Określimy liczbę punktów wspólnych okręgów o promieniach długości $r_1=3$ i $r_2=11$, których odległość między środkami wynosi $10$.

Rozwiązanie

Zauważmy, że $r_1+r_2=3+11=14$, zaś: $r_2-r_1=11-3=8$.

Ponieważ spełniony jest warunek $\left|r_2-r_1\right|<\left|O_1{O}_2\right|<r_1+r_2$, to okręgi mają $2$ punkty wspólne.

Określimy liczbę punktów wspólnych okręgów o równaniach: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=\frac{4}{9}$ i $x^2+{\left(y-2\right)}^2=1$.

Rozwiązanie

Okrąg o równaniu ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=\frac{4}{9}$ ma środek w punkcie $O_1=\left(1,2\right)$ i promień długości $r_1=\frac{2}{3}$.

Okrąg o równaniu $x^2+{\left(y-2\right)}^2=1$ ma środek w punkcie $O_2=\left(0,2\right)$ i promień długości $r_2=1$.

Obliczamy odległość środków tych okręgów:

$\left|O_1{O}_2\right|$ $=\sqrt{{\left(0-1\right)}^2+{\left(2-2\right)}^2}=\sqrt{1}=1$.

Wyznaczamy sumę i różnicę długości promieni tych okręgów:

$r_2-r_1=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$,

$r_1+r_2=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$.

Stąd: $r_2-r_1=\frac{1}{3}<$ $\left|O_1{O}_2\right|$ $<r_1+r_2=\frac{5}{3}$ i $\left|O_1{O}_2\right|=1$.

Okręgi mają zatem $2$ punkty wspólne.

Mamy dany okrąg o środku w punkcie $O_1=\left(1,1\right)$ i promieniu długości $r_1=5$. Okrąg o środku w punkcie $O_2=\left(2,y\right)$ i promieniu długości $r_2=3$ ma z danym okręgiem $1$ punkt wspólny. Wyznaczymy $y$.

Rozwiązanie

Okręgi mają $1$ punkt wspólny, jeśli odległość ich środków jest równa sumie lub różnicy długości ich promieni.

Zatem: $\left|O_1{O}_2\right|=8$ lub $\left|O_1{O}_2\right|=2$.

Wyznaczymy odległość środków okręgów:

$\left|O_1{O}_2\right|$ $=\sqrt{{\left(2-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2}=\sqrt{y^2-2y+2}$.

Rozwiążemy równania:

(1) $\sqrt{y^2-2y+2}=2$ i (2) $\sqrt{y^2-2y+2}=8$.

(1) $y^2-2y+2=4$

$y^2-2y-2=0$

$∆=2^2-4·1·\left(-2\right)=12$

$y_1=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}=1-\sqrt{3}$ lub $y_2=\frac{2+2\sqrt{3}}{2}=1+\sqrt{3}$.

(2) $y^2-2y+2=64$

$y^2-2y-62=0$

$∆=2^2-4·1·\left(-62\right)=252$

$y_3=\frac{2-6\sqrt{7}}{2}=1-3\sqrt{7}$ lub $y_4=\frac{2+6\sqrt{7}}{2}=1+3\sqrt{7}$.

Zatem okrąg o środku w punkcie $O_2=\left(2,y\right)$ i promieniu długości $r_2=3$ ma z okręgiem o środku w punkcie $O_1=\left(1,1\right)$ i promieniu długości $r_1=5$ jeden punkt wspólny, jeśli $y=1-\sqrt{3}$ lub $y=1+\sqrt{3}$, lub $y=1-3\sqrt{7}$, lub $y=1+3\sqrt{7}$

Wyznaczymy długość promienia okręgu $K_1$ o środku w punkcie $\left(2,-2\right)$ tak, aby miał $2$ punkty wspólne z okręgiem $K_2$ o równaniu $x^2+4x+y^2-2y+1=0$.

Rozwiązanie

Równanie okręgu $K_1$ możemy zapisać następująco: ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2={r_1}^2$.

