wysokości mała litera h i szerokości, mała litera p.

W tej prostej sytuacji niepewność obwodu – wielkości mierzonej pośrednio – jest równa

przy czym

Na Rys. 4. pokazano, jaki skutek dla powierzchni $S$ prostokąta miałoby jednoczesne zwiększenie długości jego boków, odpowiednio o $\mathrm{\Delta }p$ oraz o $\mathrm{\Delta }h$.

R1BbpPjVxwMKp

Rys. 4. Rysunek przedstawia powierzchnię boczną walca powiększoną o przyrosty wysokości oraz obwodu. Na rysunku widoczny jest poziomy prostokąt. Znaczna jego część jest pomarańczowa. Jej pole powierzchni opisane jest wielką literą S. Wysokość pomarańczowego prostokąta opisano małą literą h, a szerokość małą literą p. Pomarańczowy prostokąt stanowi rozwinięcie powierzchni bocznej walca, a zatem wymiar mała litera p stanowi obwód walca. Do pomarańczowego prostokąta z prawej strony przylega pionowy, niebieski prostokąt o wysokości mała litera h i szerokości wielka grecka litera delta i mała litera p. Do pomarańczowego prostokąta u dołu przylega poziomy, zielony prostokąt o wysokości wielka grecka litera delta i mała litera h i szerokości, mała litera p. W prawym dolnym rogu schematu widoczne jest jasnoniebieskie dopełnienie rysunku w postaci prostokąta o szerokości wielka grecka litera delta i mała litera p oraz wysokości wielka grecka litera delta i mała litera h. Wszystkie elementy składają się w jeden większy, kolorowy prostokąt o wysokości mała litera h plus wielka grecka litera delta i mała litera h, oraz szerokości mała litera p plus wielka grecka litera delta i mała litera p.

Powierzchnia $S$ wzrosłaby o $\mathrm{\Delta }S$, zgodnie z równaniem:

Gdy zauważymy, że iloczyn $\mathrm{\Delta }p\mathrm{\Delta }h$ jest pomijalny wobec pozostałych składników sumy i uwzględnimy, że $S=ph$, to otrzymamy wyrażenie na maksymalne odchylenie:

Pierwszy składnik sumy to pole zielonego prostokąta na Rys. 4., zaś drugi to pole prostokąta ciemnoniebieskiego.

Wyrażenie to staje się bardziej czytelne i uniwersalne, gdy podzielimy je stronami przez $S=p\cdot h$ i zapiszemy w postaci odchylenia względnego:

Możemy teraz łatwo obliczyć maksymalne względne odchylenie $\mathrm{\Delta }S$:

skąd dostajemy:

Stosując te same zasady zaokrąglania i zapisu, jakie obowiązują przy analizie granicznych niepewności pomiarowych, możemy napisać:

Oznacza to, że powinniśmy kupić farby na pokrycie 95,2 cmIndeks górny 2² powierzchni bocznej walcowego pręta.

Słowniczek