Przeczytaj
Warto przeczytać
Kilka słów o pomiarach powtarzalnych
Na początek krótkie wyjaśnienie: W tym materiale zajmujemy się tzw. pomiarami powtarzalnymipomiarami powtarzalnymi, które stanowią ważną klasę pomiarów fizycznych, a których nie należy mylić z pomiarami powtarzanymi. O tej drugiej klasie pomiarów można przeczytać w materiale pt. W jakim celu niektóre pomiary powtarza się wielokrotnie i jaki jest ich wynik?
Kryteria powtarzalności obejmują:
tę samą procedurę pomiarową,
tego samego obserwatora,
ten sam przyrząd pomiarowy stosowany w tych samych warunkach,
to samo miejsce pomiarów,
powtarzanie kolejnych pomiarów w krótkich odstępach czasu.
W odniesieniu do pomiarów powtarzalnych ogólna zasada brzmi: Jeśli wykonujesz jakiś pomiar i masz możliwość, by ten pomiar powtórzyć, to zawsze warto to zrobić! Dlaczego warto? Ponieważ wynik pomiaru będący średnią z serii wielu niezależnych pomiarów jest najlepszym możliwym przybliżeniem rzeczywistej wartości mierzonej wielkości fizycznej (historia opisana w części „Czy to nie ciekawe” jest tego doskonałym przykładem). Co więcej, niepewność pomiarowa uzyskanej w ten sposób wartości szybko maleje z liczbą wykonanych pomiarów cząstkowych.
Powtórzmy to jeszcze raz:
Jeśli jest to możliwe, zawsze dobrze jest powtórzyć pomiar.
Warto pamiętać o tej regule, ponieważ wielokrotne powtórzenie tego samego pomiaru w zbliżonych warunkach nie tylko pozwala uniknąć tzw. błędów grubych pomiarowych, czyli zwyczajnych pomyłek, ale też pozwala uzyskać ważne informacje o mierzonej wielkości i użytej metodzie pomiarowej.
Aby uświadomić sobie znaczenie tej reguły, zastanów się:
Jak mogłaby wyglądać seria pomiarów, które zostały powtórzone wiele razy?
Jak mogłaby wyglądać seria pomiarów, powtórzonych wiele razy?
Po pierwsze mogłoby się zdarzyć, że wszystkie wykonane pomiary są takie same.
Na przykład, podczas mierzenia długości biurka nauczyciela wszyscy uczniowie uzyskali ten sam wynik - 1,50 m. Gdyby tak się stało, oznaczałoby to, że dokładność użytego przyrządu pomiarowego, np. taśmy mierniczej o rozdzielczości 1 cm, jest mała. Ściślej mówiąc: wpływ na wyniki pomiarów czynników (na ogół przypadkowych) innych, niż dokładność przyrządu, jest pomijalna.
A już zupełnie ściśle i naukowo: błąd przypadkowy (związany z tymi czynnikami losowymi, których często nie potrafimy nawet wymienić) w takim pomiarze jest mniejszy niż błąd systematyczny (związany z dokładnością użytego przyrządu).
Mogłaby się też zdarzyć zupełnie inna sytuacja, że wszystkie pomiary są różne.
Z taką sytuacją mielibyśmy zapewne do czynienia wtedy, gdyby uczniowie, zamiast wspomnianej taśmy mierniczej, użyli laserowego dalmierza o dokładności równej 0,1 mm.
W pierwszym z opisanych przypadków (pomiar długości biurka przy użyciu taśmy mierniczej) niepewność pomiarowa jest bezpośrednio związana z dokładnością (rozdzielczością) użytego przyrządu i wynosi: , gdzie . (zob. materiały pt. Co to jest rozdzielczość przyrządów pomiarowych? i Jak w praktyce prowadzić pomiar i szacować niepewności pomiarowe?)
W drugim przypadku, oprócz niepewności wynikającej z użytego przyrządu pomiarowego, równej , gdzie , należy jeszcze rozważyć niepewność związaną z różnymi czynnikami losowymi (np. nierówna krawędź biurka), którą szacuje się wg reguł opisanych w dalszej części tego materiału.