Równanie okręgu $K_2$: $x^2+4x+y^2-2y+1=0$ doprowadzamy do postaci ${\left(x-a_2\right)}^2+{\left(y-b_2\right)}^2={r_2}^2$.

Po przekształceniach: $x^2+4x+y^2-2y+1={\left(x+2\right)}^2-4+{\left(y-1\right)}^2-1+1$ otrzymujemy równanie okręgu $K_2$ postaci ${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4$.

Jego środek ma współrzędne $O_2=\left(-2,1\right)$ a promień ma długość $r_2=2$.

Obliczamy odległość środków tych okręgów:

$\left|O_1{O}_2\right|$ $=\sqrt{{\left(-2-2\right)}^2+{\left(1-\left(-2\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+{\left(3\right)}^2}=\sqrt{25}=5$.

Okręgi $K_1$ i $K_2$ mają się przecinać, więc musi być spełniony warunek $\left|r_1-r_2\right|<\left|O_1{O}_2\right|<r_1+r_2$.

Zatem $\left|r_1-2\right|<5<r_1+2$.

Warunek ten możemy zapisać za pomocą układu nierówności

$\left\{\begin{array}{l}-5<r_1-2<5\\ r_1+2>5\end{array}\right.$

Ponieważ długość promienia przyjmuje tylko wartości dodatnie, to dodajemy jeszcze warunek $r_1>0$.

Mamy zatem

$\left\{\begin{array}{l}-3<r_1<7\\ r_1>3\\ r_1>0\end{array}\right.$

co oznacza, że okręgi $K_1$ i $K_2$ mają $2$ punkty wspólne, gdy $r_1\in \left(3,7\right)$.

Dane są dwa okręgi: $K_1$ o promieniu $r_1=5$, styczny do osi $X$ w początku układu współrzędnych i $K_2$ o promieniu $r_2=3$, styczny do osi $Y$ w punkcie $A=\left(0,4\right)$. Napiszemy równania tych okręgów oraz wyznaczymy współrzędne ich punktów wspólnych.

Rozwiązanie

Okrąg $K_1$ o równaniu ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=25$ jest styczny do osi $X$ w punkcie $\left(0,0\right)$ zatem: ${\left(0-a\right)}^2+{\left(0-b\right)}^2=25$, czyli $a^2+b^2=25$. Okrąg jest styczny do osi $X$, stąd odległość środka okręgu od tej prostej jest równa promieniowi okręgu $K_1$.

Korzystając ze wzoru na odległość środka okręgu $K_1$ od prostej $y=0$ mamy:

$r_1=\frac{\left|0·a+1·b+0\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\frac{\left|b\right|}{1}=5$.

Rozwiązaniem równania $\left|b\right|=5$ są dwie liczby $b_1=-5$ lub $b_2=5$.

Z warunku $a^2+b^2=25$ wyznaczamy $a$: $a^2=25-b^2$. Dla $b_1=-5$ i $b_2=5$ otrzymujemy $a=0$.

Są zatem dwa okręgi o promieniu $r_1=5$ styczne do osi $X$ w początku układu współrzędnych:

$K_{11}$: $x^2+{\left(y-5\right)}^2=25$ oraz $K_{12}$: $x^2+{\left(y+5\right)}^2=25$.

R1esunMpHZ8OK

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dziesięciu do dziesięciu i pionową osią y od minus dziesięciu do dziesięciu. Osie mają podziałkę co dwa. Na płaszczyźnie znajdują się dwa okręgi. Pierwszy ma środek w punkcie początek nawiasu, 0, 5, zamknięcie nawiasu oraz promień długości pięć. Drugi z nich ma środek w punkcie początek nawiasu, 0, minus 5, zamknięcie nawiasu, długość jego promienia wynosi pięć. Okręgi mają jeden punkt wspólny o współrzędnych początek nawiasu, 0, 0, zamknięcie nawiasu.

Te okręgi są styczne zewnętrznie, punktem styczności jest punkt $\left(0,0\right)$.

