Przeczytaj

Przekształcanie wykresu funkcji jest ściśle powiązane nie tylko ze zmianą położenia wykresu tej funkcji, ale także zmianą jej własności.

W materiale omówimy przesunięcie wykresu funkcji logarytmicznej określonej wzorem $f (x) = \log_{a} x$ , gdzie $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ oraz $x > 0$ wzdłuż osi $X$ układu współrzędnych.

przesunięcie wykresu funkcji logarytmicznej wzdłuż osi

X

Definicja: przesunięcie wykresu funkcji logarytmicznej wzdłuż osi

X

Wykres funkcji określonej wzorem $g (x) = \log_{a} (x - p)$ otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji $f (x) = \log_{a} x$ o $p$ jednostek w prawo ( $p > 0$ ) lub o $p$ jednostek w lewo ( $p < 0$ ).

Naszkicujemy w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji określonych wzorami $f (x) = \log_{\frac{1}{4}} x$ oraz $g (x) = \log_{\frac{1}{4}} (x - 2)$ . W tym celu w tabelach przedstawimy wartości tych funkcji dla kilku argumentów.

$x$	$\frac{1}{4}$	$1$	$4$	$16$
$f (x)$	$1$	$0$	$- 1$	$- 2$

$x$	$\frac{9}{4}$	$3$	$6$	$18$
$g (x)$	$1$	$0$	$- 1$	$- 2$

Wykresy tych funkcji przedstawiają się następująco:

RksuhYDev1bhb

Ilustracja układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do osiemnastu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono dwa wykresy funkcji f oraz g. Wykres funkcji f jest krzywą, która w zerze rośnie do plus nieskończoności, dalej przechodzi przez punkt 1,0 i dalej wolno maleje. Wykres funkcji g jest podobną krzywą, jest jednak przesunięta o dwie jednostki w prawo i przecina oś poziomą w punkcie 3,0.

Analizując położenie wykresów oraz wzory tych funkcji możemy zauważyć, że:

wykres funkcji $g$ możemy otrzymać przez przesunięcie wykresu funkcji $f$ o $2$ jednostki w prawo,
dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $x \in (0, \infty)$ , a dziedziną funkcji $g$ jest zbiór $x \in (3, \infty)$ ,
miejscem zerowym funkcji $f$ jest $1$ , a miejscem zerowym funkcji $g$ jest $3$ ,
asymptotą wykresu funkcji $f$ jest prosta $x = 0$ , a asymptotą wykresu funkcji $g$ jest prosta $x = 2$ .
funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne tylko dla argumentów większych od $1$ , a funkcja $g$ przyjmuje wartości ujemne tylko dla argumentów większych od $3$ ,
funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie tylko dla argumentów $x \in (0, 1)$ , a funkcja $g$ przyjmuje wartości ujemne tylko dla argumentów $x \in (2, 3)$ .

Miejsce zerowe funkcji

f (x) = \log_{a} (x - p)

Twierdzenie: Miejsce zerowe funkcji

f (x) = \log_{a} (x - p)

Miejscem zerowym funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{a} (x - p)$ jest liczba $x = p + 1$ .

Dowód:

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb spełniających nierówność
$x - p > 0$ , więc $x > p$ .

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ .

W celu wyznaczenia miejsca zerowego rozwiązujemy równanie:

$0 = \log_{a} (x - p)$

Zatem $x - p = a^{0}$ , czyli $x = p + 1$ .

Funkcja przed i po przekształceniu jej wykresu w przesunięciu wzdłuż osi odciętych ma ten sam zbiór wartości oraz nie zmienia się jej monotoniczność.

asymptota wykresu funkcji określonej wzorem

f (x) = \log_{a} (x - p)

Własność: asymptota wykresu funkcji określonej wzorem

f (x) = \log_{a} (x - p)

Asymptotą wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{a} (x - p)$ jest prosta o równaniu $x = p$ .

Mając dany wzór funkcji logarytmicznejfunkcja logarytmicznafunkcji logarytmicznej oraz przesunięcie wzdłuż osi $X$ przesunięcie wzdłuż osi $X$ układu współrzędnych, możemy wyznaczyć wzór tej funkcji po przekształceniu jej wykresu.

