Przeczytaj

Jednym ze sposobów opisu funkcji jest przedstawienie jej za pomocą wykresu.

Wykres funkcji

Definicja: Wykres funkcji

Wykres funkcji $f$ jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych $(x, f (x))$ , w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie $x$ jest elementem dziedziny tej funkcji, a $f (x)$ jest wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$ .

W prostokątnym układzie współrzędnych każdy punkt znajdujący się w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych ma drugą współrzędną dodatnią, a w trzeciej i czwartej ćwiartce ma drugą współrzędną ujemną. Linią podziału jest oś $X$ . Oś $X$ dzieli wykres funkcjiwykres funkcjiwykres funkcji w ten sposób, że każdy punkt wykresu, który leży powyżej osi $X$ ma drugą współrzędną dodatnią. Wiemy, że druga współrzędna punktu należącego do wykresu funkcji, to wartość funkcji odpowiadająca danemu argumentowi. Możemy wtedy powiedzieć, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

Każdy punkt wykresu funkcji leżący poniżej osi $X$ ma drugą współrzędną ujemną. Możemy wtedy powiedzieć, że funkcja przyjmuje wartości ujemne.

Przeanalizujemy poniższe przykłady, które pokażą nam, w jaki sposób możemy określać znak funkcji w przedziale, kiedy funkcja jest opisana za pomocą wykresu.

Przykład 1

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

ROTO91zZBfYyW

Ilustracja przedstawia wykres z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres będący łamaną. Łamana składa się z połączonych ze sobą odcinków o końcach w następujących punktach kolejno od lewej: -7;-3, -5;3, -3;2, -1;-2, 4;3, 5;3, 7;-3.

Odczytamy z wykresu dla jakich argumentów wartości funkcji są dodatnie, a dla jakich są ujemne.

Rozwiązanie:

Dla $x \in ⟨- 7, - 6)$ – funkcja przyjmuje wartości ujemne,

dla $x \in (- 6, - 2)$ – funkcja przyjmuje wartości dodatnie,

dla $x \in (- 2, 1)$ – funkcja przyjmuje wartości ujemne,

dla $x \in (1, 6)$ – funkcja przyjmuje wartości dodatnie,

dla $x \in (6, 7⟩$ – funkcja przyjmuje wartości ujemne.

Przykład 2

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

RPXhhOTgRjoSv

Ilustracja przedstawia wykres z poziomą osią X od minus sześciu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres składający się z dwóch łuków połączonych poziomym odcinkiem. Wykres zaczyna się w punkcie -5;5 i biegnie po łuku wybrzuszonym w lewo w dół do punktu -2;1. Dalej od tego punktu wykres biegnie wdłuż poziomego odcinka o końcu w punkcie 2;1 i stąd biegnie po łuku wybrzuszonym w prawo w dół do punktu 6;5.

Odczytamy z wykresu dla jakich argumentów znak funkcji jest dodatni.

Rozwiązanie:

Analizując wykres zauważamy, że funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie.

Możemy to zapisać:

dla $x \in ⟨- 5, 6⟩$ – funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $⟨- 5, 6⟩$ .

O funkcji $f$ możemy powiedzieć, że ma stały znak. Dla wszystkich argumentów należących do dziedziny funkcji przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie.

Powyższe przykłady pokazały nam, w jaki sposób możemy określić znak funkcji w przypadku, gdy funkcja opisana jest za pomocą wykresu.
W jaki sposób określimy znak funkcji, gdy jest ona opisana za pomocą wzoru?
Czy zawsze musimy najpierw naszkicować wykres tej funkcji, a następnie z wykresu odczytać znak funkcji?

Kolejne przykłady pokażą nam, że wystarczy rozwiązać odpowiednie nierówności.

Przykład 3

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f (x) = 2 x - 6$ , gdy $x \in ℝ$ .

Wyznaczymy te argumenty, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne oraz te, dla których przyjmuje wartości dodatnie.