Okrąg $K_2$ o równaniu ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=9$ jest styczny do osi $Y$ w punkcie $\left(0,4\right)$, zatem punkt $\left(0,4\right)$ leży na okręgu: ${\left(0-a\right)}^2+{\left(4-b\right)}^2=9$, czyli $a^2+{\left(4-b\right)}^2=9$.

Ponieważ okrąg ten jest styczny do osi $Y$, to odległość środka okręgu od tej prostej jest równa promieniowi okręgu $K_2$.

Korzystając ze wzoru na odległość środka okręgu $K_2$ od prostej $x=0$ mamy:

$r_2=\frac{\left|1·a+0·b+0\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=\frac{\left|a\right|}{1}=3$.

Rozwiązaniem równania $\left|a\right|=3$ są dwie liczby: $a_1=-3$ lub $a_2=3$.

Z warunku $a^2+{\left(4-b\right)}^2=9$ mamy ${\left(4-b\right)}^2=9-a^2$.

Dla $a=-3$ lub $a=3$ otrzymujemy równanie ${\left(4-b\right)}^2=0$, stąd $b=4$.

Są zatem dwa okręgi o promieniu $r_2=3$ styczne do osi $Y$ w punkcie $\left(0,4\right)$:

$K_{21}$: ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=9$ lub $K_{22}$: ${\left(x+3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=9$.

R1B7HeoC7uq8Y

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dziesięciu do dziesięciu i pionową osią y od minus dwóch do dziesięciu. Osie mają podziałkę co dwa. Na płaszczyźnie znajdują się dwa okręgi. Pierwszy ma środek w punkcie początek nawiasu, minus 3, 4, zamknięcie nawiasu oraz promień długości trzy. Drugi z nich ma środek w punkcie początek nawiasu, 3, 4, zamknięcie nawiasu, długość jego promienia wynosi trzy. Okręgi mają jeden punkt wspólny o współrzędnych początek nawiasu, 0, 4, zamknięcie nawiasu.

Te okręgi są styczne zewnętrznie a ich punktem styczności jest punkt $\left(0,4\right)$.

Wyznaczymy teraz punkty przecięcia okręgu $K_{11}:x^2+{\left(y-5\right)}^2=25$ z okręgiem $K_{21}:{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=9$. Te okręgi się przecinają bo odległość środków tych okręgów $\sqrt{3^2+{\left(5-4\right)}^2}=\sqrt{10}$ spełnia warunek $r_1-r_2=2<\sqrt{10}<8=r_1+r_2$.

Aby znaleźć punkty przecięcia tych okręgów musimy rozwiązać układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(y-5\right)}^2=25\\ {\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=9\end{array}\right.$.

Równanie $x^2+{\left(y-5\right)}^2=25$ po przekształceniach przyjmuje postać $x^2+y^2-10y=0$.

Równanie ${\left(x-3\right)}^2+\left(y-4\right){}^2=9$ po przekształceniach jest postaci $x^2-6x+y^2-8y+16=0$.

Rozwiązujemy zatem układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-10y=0\\ x^2-6x+y^2-8y+16=0\end{array}\right.$.

Odejmujemy stronami równania i otrzymujemy:

$-10y+6x+8y-16=0$,

stąd

$y=3x-8$.

Po podstawieniu $y=3x-8$ do równania $x^2+y^2-10y=0$ otrzymujemy $x^2+{\left(3x-8\right)}^2-10\left(3x-8\right)=0$, co daje: $x^2+9x^2-48x+64-30x+80=0$, a stąd $10x^2-78x+144=0$.

Wyróżnik trójmianu kwadratowego $\Delta ={78}^2-4·10·144=324$, istnieją więc dwa rozwiązania tego równania.

$x_1=\frac{78-18}{20}=3$ lub $x_2=\frac{78+18}{20}=\frac{24}{5}$.

Dla $x_1=3$: $y_1=3·3-8=1$.

Dla $x_2=\frac{24}{5}$: $y_2=3·\frac{24}{5}-8=\frac{32}{5}$.

