Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Warto przeczytać

Na początku przypomnijmy, że przystępując do jakichkolwiek rozważań na temat siły grawitacji należy pamiętać o tym, że masa ciała nie jest tym samym, co jego ciężar. Otóż masa wskazuje nam na ilość materii, z której zbudowane jest ciało. Jest ona cechą danego ciała i nie zależy od tego, gdzie to ciało się znajduje. Ciężar jest natomiast złożeniem dwóch sił: siły, z jaką planeta (lub inne ciało niebieskie) przyciąga dany obiekt, oraz siły odśrodkowej, która wynika z ruchu obrotowego planety.

Wszystkie ciała posiadające masę, przyciągają się wzajemnie siłą grawitacyjną. Prawo powszechnego ciążenia, zwane też prawem powszechnej grawitacji, brzmi następująco:

powszechnego ciążenia
Prawo: powszechnego ciążenia

Wartość siły oddziaływania grawitacyjnego jest wprost proporcjonalna do iloczynu oddziałujących ze sobą mas oraz odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi:

(1)

gdzie jest stałą proporcjonalności, zwaną stałą grawitacji.

W poniższych przykładach dla uproszczenia traktujemy masy jako punktoweMasa punktowamasy jako punktowe, a jako odległość między nimi przyjmujemy dystans pomiędzy ich środkami masyŚrodek masy ciałaśrodkami masy.

Przykład: Człowiek na powierzchni Ziemi

Sprawdźmy, ile wynosi wartość siły grawitacyjnejSiła grawitacyjnasiły grawitacyjnej, z jaką Ziemia działa na stojącego na jej powierzchni człowieka (Rys. 1.). Załóżmy, że masa Ziemi wynosi M=6 · 10Indeks górny 24 kg, jej promień RIndeks dolny z=6371 km, a masa przeciętnego człowieka jest równa m=75 kg. Po podstawieniu tych wartości do wzoru (1) dostajemy:

(2)
R1AXwi2ZE3gJL
Rys. 1. Siła grawitacyjna, z jaką Ziemia działa na stojącego na jej powierzchni człowieka, jest skierowana do środka Ziemi i zaczepiona w środku masy człowieka. Oczywiście człowiek działa na Ziemię siłą (nie pokazana na rysunku) taką samą co do wartości, ale przeciwnie skierowaną i zaczepioną w środku masy Ziemi.

Okazuje się, że niemal identyczną wartość siły uzyskasz korzystając ze znanego Ci ze szkoły podstawowej wzoru na ciężar ciała o masie w polu grawitacyjnym Ziemi:

(3)

gdzie jest przyspieszeniem ziemskim, którego wartość podobnie, jak wartość promienia ZiemiPromień Ziemipromienia Ziemi, zależy od miejsca, w którym ustawimy człowieka. Dla Warszawy wartość tej stałej jest w przybliżeniu równa:

(4)

Podstawiając do wzoru (3) odpowiednie wartości dostajemy:

(5)

Porównaj wyniki (2) i (5). Uzyskane wartości są prawie takie same! Oczywiście ich zgodność nie jest przypadkowa. Jest ona spowodowana tym, że stała grawitacji i przyspieszenie ziemskie są ze sobą powiązane:

Ważne!

Porównując wzory (2) i (3) łatwo zauważyć, że:

(6)

gdzie MIndeks dolny Z=6⋅10Indeks górny 24 kg jest masą Ziemi, a RIndeks dolny Z=6371 km to jej średni promieńPromień Ziemiśredni promień.

Porównanie wartości (4) i (6) sugeruje, skąd mogą się brać różnice wyników (2) i (5).

