Okrąg to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od ustalonego punktu (nazywanego środkiem okręgu), jest równa zadanej odległości (nazywanej promieniem okręgu).

Wyznaczymy środki i promienie okręgów o równaniach:

a) ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=16$

$S=\left(3,2\right)$, $r=4$.

b) $x^2+{\left(y-2\right)}^2=5$

$S=\left(0,2\right)$, $r=\sqrt{5}$.

Wyznaczymy równania okręgów o podanych środkach i promieniach:

a) $S=\left(-3,0\right)$, $r=3$.

${\left(x+3\right)}^2+y^2=9$

b) $S=\left(-2,-1\right)$, $r=\sqrt{7}$.

${\left(x+2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=7$.

Wyznaczymy równanie okręgu o środku w punkcie $S=\left(0,-2\right)$, jeżeli należy do niego punkt $P=\left(-3,2\right)$.

Długość promienia $r$ jest równa odległości $SP$.

Zatem $r=\left|SP\right|=\sqrt{{\left(-3-0\right)}^2+{\left(2+2\right)}^2}=5$.

Równanie okręgu jest postaci: $x^2+{\left(y+2\right)}^2=25$.

Wyznaczymy równanie okręgu, jeżeli do końców jego średnicy należą punkty $A=\left(3,-1\right)$ oraz $B=\left(1,-5\right)$.

Wyznaczamy długość średnicy okręgu, czyli odcinka $AB$:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(1-3\right)}^2+{\left(-5+1\right)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

Promień okręgu jest równy połowie średnicy, więc $r=\sqrt{5}$.

Środek okręgu jest środkiem odcinka $AB$.

Wyznaczamy $S=\left(\frac{3+1}{2},\frac{-1+\left(-5\right)}{2}\right)=\left(2,-3\right)$.

Równanie okręgu ma zatem postać:

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=5$

Wyznaczymy dla jakiego parametru $m$ równanie ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=m^2-m-12$ przedstawia okrąg.

Ponieważ dla równania okręgu musi być spełniony warunek $r>0$, otrzymujemy nierówność:

$m^2-m-12>0$.

Rozwiązaniem nierówności kwadratowej jest zbiór $m\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(4,\infty \right)$.

Sprawdzimy, czy punkt $P=\left(1,-3\right)$ należy do okręgu o środku $S=\left(2,-1\right)$ i promieniu $r=\sqrt{5}$.

Do sprawdzenia wystarczy wyznaczyć odległość podanego punktu od środka okręgu.

$\left|SP\right|=\sqrt{{\left(1-2\right)}^2+{\left(-3+1\right)}^2}=\sqrt{5}$.

Ponieważ $\left|SP\right|=\sqrt{5}$, zatem podany punkt należy do tego okręgu.

Wyznaczymy równanie okręgu o promieniu $r=2$, jeżeli należą do niego punkty $K=\left(2,0\right)$ i $L=\left(0,2\right)$.

Podstawiamy współrzędne punktów $K$ i $L$ do równania okręgu ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=r^2$.

Otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi:

$\left\{\begin{array}{l}{\left(2-a\right)}^2+{\left(0-b\right)}^2=4\\ {\left(0-a\right)}^2+{\left(2-b\right)}^2=4\end{array}\right.$

Rozwiązanie układu sprowadza się do równania

${\left(2-a\right)}^2+b^2=a^2+{\left(2-b\right)}^2$, z czego otrzymujemy, że $a=b$.

Podstawiamy tę zależność do jednego z równań i otrzymujemy: ${\left(2-a\right)}^2+a^2=4$.

Po przekształceniach mamy równanie $2a^2-4a=0$, zatem $a=0$ lub $a=2$ i jednocześnie $b=0$ lub $b=2$.

Otrzymujemy w związku z tym dwa równania okręgów, spełniających podane warunki:

$x^2+y^2=4$ lub ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=4$.

Wyznaczymy równanie okręgu przechodzącego przez punkt $P=\left(1,2\right)$, stycznego do obu osi układu współrzędnych.

Zauważmy, że środek $S$ musi mieć współrzędne $S=\left(r,r\right)$.

Podstawiając współrzędne środka oraz podany punkt do równania okręgu ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=r^2$ otrzymujemy równanie:

${\left(1-r\right)}^2+{\left(2-r\right)}^2=r^2$.

Z równania otrzymujemy, że $r=1$ lub $r=5$. Zatem mamy dwa okręgi spełniające warunki zadania:

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=1$ lub ${\left(x-5\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=25$.

zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, które leżą w odległości równej promieniowi od ustalonego punktu, nazywanego środkiem okręgu

${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=r^2$, gdzie $S=\left(a,b\right)$ - środek okręgu, $r$ - promień okręgu