RD5FrypjAMZJJ

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dziesięciu do dziesięciu i pionową osią y od minus dwóch do dziesięciu. Osie mają podziałkę co dwa. Na płaszczyźnie znajdują się dwa okręgi. Pierwszy ma środek w punkcie początek nawiasu, 0, 5, zamknięcie nawiasu oraz promień długości pięć. Drugi z nich ma środek w punkcie początek nawiasu, 3, 4, zamknięcie nawiasu, długość jego promienia wynosi trzy. Okręgi mają dwa punkty wspólne oba znajdują się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych.

Okręgi $K_{11}$ i $K_{21}$ przecinają się w punktach $\left(3,1\right)$ i $\left(\frac{24}{5},\frac{32}{5}\right)$.

Wyznaczymy teraz punkty przecięcia okręgu $K_{11}$: $x^2+{\left(y-5\right)}^2=25$ z okręgiem $K_{22}$: ${(x+3)}^2+{(y-4)}^2=9$. Te okręgi się przecinają bo odległość środków tych okręgów $\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(5-4\right)}^2}=\sqrt{10}$ spełnia warunek $r_1-r_2=2<\sqrt{10}<8=r_1+r_2$.

RPzKZoSUtIYGW

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dziesięciu do dziesięciu i pionową osią y od minus dwóch do dziesięciu. Osie mają podziałkę co dwa. Na płaszczyźnie znajdują się dwa okręgi. Pierwszy ma środek w punkcie początek nawiasu, 0, 5, zamknięcie nawiasu oraz promień długości pięć. Drugi z nich ma środek w punkcie początek nawiasu, minus 3, 4, zamknięcie nawiasu, długość jego promienia wynosi trzy. Okręgi mają dwa punkty wspólne oba znajdują się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych.

Ponieważ okręgi $K_{21}$ i $K_{22}$, oraz okrąg $K_{11}$, są symetryczne względem osi $Y$, to punkty przecięcia okręgów $K_{21}$ i $K_{22}$ z okręgiem $K_{11}$ są również symetryczne względem osi $Y$.

W związku z tym, jeśli okręgi $K_{11}$ i $K_{21}$ przecinają się w punktach $\left(3,1\right)$ i $\left(\frac{24}{5},\frac{32}{5}\right)$ to okręgi $K_{11}$ i $K_{22}$ przecinają się w punktach $\left(-3,1\right)$ i $\left(-\frac{24}{5},\frac{32}{5}\right)$.

Okręgi $K_{12}$ i $K_{21}$ są rozłączne bo odległość środków tych okręgów $\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(4+5\right)}^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$ spełnia warunek $3\sqrt{10}>8=r_1+r_2$. Analogicznie - rozłączne są okręgi $K_{12}$ i $K_{22}$.

Rn3MmWLK5Y2dh

Grafika przedstawia dwa układy współrzędnych z poziomą osią x od minus ośmiu do ośmiu i pionową osią y od minus dziesięciu do ośmiu. Osie mają podziałkę co dwa. Na pierwszej płaszczyźnie znajdują się dwa okręgi. Pierwszy ma środek w punkcie początek nawiasu, 0, minus 5, zamknięcie nawiasu oraz promień długości pięć. Drugi z nich ma środek w punkcie początek nawiasu, minus 3, 4, zamknięcie nawiasu, długość jego promienia wynosi trzy. Okręgi nie mają punktów wspólnych. Na drugiej płaszczyźnie znajdują się dwa okręgi. Pierwszy ma środek w punkcie początek nawiasu, 0, minus 5, zamknięcie nawiasu oraz promień długości pięć. Drugi z nich ma środek w punkcie początek nawiasu, 3, 4, zamknięcie nawiasu, długość jego promienia wynosi trzy. Okręgi nie mają punktów wspólnych.

zbiór wszystkich punktów $P$ płaszczyzny, których odległość od punktu $O$ jest równa $r$

leżą po przeciwnych stronach tej prostej i w równych od niej odległościach