Przeczytaj
Okrąg
Jednym z pewników, inaczej aksjomatów, geometrii euklidesowej jest ten mówiący o kreśleniu okręgu – z każdego punktu można zakreślić okrąg o dowolnym promieniu (Aksjomat 3). Tym samym „tworzenie” całej geometrii opiera się na pojęciu okręgu, a raczej na wykorzystaniu cyrkla, czyli przyrządu, który temu celowi służy. I chociaż aksjomatyaksjomaty są pojęciami pierwotnymi danej teorii, w tym momencie geometrii, to my jednak mówiąc o okręgu zaczniemy od definicji, w której pojęciami pierwotnymi będą punkt, odcinek oraz odległość.
Okręgiem o środku i promieniu nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych od punktu o dany odcinek .
Zauważmy, przy tym, że:
bezpośrednio z definicji wynika, że okrąg, jako zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o zadanej własności, jest krzywą zamkniętą;
promieniem będziemy nazywać każdy odcinek łączący środek okręgu z dowolnym punktem na tym okręgu;
okrąg jest podstawowym obiektem do wykonywania klasycznych konstrukcji geometrycznych.
Cięciwą okręgu nazywamy odcinek, którego końce są różnymi punktami leżącymi na tym okręgu.
Bez dowodu przyjmiemy oczywiste twierdzenie.
Niech dany będzie okrąg o środku i promieniu i cięciwa tego okręgu o długości . Wówczas , a równość zachodzi tylko wówczas, gdy cięciwa przechodzi przez środek okręgu.
Oznacza to, że chociaż cięciwy danego okręgu mogą mieć różne długości, to nie mogą być dłuższe od podwojonego promienia tego okręgu. To ograniczenie długości cięciwy uzasadnia podanie definicji kolejnego obiektu związanego z okręgiem.
Średnicą okręgu o środku i promieniu nazywamy każdą jego cięciwę, która przechodzi przez punkt . Bezpośrednio z przyjętych definicji i twierdzenia o cięciwie wynika poniższy wniosek.
Długość średnicy okręgu o promieniu jest równa .
Końce każdej cięciwy, a ogólniej dwa różne punkty, dzielą okrąg na dwie części, co prowadzi do przyjęcia poniższej definicji.
Łukiem okręgu nazywamy każdą z dwóch części, na które dzielą okrąg dwa różne punkty leżące na tym okręgu, wraz z tymi punktami.
Zauważmy, że dwa dane punkty na okręgu wyznaczają dwa łuki, które na rysunku oznaczono różnym kolorem. W praktyce stosowanie kolorów może być utrudnione, dlatego wygodne jest wprowadzenie jeszcze jednego punktu, który leży na odpowiednim łuku. Popatrzmy na poniższy rysunek.
Wówczas można przyjąć następujące oznaczenia: odpowiednio dla łuku, na którym leży punkt (oznaczony różowym kolorem) oraz dla łuku, na którym leży punkt (oznaczony kolorem niebieskim). Łuk jest obiektem związanym zawsze z pewnym okręgiem, dlatego sformułowanie „łuk o promieniu ” oznaczać będzie część okręgu, którego promień jest równy .
Naszym zadaniem będzie teraz podzielenie danego łuku o końcach i na połowy. Okazuje się, że konstrukcja jest analogiczna, jak konstrukcja symetralnej odcinka:
z punktów i kreślimy łuki o tym samym promieniu, dłuższym od połowy cięciwy , aż do ich przecięcia po obu stronach danego łuku – otrzymujemy punkty i ,
przez punkty i prowadzimy prostą – punkt wspólny prostej i danego łuku dzieli go na połowy.
Dowód poprawności tej konstrukcji odłożymy na później i zrealizujmy przy okazji omawiania kąta środkowego w kole.
Niech dane będą punkty i i odcinek o długości . Zajmiemy się konstrukcją łuku łączącego dane punkty, którego promień jest równy danemu odcinkowi , dłuższemu niż połowa odcinka (cięciwy) . Opis konstrukcji:
z punktów i kreślimy łuki o promieniu , aż do ich przecięcia po obu stronach danego łuku – otrzymujemy punkty i
z punktów odpowiednio i kreślimy łuki o promieniu – otrzymujemy dwa łuki o zadanych własnościach.
Półokręgiem nazywamy każdy z dwóch łuków wyznaczonych przez końce średnicy danego okręgu.
Zauważmy, że cięciwa, która nie jest średnicą, dzieli dany okrąg na różne figury; w przypadku średnicy oba łuki (półokręgi) są figurami przystającymi.
Dany okrąg można podzielić na kilka łuków, w szczególności te łuki nie muszą być figurami rozłącznymi, jak na poniższym rysunku. W szczególności łuki i mają część wspólną, którą jest mniejszy z łuków, których końcami są punkty i .
Koło
Kołem nazywamy część płaszczyzny ograniczoną okręgiem, wraz z tym okręgiem.
Definicja podana wyżej, która najczęściej pojawia się w szkolnych podręcznikach, ma wadę związaną z pojęciem ograniczoności figury geometrycznej, które to pojęcie najczęściej definiuje się poprzez odwołanie do istnienia koła, w której dana figura się zawiera. Aby tę niezręczność wyeliminować wygodniej jest przyjąć następującą definicję.
Kołem o środku i promieniu nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu jest nie większa niż .
Pozostaje wspomnieć, że środkiem, promieniem i średnicą koła nazywamy odpowiednio środek, promień i średnicę okręgu, o którym mowa w powyższej definicji.
Dla danego okręgu niekiedy definiuje się pojęcie punktu wewnętrznego i jego punktu zewnętrznego.
Niech dany będzie okrąg o środku i promieniu . O punktach płaszczyzny, których odległość od punktu jest mniejsza niż powiemy, że leżą wewnątrz okręgu lub krótko, że są to punkty wewnętrzne okręgu. O punktach płaszczyzny, których odległość od punktu jest większa niż powiemy, że leżą na zewnątrz okręgu lub krótko, że są punktami zewnętrznymi okręgu.
Przyjęcie definicji punktów wewnętrznych i zewnętrznych danego okręgu pozwala wprowadzić pojęcie koła, jako zbioru złożonego z punktów okręgu i wszystkich punktów wewnętrznych danego okręgu.
Zauważmy, że koło jest figurą wypukłą, w szczególności każdy punkt odcinka łączącego dwa dowolne punkty należące do tego koła, leży na tym kole. Z kolei okrąg jest figurą wklęsłą. Warto wspomnieć, że rozwiązaniem klasycznego problemu izoperymetrycznego, związanego ze znalezieniem figury, która przy danym obwodzie ma największe pole, jest właśnie koło.
Słownik
aksjomaty Euklidesa to zestaw pięciu pewników (zdań uznawanych za prawdziwe), na których Autor oparł konstrukcję teorii zwanej dzisiaj geometrią euklidesową