Wykażemy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$, $y$, $z$ spełniających warunek $x>y>z$ zachodzi $x>\frac{y+z}{2}$.

Założenie

$x>y>z$; $x, y, z\in \mathrm{ℝ}$

Teza

$x>\frac{y+z}{2}$

Dowód

Zauważmy, że teza jest równoważna nierówności $x-\frac{y+z}{2}>0$.

Rozważmy wyrażenie $x-\frac{y+z}{2}$.

$x-\frac{y+z}{2}=\frac{2x}{2}-\frac{y+z}{2}=\frac{2x-\left(y+z\right)}{2}=\frac{2x-y-z}{2}=\frac{x-y+x-z}{2}$

Z założenia wiemy, że $x>y$ i $x>z$, zatem $x-y>0$ i $x-z>0$.

Ponadto suma liczb dodatnich jest dodatnia, więc $x-y+x-z>0$.

Stąd $\frac{x-y+x-z}{2}>0$.

Na mocy przechodniości relacji równości mamy $x-\frac{y+z}{2}>0$, zatem teza została udowodniona.

Wiadomo, że liczby $p$ i $p^3+21$ są liczbami pierwszymi. Wykażemy, że istnieje dokładnie jedna liczba $p$ spełniająca ten warunek.

Założenie

$p$ i $p^3+21$ są liczbami pierwszymi.

Teza

Istnieje dokładnie jedna liczba $p$.

Dowód

Zauważmy, że jedyną liczbą pierwszą parzystą jest liczba $2$.

Rozważmy $p=2$.

Wtedy $p^3+21=2^3+21=8+21=29$, co jest liczbą pierwszą.

Rozważmy teraz $p$ większe od $2$.

Oznacza to, że $p$ jest liczbą nieparzystą.

Wówczas $p^3$ i $21$ są liczbami nieparzystymi, a zatem $p^3+21$ jest liczbą parzystą większą niż $2$, zatem nie jest liczbą pierwszą.

Jedyną liczbą $p$ spełniająca warunki zadania jest $p=2$.

Wykażemy, że dla dowolnych liczb naturalnych dodatnich $x$ i $y$ wyrażenie $xy-x-y+1$ przyjmuje wartość nieujemną.

Założenie

$x, y\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$

Teza

$xy-x-y+1\ge 0$

Dowód

Przekształcimy lewą stronę powyższej nierówności, korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania i odejmowania.

$xy-x-y+1=x\left(y-1\right)-\left(y-1\right)=\left(y-1\right)\left(x-1\right)$

Zauważmy, że ponieważ $x$ i $y$ są liczbami naturalnymi dodatnimi, więc są nie mniejsze, niż $1$, czyli $x\ge 1$ i $y\ge 1$.

Zatem liczby $x-1$ i $y-1$ są nieujemne.

Ponadto iloczyn liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną, więc
$\left(y-1\right)\left(x-1\right)\ge 0$.

Ponieważ relacja równości jest przechodnia, więc teza została udowodniona.

Udowodnimy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ wyrażenie $x^2-2x+1$ przyjmuje wartości nieujemne.

Założenie

$x\in \mathrm{ℝ}$

Teza

$x^2-2x+1\ge 0$

Dowód

Rozważmy lewą stronę nierówności.

$x^2-2x+1=x^2-x-x+1=x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)=$
$=\left(x-1\right)\left(x-1\right)={\left(x-1\right)}^2$

Przypomnijmy, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Stąd ${\left(x-1\right)}^2\ge 0$.

Ponieważ relacja równości jest przechodnia, więc teza została udowodniona.

Medianą ułamków $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$ nazywamy ułamek $\frac{a+c}{b+d}$. Wykaż, że wartość mediany dwóch różnych ułamków dodatnich jest większa niż mniejszy z nich oraz mniejsza od większego z nich.

Założenie

$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$; $a$, $b$, $c$, $d$ są liczbami naturalnymi dodatnimi.