W wielu przypadkach, szczególnie wtedy, gdy przyrząd pomiarowy ma dużą dokładność, to drugie źródło niepewności (czynniki losowe) jest dominujące. Dzięki temu, wpływ niepewności związanej z przyrządem można pominąć. Takimi właśnie przypadkami zajmujemy się w tym materiale. Czytelników zainteresowanych tematem zachęcamy jednak do zapoznania się z materiałem pt. Niepewność całkowita, w którym pokazujemy, w jaki sposób postępuje się, gdy żadnego ze źródeł niepewności nie można pominąć.
Niezależnie od metody pomiarowej, aby wynik pomiaru (np. długości biurka ) mógł być uznany za rzetelny, musi być podany razem z niepewnością pomiarową .
Wynik serii pomiarów powtarzalnych i jego niepewność
Wyobraź sobie, że dysponujesz serią pomiarów pewnej wielkości fizycznej. Cząstkowe pomiary tej serii to: .
Za wynik serii pomiarów powtarzalnych przyjmuje się średnią arytmetyczną:
Zauważ, że w taki właśnie sposób postąpił Galton analizując wyniki konkursu „Zgadnij: Ile waży wół?”. Historię tę opisaliśmy w części „Czy to nie ciekawe?” tego materiału. Dzisiaj historia ta jest jednym z najbardziej znanych przykładów tzw. mądrości tłumumądrości tłumu (Rys. 1.). Użyte tu słowo „tłum” wcale nie jest przypadkowe. Okazuje się bowiem, że owa „mądrość” zależy od tego, jak liczny jest tłum. W przypadku danych analizowanych przez Galtona liczba osób biorących udział w konkursie wynosiła (aż !) . To dlatego tłum, jako całość, pomylił się zaledwie o (uśredniona waga wołu wynosiła funtów, a rzeczywista funtów). I chociaż Galton i jemu współcześni byli zszokowani uzyskanymi wynikami, dzisiaj wiemy, że za mądrością tłumu kryją się pewne prawidłowości matematyczne. Z tych prawidłowości korzystamy m.in. podczas szacowania niepewności pomiarów powtarzalnych. Na przykład, zgodnie z tymi prawami, większa liczba wykonanych pomiarów pozwala na dokładniejsze oszacowanie rzeczywistej wartości mierzonej wielkości fizycznej.
Rozrzut wyników pomiaru powtarzalnego charakteryzuje się przy pomocy wielkości zwanej odchyleniem standardowym:
Wielkość można utożsamiać z niepewnością pomiaru, gdyby za jego wynik przyjęto którąkolwiek z wartości . Przy obliczaniu średniej (1) następuje jednak częściowa kompensacja odchyłek o różnych znakach, dzięki czemu wartość jest bliższa rzeczywistej wartości mierzonej wielkości niż którykolwiek z pojedynczych pomiarów i dlatego:
Niepewność standardową uzyskanego wyniku pomiaru oblicza się z poniższego wzoru:
gdzie jest tzw. odchyleniem standardowym średniej.
W dalszej części tego materiału, na przykładzie autentycznych pomiarów wykonanych na lekcji fizyki w jednym z warszawskich liceów, pokażemy, w jaki sposób stosuje się powyższe wzory.
Przykład 1.
1. Co i w jaki sposób zmierzono?
Podczas lekcji fizyki uczniowie () mierzyli szerokość pracowni fizycznej . W tym celu skorzystali z jednakowych, drewnianych linijek, o długości 1 m, z podziałką centymetrową (Rys. 2.).
2. Czy wykonane pomiary można traktować jak powtarzalne?
Chociaż pomiary zostały wykonane przez różnych uczniów (każdy z 26 uczniów wykonał jeden pomiar), to wszyscy uczniowie otrzymali te same wskazówki (pomiar wzdłuż podłogi, w linii prostopadłej do ścian) i takie same przyrządy pomiarowe. Choć nie wszystkie kryteria powtarzalności są tu spełnione, to na potrzeby tego przykładu uznamy pomiar ten na powtarzalny. By ściśle spełnić kryteria powtarzalności, pomiar szerokości sali powinien być wykonany wielokrotnie przez jednego ucznia, ale co to by była za zabawa...
