Przeczytaj
Wprowadźmy definicję funkcji cosinus kąta ostregocosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.
Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy iloraz długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej.
Do oznaczenia funkcji cosinus używa się skrótu cos.
Wzór funkcji cosinus zapisujemy słownie:
Zapisując za pomocą symboli matematycznych, mamy, że:
,
.
Powyższą definicję zastosujemy do wyznaczania wartości cosinusów kątów ostrych w trójkątach prostokątnych.
Wyznaczymy wartości cosinusów kątów ostrych w trójkącie prostokątnym z rysunku.
Rozwiązanie:
Oznaczmy długość przeciwprostokątnej jako .
Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że .
Z równania wynika, że , zatem lub .
Ponieważ , więc .
Z definicji funkcji cosinus otrzymujemy, że:
,
.
Zauważmy, że wartość funkcji cosinus dowolnego kąta ostrego jest zawsze dodatnia i mniejsza od .
Wyznaczymy wartość cosinusa mniejszego kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, jeżeli jedna przyprostokątna trójkąta ma długość , a przeciwprostokątna długość .
Rozwiązanie:
Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:
Rozwiązanie:
Niech oznacza długość drugiej przyprostokątnej. Wtedy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, rozwiązujemy równanie:
.
Zatem , wobec tego
lub .
Ponieważ jest długością boku, zatem .
W dowolnym trójkącie kąt o najmniejszej mierze leży naprzeciwko najkrótszego boku, zatem mniejszym kątem ostrym jest kąt o mierze .
Wobec tego
.
Obliczymy wartość wyrażenia , jeżeli jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym, leżącym przy dłuższej przyprostokątnej, wiedząc że krótsza przyprostokątna trójkąta ma długość , a przeciwprostokątna ma długość .
Rozwiązanie:
Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:
Rozwiązanie:
Niech oznacza długość dłuższej przyprostokątnej.
Wówczas, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, zapisujemy i rozwiązujemy równanie:
.
Zatem , czyli .
Dłuższa przyprostokątna ma długość , zatem kąt ostry leżący przy tym boku ma miarę .
Wobec tego:
.
Wartość wyrażenia wynosi .
Wyznaczymy długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej długości , jeżeli wiadomo, że cosinus jednego kąta ostrego jest trzy razy większy od cosinusa drugiego kąta ostrego.
Z warunków zadania wynika, że oraz .
Z trójkąta prostokątnego z rysunku mamy, że oraz .
Po podstawieniu do zależności mamy, że:
, czyli .
Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że , więc .
Otrzymujemy równanie , zatem .
Zatem przyprostokątne mają długości:
,
.
W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość , a wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość . Obliczymy cosinus kąta pomiędzy wysokością tego trójkąta a ramieniem.
Rozwiązanie:
Narysujmy trójkąt równoramienny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:
Do wyznaczenia wartości rozpatrujemy trójkąt prostokątny:
Jeżeli przez oznaczymy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta, to korzystając z twierdzenia Pitagorasa rozwiązujemy równanie:
.
Zatem , czyli .
Wobec tego
.
Dany jest prostokąt o bokach długości i . Wyznaczymy cosinusy kątów, jakie tworzy przekątna tego prostokąta z jego bokami.
Rozwiązanie:
Narysujmy prostokąt i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku:
Zauważmy, że przekątna prostokąta dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne.
Jeżeli długość przekątnej prostokąta oznaczymy jako , to korzystając z twierdzenia Pitagora rozwiązujemy równanie:
,
zatem
.
Wobec tego:
,
.
Słownik
iloraz długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do długości przeciwprostokątnej