Przeczytaj

Przypomnijmy sobie definicje i twierdzenia, z których będziemy korzystać podczas rozwiazywania układów równań postaci $\{\begin{cases} y = a x^{2} \\ y = b x + c \end{cases}$ .

Układ równań

Definicja: Układ równań

Układem równań nazywamy koniunkcję co najmniej dwóch równań.

Aby rozwiązać układ równań, należy znaleźć wszystkie układy liczb spełniające jednocześnie wszystkie równania składowe danego układu równań.

Rozwiązanie układu równań

Definicja: Rozwiązanie układu równań

Rozwiązaniem układu równań nazywamy parę liczb spełniających każde równanie danego układu równań.

Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą

Definicja: Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą

Równaniem kwadratowym z jedną niewiadomą $x$ , nazywamy równanie postaci

a x^{2} + b x + c = 0

gdzie:
$a$ , $b$ i $c$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz $a \neq 0$ .

Wyróżnik trójmianu kwadratowego („delta”)

Definicja: Wyróżnik trójmianu kwadratowego („delta”)

Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego $a x^{2} + b x + c$ nazywamy wyrażenie postaci

∆ = b^{2} - 4 a c

W zależności od wartości wyróżnika trójmianu kwadratowego, równanie kwadratowe może mieć dwa lub jeden pierwiastek. Może też nie posiadać rozwiązania.

Liczba rozwiązań równania kwadratowego

Twierdzenie: Liczba rozwiązań równania kwadratowego

Równanie kwadratowe postaci $a x^{2} + b x + c = 0$ , $a \neq 0$ :

nie posiada rozwiązania, jeśli $∆ < 0$ ;

posiada jedno rozwiązanie $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$ , jeśli $∆ = 0$ ;

posiada dwa rozwiązania $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$ oraz $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$ , jeśli $∆ > 0$ .

Rozwiążemy teraz kilka układów równań postaci $\{\begin{cases} y = a x^{2} \\ y = b x + c \end{cases}$ .

Przykład 1

Rozwiążemy układ równańukład równańukład równań $\{\begin{cases} y = x^{2} \\ y - 2 x = 3 \end{cases}$ .

Wyznaczamy niewiadomą $y$ z równania liniowego.

$\{\begin{cases} y = x^{2} \\ y = 3 + 2 x \end{cases}$

Podstawiamy uzyskane wyrażenie do równania kwadratowego w miejsce niewiadomej $y$ .

$\{\begin{cases} 3 + 2 x = x^{2} \\ y = 3 + 2 x \end{cases}$

Porządkujemy i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
Korzystamy ze wzoru na wyróżnik trójmianu kwadratowego równania $a x^{2} + b x + c = 0$ oraz wzorów na pierwiastki tego równania.

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

$∆ = {(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)$

$∆ = 16$

$\sqrt{∆} = 4 > 0$

$x_{1} = \frac{- (- 2) - 4}{2} = - 1$

$x_{2} = \frac{- (- 2) + 4}{2} = 3$

Podstawiamy otrzymane wartości niewiadomej $x$ do równania liniowego i obliczmy niewiadomą $y$ .

$\{\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 3 + 2 x \end{array} \lor \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 3 + 2 x \end{cases}$

$\{\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 1 \end{array} \lor \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 9 \end{cases}$

A zatem rozwiązaniem tego układu równań są pary liczb $\{\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 1 \end{array}$ oraz $\{\begin{cases} x = 3 \\ y = 9 \end{cases}$ .

Przykład 2

Rozwiążemy układ równań $\{\begin{cases} y - x = - x (x + 1) \\ y - 3 (2 x - 3) = 2 y \end{cases}$ .

Doprowadzamy równania występujące w układzie do najprostszej postaci i wyznaczamy niewiadomą $y$ z równania liniowego.

$\{\begin{cases} y - x = - x^{2} - x \\ y - 6 x + 9 = 2 y \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = - x^{2} \\ - y - 6 x = - 9 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = - x^{2} \\ y = - 6 x + 9 \end{cases}$

Wyznaczoną w równaniu liniowym wartość $y$ , podstawiamy do równania kwadratowego.

$\{\begin{cases} - 6 x + 9 = - x^{2} \\ y = - 6 x + 9 \end{cases}$

Porządkujemy i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
Możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia ( $I$ sposób) lub możemy obliczyć $∆$ oraz wyznaczyć rozwiązanie, korzystając z powyżej przypomnianych wzorów ( $II$ sposób).

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

$I$ sposób:

${(x - 3)}^{2} = 0$

$x = 3$

$II$ sposób:

$∆ = 36 - 4 \cdot 9 = 0$

$x_{0} = - \frac{- 6}{2} = 3$

Podstawiamy otrzymaną wartość niewiadomej $x$ do równania liniowego i obliczmy niewiadomą $y$ .

$\{\begin{cases} x = 3 \\ y = - 6 x + 9 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 3 \\ y = - 9 \end{cases}$

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb $\{\begin{cases} x = 3 \\ y = - 9 \end{cases}$ .

Przykład 3

Rozwiążemy układ równań $\{\begin{cases} - 5 x - 2 y = - 2 (x + 2) - y \\ {(y - 1)}^{2} = 1 - 3 y - (x \sqrt{2} - y) (x \sqrt{2} + y) \end{cases}$ .

Doprowadzamy równania występujące w układzie do najprostszej postaci i wyznaczamy niewiadomą $y$ z równania liniowego.

${\begin{cases} - 5 x - 2 y = - 2 x - 4 - y \\ y^{2} - 2 y + 1 = 1 - 3 y - 2 x^{2} + y^{2} \end{cases}$

$\{\begin{cases} - 3 x + 4 = y \\ y = - 2 x^{2} \end{cases}$

Wyznaczoną w równaniu liniowym wartość $y$ , podstawiamymetoda podstawianiapodstawiamy do równania kwadratowego.