Rozwiązanie:

Aby wyznaczyć te argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne należy rozwiązać nierówność $f (x) < 0$ .

$f (x) < 0 \Leftrightarrow 2 x - 6 < 0 \Leftrightarrow 2 x < 6 \Leftrightarrow x < 3$

Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x \in (- \infty, 3)$ .

Aby wyznaczyć te argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie należy rozwiązać nierówność $f (x) > 0$ .

$f (x) > 0 \Leftrightarrow 2 x - 6 > 0 \Leftrightarrow 2 x > 6 \Leftrightarrow x > 3$

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x \in (3, \infty)$ .

Przykład 4

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f (x) = \{\begin{cases} |2 x - 4| - 6, & gdy x < 2 \\ \sqrt{x} - 4, & gdy x \geq 2 \end{cases}$ .

Określimy przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie oraz te, w których przyjmuje wartości ujemne.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru składającego się z dwóch wyrażeń.

Dla każdej części wzoru musimy rozwiązać dwie nierówności:

$f (x) < 0$ oraz $f (x) > 0$ .

$f (x) = |2 x - 4| - 6$ , gdy $x < 2$ .

$|2 x - 4| - 6 < 0 \Leftrightarrow |2 x - 4| < 6 \Leftrightarrow - 6 < 2 x - 4 < 6 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow [(2 x - 4 > - 6) \land (2 x - 4 < 6)] \Leftrightarrow [2 x > - 2 \land 2 x < 10] \Leftrightarrow [x > - 1 \land x < 5]$

Rozwiązanie nierówności: $x \in (- 1, 5)$ . Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy $x \in (- 1, 2)$ .

$|2 x - 4| - 6 > 0 \Leftrightarrow |2 x - 4| > 6 \Leftrightarrow [(2 x - 4 < - 6) \lor (2 x - 4 > 6)] \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow [(2 x < - 2) \lor (2 x > 10)] \Leftrightarrow [(x < - 1) \lor (x > 5)]$

Rozwiązanie nierówności: $x \in (- \infty, - 1) \cup (5, \infty)$ . Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy $x \in (- \infty, - 1)$ .

Analogicznie postępujemy z drugą częścią wzoru.

$f (x) = \sqrt{x} - 4$ , gdy $x \geq 2$ .

$\sqrt{x} - 4 > 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} > 4 \Leftrightarrow x > 16$

Rozwiązanie nierówności: $x \in (16, \infty)$ . Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy $x \in (16, \infty)$ .

$\sqrt{x} - 4 < 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} < 4 \Leftrightarrow x < 16$

Rozwiązanie nierówności: $x \in ⟨0, 16)$ . Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy $x \in ⟨2, 16)$ .

Otrzymane wyniki umieścimy w tabeli.

Przedział	Znak funkcji
$x \in (- \infty, - 1)$	Funkcja przyjmuje wartości dodatnie.
$x \in (- 1, 2)$	Funkcja przyjmuje wartości ujemne.
$x \in ⟨2, 16)$	Funkcja przyjmuje wartości ujemne.
$x \in (16, \infty)$	Funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

Ważne!

Funkcja opisana jest za pomocą wykresu, wtedy:

funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy jej wykres znajduje się nad osią $X$
funkcja przyjmuje wartości ujemne, gdy jej wykres znajduje się pod osią $X$

Funkcja opisana jest za pomocą wzoru, wtedy:

funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów spełniających nierówność $f (x) > 0$
funkcja przyjmuje wartości ujemne dla argumentów spełniających nierówność $f (x) < 0$

Funkcja ma stały znak, jeżeli dla wszystkich argumentów przyjmuje wyłącznie wartości ujemne lub wyłącznie wartości dodatnie.

Słownik

wykres funkcji

zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych $(x, f (x))$ , w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie $x$ jest elementem dziedziny tej funkcji, a $f (x)$ jest wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik