Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Na początek przypomnijmy sobie definicję Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie.

Granica funkcji w punkcie według Cauchy'ego
Definicja: Granica funkcji w punkcie według Cauchy'ego

Liczbę g nazywamy granicą funkcji f: Df w punkcie x0, jeśli dla dowolnej liczby ε>0 istnieje liczba δ>0 taka, że dla argumentów funkcji f należących do sąsiedztwa punktu x0 o promieniu δ (tzn. dla każdego xDf takiego, że 0<x-x0<δ), wartości funkcji f należą do otoczenia liczby g o promieniu ε, tzn. spełniony jest warunek fx-g<ε.

Definicję Cauchy'ego na ogół wykorzystuje się do wykazywania, że dana z góry liczba jest granicą pewnej funkcji w punkcie. W pewnych szczególnych przypadkach jest możliwe obliczenie granicy funkcji w punkcie z wykorzystaniem definicji Cauchy'ego. Przykład taki można znaleźć w Samouczku w kolejnej sekcji. Poniższe przykłady pokazują w jaki sposób można użyć definicji Cauchy'ego do wykazania, że dana funkcja posiada granicę w punkcie równą z góry zadanej wartości.

Przykład 1

Wykażemy, że

limxpax+b=ap+b,

gdzie a, b, p są danymi liczbami oraz a0. Zgodnie z definicją Cauchy'ego weźmy dowolną, ustaloną liczbę ε>0. Musimy wskazać liczbę δ>0 tak, aby spełniona była definicja Cauchy'ego. Niech δ=εa. Wówczas dla wszystkich xDf takich, że 0<x-p<δ otrzymamy

ax+b-ap+b=ax-p=a·x-p<a·δ=ε.

Definicja Cauchy'ego jest zatem spełniona, co dowodzi że

limxpax+b=ap+b.
Przykład 2

Wykażemy, że

limxpx2-2px=-p2,

gdzie p jest danym parametrem. Zgodnie z definicją Cauchy'ego weźmy dowolną, ustaloną liczbę ε>0. Musimy wskazać liczbę δ>0 tak, aby spełniona była definicja Cauchy'ego. Niech δ=ε. Wówczas dla wszystkich xDf takich, że 0<x-p<δ otrzymamy

x2-2px--p2=x2-2px+p2=x-p2<δ2=ε.

Definicja Cauchy'ego jest zatem spełniona, co dowodzi że

limxpx2-2px=-p2.
Przykład 3

Wykażemy, że

limx2x2+x-63x-6=53.

Weźmy dowolną, ustaloną liczbę ε>0. Wskażemy liczbę δ>0 tak, aby dla wszystkich xDf takich, że 0<x-2<δ spełniony był warunek fx-53<ε. Zauważmy, że

x2+x-63x-6-53=x2+x-6-5x-23x-6=x2-4x+43x-6=x-23.

Ponieważ wiemy, że x-2<δ więc przyjmując δ=3ε, otrzymamy

fx-53=x-23<δ3=3ε3=ε.

Na mocy definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie

limx2x2+x-63x-6=53.
Przykład 4

Wykażemy, że

limx-2x3-4xx+2=8.

Weźmy dowolną, ustaloną liczbę ε>0. Wskażemy liczbę δ>0 tak, aby spełniona była definicja Cauchy'ego,  tzn. aby dla wszystkich xDf takich, że 0<x+2<δ zachodziła nierówność x3-4xx+2-8<ε. Mamy

x3-4xx+2-8=xx+2x-2-8x+2x+2=x2-2x-8=x+2x-4.

Ponieważ wiemy, że 0<x+2<δ więc w szczególności

-δ<x+2<δ.

Odejmując stronami 6, otrzymamy

-δ-6<x-4<δ-6.

Ponieważ δ-6<δ+6 więc z ostaniego ciągu nierówności wynika, że x-4<δ+6. Stąd oraz z 1 mamy

x3-4xx+2-8=x+2x-4<δδ+6

Ponieważ liczbę δ>0 możemy wybrać dowolnie, więc dobierając ją dostatecznie blisko zera prawdziwa będzie nierówność δδ+6<ε. Aby ją wyznaczyć wystarczy rozwiązać równanie δδ+6=ε względem δ. W tym przypadku otrzymamy δ0=ε+9-3>0. Wybierzmy zatem dodatnią liczbę δ tak aby była mniejsza od δ0. Wówczas dla wszystkich xDf takich, że 0<x+2<δ dostaniemy

x3-4xx+2-8<δδ+6<δ0δ0+6=ε

Definicja Cauchy'ego jest zatem spełniona, co dowodzi że

limx-2x3-4xx+2=8

Przed kolejnym przykładem przytoczymy pewną ważną nierówność.

Ważne!

Dla wszystkich liczb rzeczywistych prawdziwa jest nierówność

sinx<x

W szczególności dla x>0 zachodzi

sinx<x.
Przykład 5

Wykażemy, że

limx0sinx-π2=-1.

Weźmy dowolną, ustaloną liczbę ε>0. Wskażemy liczbę δ>0 tak, aby spełniona była definicja Cauchy'ego. Ponieważ

sinx-π2+1=sinx-π2+sinπ2.

więc ze wzoru na sumę sinusówsuma sinusówsumę sinusów mamy

sinx-π2+sinπ2=2sinx2cosx-π2=2sinx2cosx-π2.

Ponieważ cosπ2-α=sinα oraz cos-α=cosα, więc

cosx-π2=cosπ2-x2=sinx2.

Z przytocznej wcześniej nierówności wynika, że sinx2<x2. Reasumując

sinx-π2+1=2sinx22<2x22=x22.

Niech zatem δ=2ε. Stąd oraz z powyższej nierówności dla wszystkich xDf takich, że 0<x<δ otrzymamy

sinx-π2+1<x22<δ22=ε.

Na mocy definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie

limx0sinx-π2=-1.

Słownik

suma sinusów
suma sinusów
sinx+siny=2sinx+y2cosx-y2