Przeczytaj
Twierdzenia najczęściej zapisywane są w postaci implikacji. Implikacja nie jest równoważna implikacji . Stąd wynika, że nie należy mylić tezy i założenia, ponieważ udowodnienie prawdziwości implikacji nie oznacza udowodnienia naszego wyjściowego twierdzenia . Innymi słowy udowodnienie twierdzenia odwrotnego nie oznacza udowodnienia twierdzenia wyjściowego.
Istnieje jednak prawoprawo, które umożliwia nam przeprowadzenie dowodu w trochę inny sposób niż skorzystanie na początku z założenia i – drogą kolejnych kroków – dotarcie do tezy. Czasami zdarza się tak, że nie umiemy zacząć przekształcać założenia, czyli zacząć naszego rozumowania, które powinno doprowadzić nas do tezy.
Wtedy możemy skorzystać z prawa kontrapozycji:
Jak należy je rozumieć? Otóż implikacja
jest równoważna implikacji
Oznacza to, że jeżeli udowodnimy twierdzenie zapisane w formie kontrapozycji , to udowodnimy twierdzenie zapisane w postaci implikacji .
Sprawdzimy prawdziwość prawa kontrapozycji. Przeanalizujemy tabelę wartości logicznych, zwracając uwagę na zawartość wyróżnionych kolumn:
Wartość logiczna zdania | Wartość logiczna zdania | Wartość logiczna implikacji | Wartość logiczna zdania | Wartość logiczna zdania | Wartość logiczna implikacji |
---|---|---|---|---|---|
Rozważmy twierdzenie (nie próbujemy go udowodnić):
Jeśli dla naturalnego jest liczbą wymierną, to dla pewnej liczby całkowitej .
Wyodrębnijmy załażenie i tezę, a następnie zbudujmy zaprzeczenie założenia, zaprzeczenie tezy, zapiszmy twierdzenie odwrotnetwierdzenie odwrotne do danego i twierdzenie w formie kontrapozycji.
Rozwiązanie:
Twierdzenie to możemy przeczytać następująco:
Jeśli dla naturalnego jest liczbą wymierną, to jest kwadratem pewnej liczby całkowitej .
Założenie: Pierwiastek z liczby naturalnej jest liczbą wymierną.
Zaprzeczenie założenia: Pierwiastek z liczby naturalnej nie jest liczbą wymierną – lub inne brzmienie: Pierwiastek z liczby naturalnej jest liczbą niewymierną.
Teza: Liczba jest kwadratem pewnej liczby całkowitej .
Zaprzeczenie tezy: Liczba nie jest jest kwadratem żadnej liczby całkowitej – lub inne brzmienie: Nie istnieje taka liczba całkowita , że jest jej kwadratem.
Twierdzenie odwrotne:
Jeżeli jest kwadratem pewnej liczby całkowitej , to jest liczbą wymierną.
Twierdzenie w postaci kontrapozycjiTwierdzenie w postaci kontrapozycji:
Jeżeli liczba nie jest jest kwadratem żadnej liczby całkowitej , to jest liczbą niewymierną.
Uwaga: W przypadku zapisywania twierdzenia w formie kontrapozycji trzeba bardzo uważnie budować negacje założenia i tezy – nie zawsze jest to łatwe.
W powyższym przykładzie zostały użyte zwroty „żadnej”, „nie istnieje”. Są one związane z pojęciem kwantyfikatora.
Kwantyfikatory znacznie ułatwiają i skracają zapisywanie form zdaniowych. Po użyciu kwantyfikatora i określeniu zbioru jego działania, forma zdaniowa staje się zdaniem prawdziwym lub fałszywym. Wiele twierdzeń można zapisać z użyciem kwantyfikatorów.
Kwantyfikatorami nazywamy zwroty: dla każdego i istnieje takie.
Istnieją dwa rodzaje kwantyfikatorów: kwantyfikator ogólny i kwantyfikator szczegółowy.
Kwantyfikator ogólny oznaczamy symbolem i czytamy: dla każdego .
Kwantyfikator szczegółowy oznaczamy symbolem i czytamy: istnieje takie .
W niektórych starszych polskich książkach kwantyfikator ogólny jest oznaczany przez („dla każdego ...”), a kwantyfikator szczegółowy przez („istnieje takie , że ...”). Oznaczenia kwantyfikatorów i są międzynarodowe i pochodzą z języka angielskiego: od All (wszystkie), od Exists (istnieje). Takie właśnie oznaczenia są współcześnie używane.
Rozważmy zapis z użyciem kwantyfikatora ogólnego: i zapis z użyciem kwantyfikatora szczegółowego: . Jak przeczytamy te zdania? Jaka jest ich wartość logiczna?
Rozwiązanie:
Zdanie czytamy: Dla każdej liczby rzeczywistej wyrażenie jest nieujemne. Jest to zdanie prawdziwe – wyraża ono jeden z najbardziej znanych faktów matematycznych.
