Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Jeżeli ciąg liczbowy jest skończony, to poszukując najmniejszej/największej wartości ciągu, korzystamy najczęściej z wykresu lub wzoru ogólnego ciągu.

Przykład 1

Określimy na podstawie wykresu skończonego ciągu an najmniejszy i największy wyraz tego ciągu.

R10ZtTajQ2uYR

Z wykresu odczytujemy, że najmniejszą wartość równą 0 ma wyraz a5.

Największą wartość równą 7 przyjmuje wyraz a2.

Przykład 2

Ciąg bn określony jest wzorem ogólnym bn=4n5 dla n1,2,3,4,,9,19,20. Określimy największy i najmniejszy wyraz tego ciągu.

Wykres ciągu bn zawiera się w prostej, będącej wykresem funkcji fx=4x5. Funkcja ta jest rosnąca, zatem i ciąg bn jest rosnący.

Najmniejszy wyraz ciągu to:

a1=415=1.

Największy wyraz ciągu to:

a20=4205=75

Odpowiedź: Najmniejszy wyraz ciągu to -1, a największy to 75.

Na rysunku przedstawiono fragmenty wykresów ciągów nieskończonych anbn. Przypuszczamy, że ciąg an to ciąg malejący, a ciąg bn to ciąg rosnący.

RCsGgPEY6U4z3

Zauważmy, że ciąg malejący nie ma wyrazu najmniejszego, ale ma wyraz największy. Jest to pierwszy wyraz ciągu.

W ciągu rosnącym, jest na odwrót – pierwszy wyraz ciągu to wyraz najmniejszy, a wyrazu największego ciąg nie przyjmuje.

Jeśli ciąg jest stały (wykres takiego ciagu na rysunku poniżej) – każdy wyraz ciągu ma taką samą wartość.

R1PbezMgRktAx
Przykład 3

Wyrazy ciągu an dla n1 tworzone są według pewnej reguły. Znajdziemy tę regułę na podstawie tabelki częściowej ciągu i określimy wyraz największy i najmniejszy ciągu.

n

6

7

8

9

an

-2

-4

-6

-8

a6=2=26+10

a7=4=27+10

a8=6=28+10

a9=8=29+10

Zapisujemy przykład wzoru ogólnego ciągu:

an=2n+10

Na podstawie znalezionego wzoru stwierdzamy, że jest to ciąg malejący. Zatem największy wyraz ciągu to:

a1=21+10=8

Ciąg nie ma najmniejszego wyrazu.

Jeśli ciąg nie jest monotonicznyciąg monotonicznymonotoniczny, to szukanie najmniejszego lub największego wyrazu ciągu jest nieco trudniejsze.

ciąg monotoniczny
Definicja: ciąg monotoniczny

Ciągi rosnące, malejące, stałe, nierosnące, niemalejące to ciągi monotoniczne.

Przykład 4

Znajdziemy najmniejszy wyraz ciągu an określonego wzorem
an=n210n+16.

Wykres składa się z izolowanych punktów zawartych w paraboli y=x210x+16. Najmniejsza wartość funkcji, której wykresem jest ta parabola, to druga współrzędna wierzchołka paraboli.

Obliczamy najpierw pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.

xw=102=5

Otrzymana liczba to liczba naturalna. Zatem wartość najmniejszego wyrazu ciągu jest równa drugiej współrzędnej wierzchołka paraboli.

Obliczamy tę współrzędną.

yw=52105+16=9

Zatem najmniejszy wyraz ciągu to a5=-9.

Przykład 5

Ciąg an określony jest wzorem rekurencyjnym

{a1=1an+1=an, dla n1

Wykażemy, że różnica między największym a najmniejszym wyrazem ciągu jest równa 2.

Na podstawie wzoru rekurencyjnego określamy wzór ogólny ciągu.

Wypisujemy najpierw kilka początkowych wyrazów ciągu.

a1=1

a2=1

a3=1

a4=1

a5=1

Zatem wzór ogólny ciągu to

an=1n

Jest to ciąg, którego wyrazy nieparzyste mają wartość -1, a parzyste mają wartość 1. Czyli różnica między największym a najmniejszym wyrazem ciągu jest równa 11=2.

Znając wzór ciągu, można nie tylko określić jego wyrazy największy i najmniejszy, ale również wyrazy ciągu spełniające określone warunki.

Przykład 6

Suma n początkowych wyrazów ciągu an określona jest wzorem Sn=n3n2+4. Określimy, ile wyrazów tego ciągu jest równych 0 i podamy największy wyraz ciągu w przedziale 2,6.

Znajdziemy najpierw wzór na wyraz ogólny an ciągu.

an=SnSn1

an=n3n2+4n13n12+4

an=n3n2+4n33n2+3n1n2+2n1+4

an=3n25n+2

Obliczamy, który wyraz ciągu jest równy 0.

3n25n+2=0

Rozwiązujemy równanie kwadratowe w zbiorze liczb naturalnych dodatnich.

Δ=2524=1

n1=516=46+

n2=5+16=1

Okazuje się, że pierwszy wyraz ciągu jest równy 0.

a1=0

W przedziale 2,6 ciąg jest rosnący. Zatem największy wyraz ciągu to:

a6=36256+2=10830+2=80

Odpowiedź: Pierwszy wyraz ciągu jest równy 0. Największy wyraz w przedziale 2,6 to a6=80.

Słownik

ciąg monotoniczny
ciąg monotoniczny

ciągi rosnące, malejące, stałe, nierosnące, niemalejące to ciągi monotoniczne