$\{\begin{cases} y = - 3 x + 4 \\ - 3 x + 4 = - 2 x^{2} \end{cases}$

Porządkujemy otrzymane równanie kwadratowe.
Obliczamy wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego

$- 2 x^{2} + 3 x - 4 = 0$

$∆ = 3^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 4) = - 23 < 0$

$∆ < 0$ , a więc równanie kwadratowe $- 2 x^{2} + 3 x - 4 = 0$ nie posiada rozwiązania.

Zatem układ równańukład równańukład równań $\{\begin{cases} - 5 x - 2 y = - 2 (x + 2) - y \\ {(y - 1)}^{2} = 1 - 3 y - (x \sqrt{2} - y) (x \sqrt{2} + y) \end{cases}$ jest sprzeczny.

Możemy zaobserwować, że liczba rozwiązań układu równań $\{\begin{cases} y = a x^{2} \\ y = b x + c \end{cases}$ , jest taka sama, jak liczba rozwiązań równania kwadratowego $a x^{2} = b x + c$ .

Przykład 4

Określimy, dla jakiego parametru $n \in ℝ ∖ \{0\}$ , rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} y = n x^{2} \\ y = 40 x - 10 \end{cases}$ , jest dokładnie jedna para liczb. Wyznaczymy to rozwiązanie.

Po podstawieniu wartości $y$ wyznaczonej w równaniu liniowym, do drugiego z równań, otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomąrównanie kwadratowe z niewiadomą $x$ i parametrem $n$ .

$\{\begin{cases} y = n x^{2} \\ y = 40 x - 10 \end{cases}$

$\{\begin{cases} n x^{2} = 40 x - 10 \\ y = 40 x - 10 \end{cases}$

Porządkujemy równanie kwadratowe i obliczamy wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego.

$n x^{2} - 40 x + 10 = 0$

$∆ = 1600 - 4 \cdot n \cdot 10$

$∆ = 1600 - 40 n$

Zgodnie z poleceniem, wyznaczymy wartość parametru $n$ , dla którego równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Sytuacja taka ma miejsce wtedy, gdy delta jest równa zero.

$∆ = 0 \Leftrightarrow 1600 - 40 n = 0 \Leftrightarrow n = 40$

Wyznaczamy teraz to rozwiązanie.

$x_{0} = \frac{- (- 40)}{2 n} = \frac{40}{2 \cdot 40} = \frac{1}{2}$

Obliczamy niewiadomą $y$ .

$\{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = 40 x - 10 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = 40 \cdot \frac{1}{2} - 10 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = 10 \end{cases}$

A zatem dla $n = 40$ , rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} y = n x^{2} \\ y = 40 x - 10 \end{cases}$ jest dokładnie jedna para liczb $\{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = 10 \end{cases}$ .

Przykład 5

Określimy liczbę rozwiązań układu równań $\{\begin{cases} y = 3 x^{2} \\ y = 6 x + m \end{cases}$ w zależności od wartości parametru $m$ .

Ponieważ w obu równaniach układu wyznaczona jest niewiadoma $y$ , możemy więc porównać prawe strony tych równań i tak utworzone równanie zapisać jako pierwsze w układzie równoważnymrównoważne układy równańukładzie równoważnym danemu.

$\{\begin{cases} 3 x^{2} = 6 x + m \\ y = 6 x + m \end{cases}$

Otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą $x$ i parametrem $m$ . Porządkujemy je i obliczamy wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego.

$3 x^{2} = 6 x + m$

$3 x^{2} - 6 x - m = 0$

$∆ = 36 - 4 \cdot 3 \cdot (- m)$

$∆ = 36 + 12 m$

Liczba rozwiązań układu równań $\{\begin{cases} y = 3 x^{2} \\ y = 6 x + m \end{cases}$ jest taka sama, jak liczba pierwiastków równania $3 x^{2} - 6 x - m = 0$ .

Zgodnie z przypomnianym na początku materiału twierdzeniem, liczba pierwiastków równania kwadratowego jest zależna od wartości wyróżnika kwadratowego (delty).

Mamy więc:

jeden pierwiastek $\Leftrightarrow ∆ = 36 + 12 m = 0 \Leftrightarrow m = - 3$ ;

dwa pierwiastki $\Leftrightarrow ∆ > 0 \Leftrightarrow m > - 3$ ;

brak pierwiastków $\Leftrightarrow ∆ < 0 \Leftrightarrow m < - 3$ .

A zatem:

dla $m > - 3$ rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} y = 3 x^{2} \\ y = 6 x + m \end{cases}$ są dwie pary liczb;

dla $m = - 3$ rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} y = 3 x^{2} \\ y = 6 x + m \end{cases}$ jest jedna para liczb;

dla $m < - 3$ układ równań $\{\begin{cases} y = 3 x^{2} \\ y = 6 x + m \end{cases}$ nie posiada rozwiązań.

Słownik

układ równań

koniunkcja co najmniej dwóch równań

równoważne układy równań

układy równań, które mają ten sam zbiór rozwiązań

równanie kwadratowe z jedną niewiadomą

równanie z niewiadomą $x$ postaci

a x^{2} + b x + c = 0

gdzie:
$a$ , $b$ i $c$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz $a \neq 0$

metoda podstawiania

metoda rozwiązywania układu równań, polegająca na wyznaczeniu dowolnej niewiadomej z dowolnego równania i podstawieniu tak uzyskanego wyrażenia do pozostałych równań układu, w miejsce wyznaczonej niewiadomej

Wprowadzenie

Schemat interaktywny

Słownik