Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej jest asymptota pozioma. Jeżeli współczynnik kierunkowy a asymptoty ukośnej wynosi zero, to asymptotę ukośną y=b nazywamy wówczas asymptotą poziomą.

Asymptota pozioma lewostronna wykresu funkcji
Definicja: Asymptota pozioma lewostronna wykresu funkcji

Niech funkcja f będzie określona w przedziale -,c, gdzie c. Prosta y=b jest asymptotą poziomą lewostronną wykresu funkcji y=fx, jeżeli:

limx-fx-b=0.
R1cqoGUBKqCVr

Z definicji asymptoty poziomej lewostronnej wynika, że wykres funkcji dla argumentów zmierzających do -, coraz bardziej zbliża się do asymptoty.

Korzystając z definicji asymptoty ukośnej lewostronnej wykresu funkcji możemy zapisać:

limx-fx-ax+b=0.

W naszym przypadku a=0, zatem:

limx-fx-0·x+b=limx-fx-b=0.

Ponieważ limx-b=b, to korzystając z twierdzenia o granicy różnicy dwóch granic (z których każda ma granicę właściwą) otrzymujemy:

limx-fx-b=limx-fx-limx-b=limx-fx-b=0.

Mamy zatem: 

limx-fx=b.

Prosta y=b jest asymptotą lewostronną poziomą funkcji fx wtedy i tylko wtedy, gdy b=limx-fx i granica ta jest właściwa.

Asymptota pozioma prawostronna wykresu funkcji
Definicja: Asymptota pozioma prawostronna wykresu funkcji

Niech funkcja f będzie określona w przedziale c,+, gdzie c. Prosta y=b jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji y=fx, jeżeli:

limx+fx-b=0.
RXZsFKlPAfKYE

Z definicji asymptoty poziomej prawostronnej wynika, że wykres funkcji dla argumentów zmierzających do +, coraz bardziej zbliża się do asymptoty.

Ponieważ limx+fx-b=0, a limx+b=b, to korzystając z twierdzenia o granicy różnicy dwóch granic (z których każda ma granicę właściwą) otrzymujemy:

limx+fx-b=limx+fx-limx+b=limx+fx-b=0.

Mamy zatem:

limx+fx=b.

Prosta y=b jest asymptotą prawostronną poziomą funkcji fx wtedy i tylko wtedy, gdy b=limx+fx i granica ta jest właściwa.

Jeżeli prosta y=b jest jednocześnie asymptotą poziomą prawostronną i lewostronną, to nazywamy ją asymptotą poziomą obustronną wykresu funkcji fx.

RIq4YioR69fn2

Które z podstawowych funkcji mają asymptoty poziome?

Przykład 1

Rozważmy hiperbolę będącą wykresem funkcji fx=1x.

RSVFC8RycOdyM

Prosta y=0 jest asymptotą poziomą obustronną wykresu funkcji f.

Równanie asymptoty odczytaliśmy z rysunku. Skorzystajmy jeszcze z definicji asymptoty poziomej i obliczmy granice: limx1x=0 oraz limx-1x=0.

Przykład 2

Rozważmy funkcję wykładniczą fx=2x.

RBanA3NnOWnA8

Z rysunku widzimy, że prosta y=0 jest asymptotą poziomą lewostronną wykresu funkcji f, ale nie jest asymptotą prawostronną.

Przyjrzyjmy się teraz wykresowi funkcji gx=12x.

RjmNBZAFzKtwH

Tym razem prosta y=0 jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji g, ale nie jest asymptotą lewostronną.

Przykład 3

Wyznaczymy równania asymptot poziomych wykresu funkcji y=3x2x2-4.

Rozwiązanie

Funkcja jest określona, gdy x2-40.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór Df=-2,2, ponieważ rozwiązaniem równania x2-4=0, są liczby -22.

Prosta y=b jest asymptotą poziomą lewostronną wtedy i tylko wtedy, gdy limx-fx=b i granica ta jest właściwa.

Obliczamy granicę:

limx-fx=limx-3x2x2-4=limx-3x2x2x2x2-4x2=31-0=3.

Równaniem asymptoty poziomej lewostronnej jest zatem y=3.