Zapis z użyciem kwantyfikatora szczegółowego: czytamy: Istnieje taka liczba rzeczywista , że wyrażenie ma wartość . Jest to zdanie prawdziwe – dla zachodzi właśnie taka równość.
Nie wszystkie zdania zapisane przy pomocy kwantyfikatorów są prawdziwe.
Jaką wartość logiczną mają zdania: i ?
Rozwiązanie:
Zdania i są zdaniami fałszywymi. Aby stwierdzić, że zdanie z kwantyfikatorem ogólnym jest fałszywe, wystarczy podać kontrprzykład, czyli przykład takiej liczby rzeczywistej , dla której dana zależność nie zachodzi. W naszym przykładzie takim kontrprzykładem jest . Natomiast w przykładzie z kwantyfikatorem szczegółowym sytuacja jest bardziej skomplikowana. Aby pokazać, że nie istnieje liczba, która spełnia dany warunek, należałoby pokazać, że żadna liczba z rozważanego zbioru nie spełnia danego warunku.
I tutaj dochodzimy do budowania negacji zdań z kwantyfikatorami. Umiejętność budowania negacji zdań logicznych jest bardzo ważna głównie przy podawaniu kontrprzykładówkontrprzykładów.
Jak Ci się wydaje, co to znaczy zanegować zdanie z kwantyfikatorem ogólnym? A z kwantyfikatorem szczegółowym?
Rozważmy zdanie: Moduł każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Jak zapiszemy to zdanie przy pomocy kwantyfikatora? Zbudujmy zaprzeczenie tego zdania.
Rozwiązanie:
Przy pomocy kwantyfikatora zadanie to zapiszemy w sposób następujący: .
Zaprzeczenie (negacja) zdania: Istnieje taka liczba rzeczywista, której moduł jest ujemny. Przy pomocy kwantyfikatora zapiszemy: .
Takich przykładów można zbudować wiele i zawsze zauważymy, że w zaprzeczeniu zdania z kwantyfikatorem ogólnym występuje kwantyfikator szczegółowykwantyfikator szczegółowy i zaprzeczenie formuły zdaniowej występującej w zapisanym zdaniu.
Rozważmy zdanie: Istnieje taka liczba rzeczywista, której moduł jest liczbą ujemną. Jak zapiszemy to zdanie przy pomocy kwantyfikatora? Zbudujmy zaprzeczenie tego zdania.
Rozwiązanie:
Przy pomocy kwantyfikatora zapiszemy: .
Zaprzeczenie (negacja) zdania: Nie istnieje taka liczba rzeczywista, której moduł jest liczbą ujemną. Inaczej: Moduł każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny.
Przy pomocy kwantyfikatora zapiszemy: .
Zauważmy, że w zaprzeczeniu zdania z kwantyfikatorem szczegółowym występuje kwantyfikator ogólnykwantyfikator ogólny i zaprzeczenie formuły zdaniowej występującej w zapisanym zdaniu.
Należy podkreślić, że w wielu twierdzeniach nie pojawia się znak kwantyfikatora w zapisie, ale brzmienie twierdzenia (wykaż, że dla dowolnej liczby ...
, znajdź taką liczbę, że ...
) zawiera samą „ideę” kwantyfikatora ogólnego lub szczegółowego. Dlatego też warto znać zasady pracy z kwantyfikatorami, aby bezbłędnie stosować je tam, gdzie kwantyfikator jest „ukryty”.
Zastosujmy nabytą podczas tej lekcji wiedzę do pracy z twierdzeniami.
Rozważmy zadanie:
Wykaż, że jeśli , to .
Wyodrębnijmy założenie i tezę w tym twierdzeniu, zapiszmy twierdzenie do niego odwrotne, zapiszmy twierdzenie w formie kontrapozycji oraz zapiszmy je z użyciem kwantyfikatorów.
Rozwiązanie:
Założenie: ( jest liczbą dodatnią)
Teza:
Twierdzenie odwrotneTwierdzenie odwrotne:
Jeśli to
Twierdzenie w formie kontrapozycji:
Jeśli to (Uważamy na nierówności ostre i nieostre przy negacjach!)
Twierdzenie zapisane przy użyciu kwantyfikatorów:
Słownik
równoważność implikacji prostej i przeciwstawnej, czyli
twierdzenie, w którym założenie zamieniono z tezą wyjściowego twierdzenia
dla danego twierdzenia to zdanie orzekające wynikanie zaprzeczenia założenia z zaprzeczenia tezy
kwantyfikator oznaczający, że dane twierdzenie (funkcja zdaniowa) jest prawdziwe dla dowolnej wartości zmiennej
kwantyfikator oznaczający, że istnieje taka wartość zmiennej, dla której dane twierdzenie (funkcja zdaniowa) jest prawdziwe
przykład sytuacji spełniającej założenia, a nie spełniającej tezy jakiegoś twierdzenia; podanie kontrprzykładu obala to twierdzenie