Przykład: Człowiek i łóżko

Przypomnij sobie dzisiejszy poranek – wstawanie z łóżka. Między Tobą, a Twoim posłaniem również istnieje siła grawitacyjnegoSiła grawitacyjnasiła grawitacyjnego przyciągania. Załóżmy, że Twoja masa wynosi m=75 kg, a masa łóżka M=40 kg. Jaką wartość ma siła grawitacyjna, gdy odległość między Tobą, a łóżkiem wynosi r=10 cm, a jaką, gdy jest ona równa r=1 m?Przyjrzyjmy się dokładniej tej sytuacji.

Gdy leżysz na łóżku (Rys. 2.) siła przyciągania grawitacyjnego między Tobą, a łóżkiem jest równa:

Fg1=6,671011Nm2kg275kg40kg(0,1m)2=2105N=20μN.
R7SCWHoyygCI9
Rys. 2. Gdy człowiek o masie 75 kg leży na łóżku o masie 40 kg działa między nimi siła grawitacji równa 20 μN.

Gdy już wstaniesz z łóżka i znajdziesz się w odległości 1 m od niego (Rys. 3.), siła ta będzie sto (!) razy mniejsza:

Fg2=6,671011Nm2kg275kg40kg(1m)2=2107N=0,2μN.
R1SOMZNLLS5ie
Rys. 3. Gdy człowiek o masie 75 kg leży znajduje się w odległości 1 m od łóżka o masie 40 kg działa między nimi siła grawitacji równa 0,2 μN.

Jak widzisz siła grawitacyjnego przyciągania między Tobą, a łóżkiem zmniejszyła się 100 razy wraz z 10‑krotną zmianą odległości. Jednak w obydwu sytuacjach jej wartość jest tak mała, że nie jesteśmy w stanie obserwować skutków jej działania. Z czym porównać taką wartość siły? Weźmy na przykład tabliczkę czekolady. Jej masa wynosi 100 gramów, czyli 0,1 kg. Zatem czekolada jest przyciągana przez Ziemię z siłą o wartości: Q=mg=0,1 kg⋅9,81 m/sIndeks górny 2 ≈ 1 N. Siła 0,2 muN jest 50 000 000 razy mniejsza, co oznacza, że gdybyśmy połamali naszą czekoladę na 50 000 000 kawałków, to siła, z jaką nasza planeta działałaby na jeden z takich kawałków byłaby równa sile działającej między nami a łóżkiem w momencie, gdy znajdujemy się w odległości 1 metra od niego. Widać więc, że wpływu łóżka na poranne wstawania nie można tłumaczyć prawem powszechnego ciążenia.

R1B9fiE3mrfAE
Rys. 4. Siła grawitacyjna działająca pomiędzy Ziemią a tabliczką czekolady wynosi około 1 N.

Słowniczek

Masa punktowa
Masa punktowa

(ang.: point‑like mass) inaczej zwana punktem meterialnym, to ciało fizyczne obdarzone masą, ale mające nieskończenie małe rozmiary (będące punktem). W mechnice tzw. „przybliżenie punktu materialnego” bardzo upraszcza opis ruchu ciała.

Promień Ziemi
Promień Ziemi

(ang.: Earth radius) Ziemia nie jest idealną kulą. Kształtem przypomina ona raczej obrotową elipsoidę (tj. spłaszczoną kulę). Średni promień równikowy Ziemi wynosi 6378 km i jest ponad 20 km dłuższy od promienia biegunowego. Do obliczeń przyjmuje się zwykle, że średni promień Ziemi jest równy: RIndeks dolny z=6371 km.

Siła grawitacyjna
Siła grawitacyjna

(ang.: force of gravity) oddziaływanie o charakterze przyciągającym istniejące pomiędzy ciałami posiadającymi masę, zależne od iloczynu mas i kwadratu odległości pomiędzy ich środkami.

Środek masy ciała
Środek masy ciała

(ang.: center of mass) to punkt charakteryzujący rozkład masy w ciele, określony tak, by w opisie ruchu ciała zastąpić je punktem materialnym (zastosować tzw. „przybliżenie punktu materialnego”).