Przeczytaj
Szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej jest asymptota pozioma. Jeżeli współczynnik kierunkowy asymptoty ukośnej wynosi zero, to asymptotę ukośną nazywamy wówczas asymptotą poziomą.
Niech funkcja będzie określona w przedziale , gdzie . Prosta jest asymptotą poziomą lewostronną wykresu funkcji , jeżeli:
Z definicji asymptoty poziomej lewostronnej wynika, że wykres funkcji dla argumentów zmierzających do , coraz bardziej zbliża się do asymptoty.
Korzystając z definicji asymptoty ukośnej lewostronnej wykresu funkcji możemy zapisać:
W naszym przypadku , zatem:
Ponieważ , to korzystając z twierdzenia o granicy różnicy dwóch granic (z których każda ma granicę właściwą) otrzymujemy:
Mamy zatem:
Prosta jest asymptotą lewostronną poziomą funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy i granica ta jest właściwa.
Niech funkcja będzie określona w przedziale , gdzie . Prosta jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji , jeżeli:
Z definicji asymptoty poziomej prawostronnej wynika, że wykres funkcji dla argumentów zmierzających do , coraz bardziej zbliża się do asymptoty.
Ponieważ , a , to korzystając z twierdzenia o granicy różnicy dwóch granic (z których każda ma granicę właściwą) otrzymujemy:
Mamy zatem:
Prosta jest asymptotą prawostronną poziomą funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy i granica ta jest właściwa.
Jeżeli prosta jest jednocześnie asymptotą poziomą prawostronną i lewostronną, to nazywamy ją asymptotą poziomą obustronną wykresu funkcji .
Które z podstawowych funkcji mają asymptoty poziome?
Rozważmy hiperbolę będącą wykresem funkcji .
Prosta jest asymptotą poziomą obustronną wykresu funkcji .
Równanie asymptoty odczytaliśmy z rysunku. Skorzystajmy jeszcze z definicji asymptoty poziomej i obliczmy granice: oraz .
Rozważmy funkcję wykładniczą .
Z rysunku widzimy, że prosta jest asymptotą poziomą lewostronną wykresu funkcji , ale nie jest asymptotą prawostronną.
Przyjrzyjmy się teraz wykresowi funkcji .
Tym razem prosta jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji , ale nie jest asymptotą lewostronną.
Wyznaczymy równania asymptot poziomych wykresu funkcji .
Rozwiązanie
Funkcja jest określona, gdy .
Dziedziną tej funkcji jest zbiór , ponieważ rozwiązaniem równania , są liczby i .
Prosta jest asymptotą poziomą lewostronną wtedy i tylko wtedy, gdy i granica ta jest właściwa.
Obliczamy granicę:
.
Równaniem asymptoty poziomej lewostronnej jest zatem .
Analogicznie szukamy równania asymptoty poziomej prawostronnejasymptoty poziomej prawostronnej.
Obliczamy granicę:
.
Równanie asymptoty poziomej prawostronnej ma zatem postać .
Prosta o równaniu jest asymptotą poziomą obustronną.
Możemy ten przykład rozwiązać korzystając z poniższej własności.
Jeżeli funkcja daje się przedstawić w postaci , przy czym spełniony jest warunek, to prosta jest asymptotą poziomą lewostronną funkcji .
Przekształćmy więc wzór: .
Funkcję możemy zatem zapisać w postaci , czyli .
Ponieważ i , więc prosta jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji .
Podobnie pokazujemy, że prosta jest asymptotą poziomą lewostronnąasymptotą poziomą lewostronną.
Prosta jest asymptotą poziomą obustronną wykresu funkcji .
Wyznaczymy równania asymptot wykresu funkcji .
Rozwiązanie
Funkcja jest określona dla , zatem .
Korzystając z definicji wartości bezwzględnej możemy zapisać:
.
Ponieważ funkcja jest nieokreślona dla , obliczamy następujące granice:
oraz ,
więc prosta jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji .
Obliczając granice w nieskończoności, podamy równania asymptot poziomych.
.
Prosta jest asymptotą poziomą lewostronną wykresu funkcji .
.
Prosta jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji .
Wykres funkcji ma następujące asymptoty:
pionową obustronną , poziomą lewostronną oraz poziomą prawostronną .
Zbadamy, dla jakiej wartości parametru prosta jest asymptotą poziomą obustronną wykresu funkcji:
.
Dla jakiej wartości parametru wykres funkcji nie ma asymptoty poziomej?
Rozwiązanie
Aby znaleźć równanie asymptoty poziomej prawostronnej funkcji obliczymy granicę: .
Zatem prosta jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji . Analogicznie można pokazać, że jest równeż granicą lewostronną.
Skoro prosta ma być asymptotą obustronną wykresu funkcji , to .
Zauważmy jeszcze, że gdy , to wykres funkcji nie ma asymptot poziomych.
Słownik
prosta jest asymptotą poziomą lewostronną wykresu funkcji , jeżeli granica różnicy wartości funkcji i funkcji liniowej w minus nieskończoności jest równa zero
prosta jest asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji , jeżeli granica różnicy wartości funkcji i funkcji liniowej w plus nieskończoności jest równa zero