Przeczytaj

Dla przypomnienia – definicja logarytmu.

Logarytm

Definicja: Logarytm

Logarytmem liczby dodatniej $b$ przy podstawie $a$ dodatniej i różnej od jedności, nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść $a$ , aby otrzymać $b$ .

Poniżej przykład jednego z najbardziej znanych zastosowań logarytmów w obliczeniach chemicznych – wyznaczanie kwasowości roztworów.

Określanie $p H$ roztworów

Skala $p H$ jest ilościową skalą kwasowości i zasadowości roztworów wodnych związków chemicznych.

Skala ta opiera się na aktywności jonów hydroniowych $[H_{3} O^{+}]$ w roztworach wodnych.

Najczęściej $p H$ oblicza się według wzoru:

p H = - \log [H_{3} O^{+}]

gdzie:
$[H_{3} O^{+}]$ – oznacza stężenie jonów hydroniowych, wyrażone w molach na ${dm}^{3}$ .

R1IBV45tDkHQm

Ilustracja zatytułowana jest „Przykładowe wartości pH”. Poniżej znajdują się dwie kolumny. Kolumna lewa ma nagłówek Substancja, kolumna prawa ma nagłówek pH, a w niej zapisane są wartości pH na tle w takim kolorze, jaki przybiera papierek lakmusowy przy badaniu pH danej substancji. Podamy teraz zaprezentowane wartości pH dla wymienionych substancji. 1. Jednomolowy kwas solny – pH równe 0, kolor czerwony, 2. Coca-cola – pH równe 2,5, kolor pomarańczowy 3. Ocet, – pH równe 2,9 kolor jasnopomarańczowy, 4. Herbata – pH równe 5,4, kolor żółty, 5. Mleko – pH równe 6,5, kolor jasnozielony, 6. Chemicznie czysta woda – pH równe 7, kolor zielony, 7. Woda morska – pH równe 8, kolor niebieski, 8. Mydło – pH w zakresie od dziewięciu do dziesięciu, kolor ciemnoniebieski, 9. Woda amoniakalna – pH równe 11,5, kolor granatowy.

Chemicy zwykle przyjmują uproszczoną wersję wzoru określającego $p H$ roztworu, opartą o stężenia jonów wodorowych.

p H = - \log [H^{+}]

Dla chemicznie czystej wody $p H = - \log 10^{- 7} = 7$ – woda ma odczyn obojętny.

Jeśli:
$p H < 7$	$p H = 7$	$p H > 7$
roztwór ma odczyn kwaśny	roztwór ma odczyn obojętny (woda)	roztwór ma odczyn zasadowy

Przykład 1

Obliczymy, jakie jest $p H$ treści żołądka, jeżeli stężenie jonów wodorowych w badanej próbce jest równe $2, 5 \cdot 10^{- 4} \frac{mol}{{dm}^{3}}$ .

$p H = - \log [2, 5 \cdot 10^{- 4}]$

$p H = - (\log 2, 5 - 4 \cdot \log 10)$

$p H \approx 4 - 0, 4 = 3, 6$

Odpowiedź:

$p H$ treści żołądka wynosi ok. $3, 6$ , czyli treść żołądka ma odczyn kwaśny.

Przykład 2

Obliczmy przybliżone stężenie jonów wodorowych w wodzie morskiej.

Z informacji podanych wyżej wnioskujemy, że $p H$ wody morskiej wynosi $8$ . Oznaczając szukane stężenie przez $S$ , otrzymujemy:

$8 = - \log S$

Zatem:

$S = 10^{- 8}$

Odpowiedź:

Stężenie jonów wodorowych w wodzie morskiej wynosi około $10^{- 8} \frac{mol}{{dm}^{3}}$ .

Określanie wieku znaleziska

Do określania wieku znaleziska archeologicznego można wykorzystać wynik pomiaru zawartości izotopu węgla ${}^{14}C$ w żyjącym organizmie (roślinnym lub zwierzęcym) - stosunek ilości radioaktywnego izotopu węgla ${}^{14}C$ do izotopu nieradioaktywnego ${}^{12}C$ jest stały i wynosi około $1, 5 \cdot 10^{- 12}$ . Po śmierci organizmu ilość radioaktywnego izotopu ${}^{14}C$ maleje (okres jego połowicznego rozpadu wynosi około $5700$ lat), a ilość izotopu ${}^{12}C$ pozostaje niezmieniona.