Przykład 1

Wyznaczymy wzory funkcji po przesunięciu ich wykresów wzdłuż osi $X$ :

funkcja określona wzorem $f (x) = \log_{\sqrt{2}} x$ po przesunięciu jej wykresu o $3$ jednostki w lewo wyraża się wzorem $f (x) = \log_{\sqrt{2}} (x + 3)$ ,
funkcja określona wzorem $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ po przesunięciu jej wykresu o $4$ jednostki w prawo wyraża się wzorem $g (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x - 4)$ .

Przesunięcie poziome wzdłuż osi odciętych wykresu funkcji logarytmicznej powoduje zmianę położenia asymptoty jej wykresu, co ma wpływ na zmianę różnych własności tej funkcji.

Przykład 2

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{3} (x + 2)$ .

RD9py6wPas8dD

Ilustracja układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji logarytmicznej f przesuniętej o dwie jednostki w lewo. Wykres ten przecina oś poziomą w punkcie o współrzędnych -1,0.

Odczytamy z wykresu:

a) dziedzinę tej funkcji,

b) równanie asymptoty wykresu tej funkcji,

c) miejsce zerowe tej funkcji,

Rozwiązania:

a) Dziedziną tej funkcji jest zbiór $x \in (- 2, \infty)$ .

b) Asymptotą wykresu funkcji jest prosta o równaniu $x = - 2$ .

c) Z wykresu możemy odczytać, że miejscem zerowym tej funkcji jest liczba $(- 1)$ .

Bez rysowania wykresu funkcji logarytmicznej, tylko na podstawie podanego wzoru tej funkcji, możemy określić różne jej własności.

Przykład 3

Określmy funkcję $f$ wzorem $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x - 1)$ . Wyznaczymy:

a) równanie asymptoty wykresu tej funkcji,

b) argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne,

c) wartość funkcji dla argumentu $9$ .

Rozwiązania:

a) Asymptotą wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu $x = 1$ , ponieważ wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x - 1)$ otrzymujemy przez przesunięcie wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ o $1$ jednostkę w prawo.

b) Wyznaczymy najpierw miejsce zerowe tej funkcji. W tym celu rozwiążemy równanie:

$0 = \log_{\frac{1}{2}} (x - 1)$ , zatem ${(\frac{1}{2})}^{0} = x - 1$ , czyli $x = 2$ .

Dziedziną tej funkcji jest zbiór $x \in (1, \infty)$ .

Każda funkcja określona wzorem $f (x) = \log_{a} x$ , gdy $a \in (0, 1)$ jest malejąca, zatem funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne dla argumentów większych od $2$ .

c) $f (9) = \log_{\frac{1}{2}} (9 - 1) = \log_{\frac{1}{2}} 8 = - 3$

Przykład 4

Do wykresu funkcji logarytmicznej określonej wzorem $f (x) = \log_{\frac{1}{3}} (x + p)$ należy punkt o współrzędnych $(8, - 2)$ . Wyznaczymy wzór tej funkcji, miejsce zerowe oraz argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

W celu wyznaczenia wartości parametru rozwiązujemy równanie:

$- 2 = \log_{\frac{1}{3}} (8 + p)$ , zatem $p = 1$ .

Wzór funkcji zapiszemy zatem w postaci:

$f (x) = \log_{\frac{1}{3}} (x + 1)$ .

Dla wyznaczenia miejsca zerowego rozwiązujemy równanie:

$0 = \log_{\frac{1}{3}} (x + 1)$ .

Zatem miejscem zerowym tej funkcji jest liczba $0$ .

Funkcja jest malejąca, a jej dziedziną jest zbiór $x \in (- 1, \infty)$ , miejscem zerowym $0$ , zatem funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału $(- 1, 0)$ .

Słownik

funkcja logarytmiczna

funkcja określona wzorem $f (x) = \log_{a} x$ , gdzie $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ oraz $x > 0$

przekształcenie wykresu funkcji f(x - p)

przesunięcie wykresu funkcji $f (x)$ o $p$ jednostek w prawo ( $p > 0$ ) lub o $p$ jednostek w lewo ( $p < 0$ )

Wprowadzenie

Aplet

Słownik