Teza

$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}$

Dowód

Korzystając z twierdzeniatwierdzenietwierdzenia o własności relacji mniejszości, przekształcimy założenie.

Zauważmy, że nierówność $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ jest równoważna z nierównością $\frac{a}{b}-\frac{c}{d}<0$, którą z kolei można przekształcić, sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika $\frac{ad}{bd}-\frac{cb}{db}<0$.

Zatem założenie przekształca się do postaci $\frac{ad-cb}{bd}<0$.

Ponieważ z założenia liczba $bd$ jest dodatnia, więc liczba $ad-bc$ jest ujemna.

Rozważmy najpierw nierówność $\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}$.

Z własności relacji mniejszości jest ona równoważna nierówności $\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+d}<0$.

Zbadajmy zatem wyrażenie $\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+d}$.

$\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+d}=\frac{a\left(b+d\right)}{b\left(b+d\right)}-\frac{\left(a+c\right)b}{\left(b+d\right)b}=\frac{ab+ad-ab-bc}{b\left(b+d\right)}=\frac{ad-bc}{b\left(b+d\right)}$

Wiemy już, że licznik powyższego ułamka jest liczbą ujemną.

Ponadto łatwo zauważyć, że mianownik jest liczbą dodatnią.

Ponieważ iloraz liczby ujemnej przez dodatnią jest ujemny, więc $\frac{ad-bc}{b\left(b+d\right)}<0$.

Z przechodniości relacji równości mamy $\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+d}<0$, czyli $\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}$. Drugą część dowodu pozostawiamy jako ćwiczenie.

Udowodnimydowód twierdzeniaUdowodnimy, że relacja podzielności w zbiorze:

a) liczb całkowitych bez zera jest zwrotna,

b) liczb całkowitych jest przechodnia,

c) liczb naturalnych dodatnich jest antysymetryczna.

Dowody

a) Relacja podzielności jest zwrotna na zbiorze liczb całkowitych różnych od zera, ponieważ dla każdej liczby całkowitej $k$ różnej od zera zachodzi $k=k·1$, co oznacza, że $k|k$.

b) Załóżmy teraz, że dla liczb całkowitych $k$, $m$, $n$ zachodzi: $k|m$ i $m|n$.
Oznacza to, że istnieją takie liczby całkowite $x$, $y$, dla których $m=kx$ oraz $n=my$.
Wynika stąd, że $n=kxy$.
Ponieważ iloczyn liczb całkowitych jest liczbą całkowitą, więc $k|n$.
Zatem relacja podzielności jest przechodnia.

c) Niech teraz $k|m$ i $m|k$ zachodzi dla pewnych liczb naturalnych dodatnich $k$, $m$.
Z pierwszego warunku wynika, że istnieje liczba naturalna $x$, dla której $m=kx$, zaś z drugiego wynika, że istnieje liczba naturalna $y$, dla której $k=my$.
Stąd $m=myx$, zatem $1=yx$.
Ponieważ $x$ i $y$ są liczbami naturalnymi, więc $x=1$ i $y=1$, czyli $k=m$.
Zatem rozważana relacja jest antysymetryczna na zbiorze liczb naturalnych dodatnich.

rozumowanie, które ma celu uzasadnić prawdziwość jakiegoś twierdzenia; dowód prowadzi od założeń do tezy wykorzystując przy tym inne fakty

zdanie, które opisuje fakt, zależność lub równość, które potrafimy udowodnić, korzystając ze znanych, wcześniej uzasadnionych lub przyjętych za pewnik (aksjomatów) prawd;
twierdzenie najczęściej ma postać zdania:
Jeżeli $p$, to $q$; pierwsza część ($p$) takiego zdania to założenie, które opisuje warunki, przy których spełnione jest twierdzenie; druga część ($q$) to teza zawierająca własność, która zachodzi, gdy spełnione są warunki opisane w założeniu