W $1946$ r. amerykański fizyk F. Libby zaproponował wzór opisujący masę $m$ próbki promieniotwórczego izotopu o okresie połowicznego rozpadu $T$ , po upływie czasu $t$ .

m = m_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}

gdzie:
$m_{0}$ – początkowa masa próbki.

Przykład 3

Obliczymy wiek znaleziska, w którym zmierzona zawartość izotopu ${}^{14}C$ jest równa $60 %$ początkowej zawartości tego izotopu.

Z informacji zapisanej powyżej wnioskujemy, że $T = 5700$ . Z treści zadania wynika, że $m = 0, 6 m_{0}$ .

Korzystamy ze wzoru: $m = m_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}$ . Mamy wyznaczyć $t$ .

$0, 6 m_{0} = m_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{5700}} | : m_{0}$

$0, 6 = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{5700}}$

Logarytmujemy obie strony zapisanego równania.

$\log (0, 6) = \log {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{5700}}$

Przekształcamy równanie, korzystając z własności działań na logarytmach.

$\log 6 - \log 10 = \frac{t}{5700} (\log 1 - \log 2)$

$t = \frac{5700 \cdot (\log 6 - 1)}{- \log 2}$

Z tablic logarytmicznych odczytujemy:

$\log 2 \approx 0, 30$

$\log 6 \approx 0, 78$

Wyznaczamy przybliżoną wartość $t$ .

$t \approx \frac{5700 \cdot (0, 78 - 1)}{- 0, 30} = 4180$

Odpowiedź:

Przybliżony wiek znaleziska to około $4180$ lat.

Demografia

Pokażemy teraz zastosowanie logarytmówlogarytmlogarytmów do obliczeń demograficznych. Wykorzystamy wzór na procent składany.

Przykład 4

Średni przyrost naturalny ludności w miejscowości Jedlicze wynosi $20$ promili rocznie. Obliczymy, po ilu latach liczba mieszkańców tej miejscowości wzrośnie o $40 %$ .

Oznaczmy:
$M$ – obecna liczba mieszkańców,
$x$ – szukana liczba lat.

Jeśli teraz liczba ludności wynosi $M$ , to za $x$ lat będzie wynosiła $140 % M$ , czyli $\frac{7}{5} M$ .

Stosujemy wzór na procent składany.

$\frac{7}{5} M = M {(1 + \frac{20}{1000})}^{x}$

Z tego wzoru wyznaczamy $x$ .

$\frac{7}{5} M = M {(1 + \frac{20}{1000})}^{x} | : M$

$\frac{7}{5} = {(1 + \frac{20}{1000})}^{x}$

Logarytmujemy obie strony zapisanego równania.

$\log \frac{7}{5} = x \cdot \log (1, 02)$

$x = \frac{\log (1, 4)}{\log (1, 02)}$

$x \approx 17$

Odpowiedź:

Liczba mieszkańców wzrośnie o $40 %$ po około $17$ latach.

Zmiany ciśnienia atmosferycznego

Aby obliczyć wysokość szczytu górskiego można użyć barometru i skorzystać ze wzoru:

h = 18400 \cdot (\log b_{1} - \log b_{2})

gdzie:
$h$ – wysokość góry,
$b_{1}$ , $b_{2}$ – ciśnienie barometryczne (wyrażone w mm słupka rtęci) odpowiednio u podnóża góry i na jej wierzchołku.

Z tego wzoru można też korzystać, chcąc obliczyć wartość ciśnienia atmosferycznego u podnóża góry lub na jej wierzchołku.

Przykład 5

Obliczymy, jakie jest ciśnienie na wierzchołku góry o wysokości $1150 m$ , jeżeli u podnóża góry ciśnienie wynosi $750 \frac{mm}{Hg}$ . Wynik podamy z dokładnością do $0, 1 \frac{mm}{Hg}$ .