Analogicznie szukamy równania asymptoty poziomej prawostronnejasymptota pozioma prawostronnaasymptoty poziomej prawostronnej.

Obliczamy granicę:

limx-fx=limx-3x2x2-4=limx-3x2x2x2x2-4x2=31-0=3.

Równanie asymptoty poziomej prawostronnej ma zatem postać y=3.

Prosta o równaniu y=3 jest asymptotą poziomą obustronną.

Możemy ten przykład rozwiązać korzystając z poniższej własności.

asymptota pozioma wykresu funkcji
Własność: asymptota pozioma wykresu funkcji

Jeżeli funkcja y=fx daje się przedstawić w postaci y=b+gx, przy czym spełniony jest waruneklimx-gx=0, to prosta y=b jest asymptotą poziomą lewostronną funkcji y=fx.

Przekształćmy więc wzór: y=3x2x2-4=3x2-12+12x2-4=3x2-4+12x2-4=3+12x2-4.

Funkcję y=3x2x2-4 możemy zatem zapisać w postaci y=b+gx, czyli y=3+12x2-4.

Ponieważ gx=12x2-4limx+12x2-4=0, więc prosta y=3 jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji y=3x2x2-4.

Podobnie pokazujemy, że prosta y=3 jest asymptotą poziomą lewostronnąasymptota pozioma lewostronnaasymptotą poziomą lewostronną.

Prosta y=3 jest asymptotą poziomą obustronną wykresu funkcji y=3x2x2-4.

Przykład 4

Wyznaczymy równania asymptot wykresu funkcji y=2x-1x-1.

Rozwiązanie

Funkcja jest określona dla x1, zatem Df=-,11,+.

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej możemy zapisać:

y=2x-1x-1=2x-1x-1 dla x0-2x-1x-1 dla x<0.

Ponieważ funkcja jest nieokreślona dla x=1, obliczamy następujące granice:

limx1-2x-1x-1=limx1-2x-1x-1=2-10-=- oraz limx1+2x-1x-1=limx1+2x-1x-1=2-10+=+,

więc prosta x=1 jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji y=2x-1x-1.

Obliczając granice w nieskończoności, podamy równania asymptot poziomych.

limx-2x-1x-1=limx--2x-1x-1=limx--2xx-1xxx-1x=limx--2-1x1-1x=-21=-2.

Prosta y=-2 jest asymptotą poziomą lewostronną wykresu funkcji y=2x-1x-1.

limx+2x-1x-1=limx+2x-1x-1=limx+2xx-1xxx-1x=limx+2-1x1-1x=21=2.

Prosta y=2 jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji y=2x-1x-1.

Wykres funkcji y=2x-1x-1 ma następujące asymptoty:

pionową obustronną x=1, poziomą lewostronną y=-2 oraz poziomą prawostronną y=2.

Przykład 5

Zbadamy, dla jakiej wartości parametru p prosta y=-2 jest asymptotą poziomą obustronną wykresu funkcji:

fx=-4x3-2x2+1px3+x2.

Dla jakiej wartości parametru p wykres funkcji f nie ma asymptoty poziomej?

Rozwiązanie

Aby znaleźć równanie asymptoty poziomej prawostronnej funkcji f obliczymy granicę: limx-4x3-2x2+1px3+x2=limxx3-4+2x+1x3x3p+1x.

Zatem prosta y=-4p jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji f. Analogicznie można pokazać, że jest równeż granicą lewostronną.

Skoro prosta y=-2 ma być asymptotą obustronną wykresu funkcji f, to p=2.

Zauważmy jeszcze, że gdy p=0, to wykres funkcji f nie ma asymptot poziomych.

Słownik

asymptota pozioma lewostronna
asymptota pozioma lewostronna

prosta y=b jest asymptotą poziomą lewostronną wykresu funkcji y=fx, jeżeli granica różnicy wartości funkcji fx i funkcji liniowej y=b w minus nieskończoności jest równa zero

asymptota pozioma prawostronna
asymptota pozioma prawostronna

prosta y=b jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji y=fx, jeżeli granica różnicy wartości funkcji fx i funkcji liniowej y=b w plus nieskończoności jest równa zero