3. Seria pomiarowa
Wyniki pomiarów w metrach [m], podane w przypadkowej kolejności, to:
6,53; 6,65; 6,57; 6,52;6,48; 6,62; 6,58; 6,55; 6,55; 6,52; 6,45; 6,38; 6,50; 6,62; 6,55; 6,56; 6,61; 6,40; 6,56; 6,60; 6,58; 6,50; 6,60; 6,62; 6,50; 6,43.
4. Histogram
HistogramHistogram, który przygotowano na podstawie zebranych pomiarów cząstkowych, przedstawiono na Rys. 3. (zob. materiał pt. Co to takiego histogram?).
5. Wynik pomiaru - średnia arytmetyczna
Obliczona ze wzoru (1), średnia ze wszystkich wykonanych pomiarów wynosi:
Powyższy wynik, podany z dokładnością do setnych części milimetra, wygląda nieco dziwacznie. Zaokrąglimy go dopiero wtedy, gdy wyznaczymy odchylenie standardowe średniej, czyli niepewność standardową pomiaru.
6. Odchylenie standardowe serii pomiarów
Odchylenie standardowe (2), które interpretujemy jako rozrzut cząstkowych wyników pomiaru powtarzalnego, wynosi:
Uzyskany wynik (5) należy interpretować w następujący sposób: Około 68% wykonanych pomiarów powtarzalnych powinno się zawierać w przedziale , czyli w przedziale od 647 cm do 661 cm.
Czy rzeczywiście tak jest? Aby to sprawdzić wystarczy policzyć, ile spośród pomiarów cząstkowych w badanej serii pomiarowej należy do tego przedziału. Okazuje się, że na 26 pomiarów 18 spełnia ten warunek, co odpowiada 69%, czyli wartości bliskiej 68%. Ta zbieżność nie jest przypadkowa, tak samo, jak nie jest bez znaczenia fakt, że kształt histogramu przedstawionego na Rys. 3. przypomina krzywą Gaussa. Czytelników zainteresowanych tematem zachęcamy do zapoznania się z materiałami pt. Krzywa Gaussa i odchylenie standardowe oraz Rozkład normalny, w których wątek tajemniczej liczby 0,68 jest dokładniej opisany.
7. Niepewność pomiaru - odchylenie standardowe średniej
Niepewność wartości (4) wyznaczamy ze wzoru (3):
Zauważ, że wynik (6) zaokrągliliśmy do 2 cyfr znaczących (zob. materiał pt. Jak prowadzić obliczenia na podstawie wyników pomiarowych i w jaki sposób zapisać wynik?). Zauważ przy tym, że uzyskana wartość niepewności, wynikająca z „czynników losowych” (np. krzywych ścian, czy pomiaru wykonanego wzdłuż krzywej, a nie linii prostej), jest znacznie większa (prawie czterokrotnie) od niepewności związanej z użytym przyrządem pomiarowym, która wynosi 0,58 cm. Dzięki temu niepewność związaną z dokładnością przyrządu można zaniedbać.
8. Wynik pomiaru, a rzeczywista szerokość pracowni
Ostatecznie, zmierzona przez uczniów szerokość pracowni fizycznej wynosi 654,0 cm, a niepewność tego pomiaru jest równa 2,2 cm, co zapisujemy:
Przykład 2.
1. Co i w jaki sposób zmierzono?
Podczas lekcji fizyki nauczyciel zaproponował uczniom zabawę pt. „Moje 10 sekund”. Reguły zabawy były następujące: Każdy uczeń nakazywał koleżance/koledze zatrzymywanie stopera po czasie, który uznał za równy dziesięciu sekundom, nie mając przed oczami żadnego czasomierza (Rys. 4.).
2. Czy wykonane pomiary można traktować jak powtarzalne?
Na pierwszy rzut oka tak właśnie jest, szczególnie, że uzasadnienie, jakie podano w Przykładzie 1 można w niemal identycznej postaci zastosować do tego przykładu. Zwróć jednak uwagę na to, że poczucie upływu czasu u każdego człowieka (wbudowany wirtualny przyrząd pomiarowy, którego działanie zależy od chwilowego nastroju) jest inne, nie jest „ustandaryzowane”, czyli nie jest obiektywne. W efekcie, pomiar czasu wykonany podczas zabawy „Moje 10 sekund” w dużym stopniu nie spełnia kryteriów pomiaru powtarzalnegopomiaru powtarzalnego, obowiązujących w fizyce.