Do wzoru $h = 18400 \cdot (\log b_{1} - \log b_{2})$ wstawiamy $h = 1150 m$ , $b_{1} = 750 \frac{mm}{Hg}$ .

$1150 = 18400 \cdot (\log 750 - \log b_{2})$

Przekształcamy zapisaną równość.

$\frac{1150}{18400} - \log 750 = - \log b_{2}$

$\log 750 - 0, 0625 = \log b_{2}$

Z tablic logarytmicznych odczytujemy wartość $\log 750$ .

$\log 750 \approx 2, 8751$

Stąd

$\log b_{2} \approx 2, 8126$

$b_{2} \approx 10^{2, 8126}$

Ponownie korzystamy z tablic matematycznych.

$b_{2} \approx 649, 53$

Odpowiedź:

Ciśnienie atmosferyczne na wierzchołku góry wynosi około $649, 5 \frac{mm}{Hg}$ .

Wymiar fraktalny

Słowo fraktal pochodzi od łacińskiego frangere (łamać). Jest to bardzo trafna nazwa, bowiem wymiar fraktala zwykle nie jest liczbą całkowitą. Geometrycznie fraktal można zinterpretować jako figurę samopodobną, czyli taką, której części są podobne do całości. Dla figur samopodobnych określa się wielkość zwaną wymiarem samopodobieństwa (wymiarem fraktalnym), będącą uogólnieniem klasycznej definicji wymiaru.

Obliczanie wymiaru fraktala oparte jest na koncepcji tzw. pudełek. Daną figurę pokrywamy mniejszymi („pudełkami”), podobnymi do wyjściowej figury. Wymiar pudełkowy oparty jest na zliczaniu ilości „pudełek” pokrywających zbiór.

Jeśli figura w całej wielkości zawiera $N$ samopodobnych kopi siebie wielkości $s$ , to jej wymiar samopodobieństwa jest równy:

D_{s} = \frac{\log N}{\log \frac{1}{s}}

Dla przykładu wymiar fraktalny płuc szacuje się na ok. $2, 97$ , a powierzchni mózgu na ok. $2, 79$ .

Przykład 6

Obliczymy wymiar fraktalny zbioru Cantora.

R1Mh7rvFcJhT3

Rysunek przedstawia pogrubione poziome linie. Pierwsza od góry linia jest najdłuższa. Od lewej i od prawej narysowane są pod nią dwie kolejne linie o długości jednej trzeciej linii wyjściowej. Pod każdą z linii z drugiego poziomu narysowane są kolejne dwie linie o długości jednej trzeciej długości linii z drugiego poziomu i ponownie linie na trzecim poziomie są narysowane: jedna od lewej strony, druga od prawej. W czwartym wierszu powtórzono tę samą zasadę dla czterech linii z poziomu trzeciego.

Tworzenie zbioru Cantora rozpoczynamy od narysowania odcinka. Odcinek dzielimy na trzy, a następnie „wycinamy” środek. W podobny sposób postępujemy z utworzonymi „pozostałymi” odcinkami. Procedurę powtarzamy w nieskończoność.

Każdy nowo powstały odcinek jest więc podobny do poprzedniego w skali $3$ , a z każdego odcinka powstają dwa nowe.

Zatem:

$N = 2$

$s = \frac{1}{3}$

$D_{s} = \frac{\log 2}{\log (\frac{1}{\frac{1}{3}})} = \frac{\log 2}{\log 3}$

$D_{s} \approx 0, 63$

Odpowiedź:

Wymiar zbioru Cantora jest równy w przybliżeniu $0, 63$ .

Słownik

logarytm

logarytmem liczby dodatniej $b$ przy podstawie $a$ dodatniej i różnej od jedności, nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść $a$ , aby otrzymać $b$

Wprowadzenie

Audiobook

Określanie $p H$ roztworów

Określanie wieku znaleziska

Demografia

Zmiany ciśnienia atmosferycznego

Wymiar fraktalny

Słownik

Wprowadzenie

Audiobook

Przeczytaj

Określanie pH roztworów

Określanie wieku znaleziska

Demografia

Zmiany ciśnienia atmosferycznego

Wymiar fraktalny

Słownik

Określanie $p H$ roztworów