Z tego powodu wartości średniej nie można uznać za wynik pomiaru, zob. (1):
a odchylenia standardowego średniej nie można traktować, jako niepewności pomiarowej, zob. (2):
Oczywiście, wartości te - mowa o średniej (1), odchyleniu standardowym (2) i odchyleniu standardowym średniej (3) - można wyznaczyć i jest to pożyteczne ćwiczenie. Nie można ich tylko traktować jako wyniku pomiaru powtarzalnego i jego niepewności.
3. Seria pomiarowa
Wyniki serii N=26 pomiarów w sekundach [s], podane w przypadkowej kolejności, to:
12,70; 9,64; 10,97; 8,04; 9,80; 10,30; 5,70; 9,94; 9,15; 12,20; 14,00; 10,40; 14,00; 7,72; 7,47; 14,21; 13,30; 10,80; 9,90; 11,20; 11,50; 7,29; 14,70; 9,20; 9,57; 9,70.
4. Histogram
Rys. 5. przedstawia histogramhistogram, który przygotowano na podstawie zebranych pomiarów cząstkowych.
5. Średnia arytmetyczna i odchylenie standardowe średniej:
Obliczona ze wzoru (1), średnia ze wszystkich wykonanych pomiarów wynosi:
odchylenie standardowe serii pomiarowej jest równe:
zaś odchylenie standardowe średniej to:
Wartości i zaznaczono na histogramie (Rys. 5.). Zauważ, że średnia arytmetyczna wyników jest zaskakująco (w granicach odchylenia standardowego ) bliska „prawdziwej” wartości szacowanego czasu . Chociaż ten fakt nie podnosi średniej z wyników naszej zabawy do rangi „wyniku pomiaru”, to pozwala wierzyć, że nawet niezbyt liczny i nie do końca obiektywny tłum potrafi dokonywać „mądrych” wyborów.
Gdybyśmy wybrali do naszego eksperymentu tylko jednego ucznia (spełniając jedno z brakujących kryteriów powtarzalności), to zapewne średni wynik uzyskanych pomiarów znacznie bardziej odbiegałby od szacowanego czasu . Stałoby się tak, ponieważ wspomniany wirtualny przyrząd pomiarowy, którym posługiwałby się uczeń, jest obarczony błędem systematycznym. Gdy „korzystamy” z wielu takich przyrządów pomiarowych (uczniów), ich błędy systematyczne znoszą się, co sprawia, że szacowana wielkość jest bliska prawdziwej. Zauważ, że gdyby w Przykładzie 1 wielokrotny pomiar wykonywałby jeden uczeń, tego problemu by nie było. Dlaczego?
Wracając do historii Galtona opowiedzianej w poprzednim rozdziale zastanów się: Czy szacowanie wagi wołu spełnia kryteria powtarzalności pomiaru?
Słowniczek
(ang.: histogram) - jeden z najbardziej popularnych wykresów statystycznych, służący do przedstawienia liczebności danych (np. pomiarowych) w zadanych przedziałach badanej zmiennej.
(ang.: wisdom of the crowd) zbiorowa opinia grupy osób (w odróżnieniu od zdania pojedynczego eksperta). Jak się okazuje, zbiorowo udzielane odpowiedzi na pytania związane z rozumowaniem przestrzennym, szacowaniem wielkości albo wiedzą ogólną na temat rzeczywistości są nie gorsze (a nawet bywają lepsze) niż odpowiedzi udzielane przez poszczególnych członków grupy będących ekspertami.
(ang.: repeatability of measurements) określa stopień zgodności między wynikami kolejnych pomiarów tej samej wielkości mierzonej, wykonanych w tych samych warunkach pomiarowych. Kryteria powtarzalności obejmują m.in. tę samą procedurę pomiarową, tego samego obserwatora, ten sam przyrząd pomiarowy stosowany w tych samych warunkach, to samo miejsce pomiarów i powtarzanie kolejnych pomiarów w krótkich odstępach czasu.