Wykres funkcji $f$ jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych $\left(x, f\left(x\right)\right)$ w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie $x$ należy do dziedziny tej funkcji, natomiast $f\left(x\right)$ jest wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$.

Na rysunkach przedstawione są zbiory punktów w układzie współrzędnych, które nie są wykresami funkcji zmiennej $x$. Dlaczego?

RRi0Aa1RM916V

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od $-4$ do $4$ oraz z pionową osią $Y$ od $-3$ do $4$. Na płaszczyźnie zaznaczone są dwie półproste. Półprosta po lewej stronie przechodzi przez punkt $\left(-2;3\frac{1}{2}\right)$, a jej koniec leży w punkcie $\left(1;3\right)$. Półprosta po prawej stronie ma swój koniec w punkcie $\left(1;-1\right)$ i przechodzi przez punkt $\left(1\frac{1}{2};0\right)$.

Rysunek ten nie przedstawia wykresu funkcji, ponieważ liczbie  $x=1$ przyporządkowane są dwie liczby: $\left(-1\right)$ oraz $3$.

Nie jest to zgodne z definicją funkcji, z której wynika, że każdemu argumentowi musi być przyporządkowana tylko jedna wartość.

RbpIZhjQToFX4

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od $-4$ do $4$ oraz z pionową osią $Y$ od $-3$ do $4$. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji przypominający odbicie lustrzane litery S. Na wykresie oznaczono kilka punktów. Ich współrzędne to: $\left(1;3\right), \left(1;\frac{1}{2}\right), \left(1;-2\right)$.

Rysunek ten nie przedstawia wykresu funkcji, ponieważ liczbie $x=1$ przyporządkowane są trzy liczby: $\left(-2\right)$, $\frac{1}{2}$, $3$.

Nie jest to zgodne z definicją funkcji, z której wynika, że każdemu argumentowi musi być przyporządkowana tylko jedna wartość.

RVAn5Oiwc0Ie5

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od $-3$ do $4$ oraz z pionową osią $Y$ od $-3$ do $4$. Na płaszczyźnie narysowana jest pionowa prosta przecinająca oś $X$ w punkcie $2$.

Rysunek ten nie przedstawia wykresu funkcji, ponieważ liczbie  $x=2$ przyporządkowano nieskończenie wiele różnych liczb rzeczywistych.

Nie jest to zgodne z definicją funkcji, z której wynika, że każdemu argumentowi musi być przyporządkowana tylko jedna wartość.

Dana jest funkcja $f\left(x\right)=x^2+x-6$, gdzie $x\in \left\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\right\}$.

Narysujemy wykres tej funkcji i odczytamy z wykresu współrzędne punktów wspólnych wykresu z osiami układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Wykonamy obliczenia wartości funkcji $f$, a następnie opiszemy tę funkcję za pomocą tabelki.

$f\left(-4\right)={\left(-4\right)}^2+\left(-4\right)-6=16-4-6=6$

$f\left(-3\right)={\left(-3\right)}^2+\left(-3\right)-6=9-3-6=0$

$f\left(-2\right)={\left(-2\right)}^2+\left(-2\right)-6=4-2-6=-4$

$f\left(-1\right)={\left(-1\right)}^2+\left(-1\right)-6=1-1-6=-6$

$f\left(0\right)=0^2+0-6=-6$

$f\left(1\right)=1^2+1-6=-4$

$f\left(2\right)=2^2+2-6=4+2-6=0$

$f\left(3\right)=3^2+3-6=9+3-6=6$

$f\left(4\right)=4^2+4-6=16+4-6=14$

Wykres funkcji jest następujący:

R1D7tzvCxbsQh

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od $-8$ do $8$ oraz z pionową osią $Y$ od $-6$ do $15$. Na płaszczyźnie zaznaczone są punkty o współrzędnych: $\left(4;14\right), \left(3;6\right), \left(-4;6\right), \left(2;0\right), \left(-3;0\right), \left(1;-4\right); \left(-2;-4\right), \left(0;-6\right), \left(-1;-6\right)$.

Wykres funkcji ma z osią $Y$ jeden punkt wspólny. Jest to punkt o współrzędnych $\left(0,-6\right)$. Z osią $X$ ma dwa punkty wspólne. Są nimi punkty o współrzędnych $\left(-3,0\right)$ oraz $\left(2,0\right)$.

Po uważnej analizie powyższego przykładu możemy zauważyć, że:

1. Wykres funkcji $f$ ma punkt wspólny z osią $Y$ tylko wtedy, gdy $0\in D_f$. Współrzędne tego punktu są równe $\left(0,f\left(0\right)\right)$.

2. Wykres funkcji $f$ ma punkt wspólny z osią $X$ tylko wtedy, gdy istnieje argument $x_0$, dla którego funkcja liczbowafunkcja liczbowafunkcja liczbowa $f$ przyjmuje wartość $0$. Współrzędne tego punktu są równe $\left(x_0,0\right)$.

Wiedząc, że prosta prostopadła do osi $X$ może mieć z wykresem funkcji co najwyżej jeden punkt wspólny, odpowiedzmy na pytanie:

ile punktów wspólnych może mieć wykres funkcji z osią $X$, a ile z osią $Y$?

Odpowiedź:

Wykres funkcji może mieć co najwyżej jeden punkt wspólny z osią $Y$, a z osią może mieć wiele punktów wspólnych.

Funkcja $f$ opisana jest słownie.

Funkcja $f$ każdej liczbie rzeczywistej $x$, takiej, że $x\in ⟨-9, 9⟩$ przyporządkowuje wartość bezwzględną sumy połowy liczby $x$ i liczby $3$. Narysuj wykres tej funkcji.

Rozwiązanie:

Zapiszemy wzór tej funkcji.

$f\left(x\right)=\left|\frac{1}{2}x+3\right|$

Zbudujemy tabelkę częściową tej funkcji.

Naniesiemy na wykres wyznaczone punkty i połączymy je odcinkami, ponieważ dziedziną funkcji jest nie zbiór punktów, a przedział.

R1F1zrWD78ASA

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od $-9$ do $9$ oraz z pionową osią $Y$ od $-2$ do $9$. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji składający się z dwóch odcinków o jednym wspólnym końcu. Odcinki przypominają kształt haczyka. Odcienk położony na leo ma początek w punkcie $\left(-9;\frac{1}{2}\right)$ i koniec w punkcie $\left(-6;0\right)$. Koniec ten jest wspólny z drugim odcinkiem, którego drugi koniec jest w punkcie $\left(9;\frac{15}{2}\right)$. Na wykresie oprócz wymienionych końców, zaznaczone są punkty o współrzędnych: $\left(-8;1\right), \left(-4;1\right), \left(-1;\frac{5}{2}\right), \left(0;3\right), \left(1;\frac{7}{2}\right), \left(2;4\right), \left(8;7\right)$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru $f\left(x\right)=\sqrt{x}-2$, $x\in \left(0, 4\right)\cup \left\{9\right\}$.

Narysuj wykres tej funkcji. Czy wykres funkcji ma punkty wspólne z osiami układu współrzędnych? Jeśli tak, odczytaj współrzędne tych punktów.

Rozwiązanie:

Przed narysowaniem wykresu opisujemy tę funkcję za pomocą częściowego zbioru par uporządkowanych.

$\{$$\left(\frac{1}{4};-1\frac{1}{2}\right)$, $\left(\frac{9}{16};-1\frac{1}{4}\right)$, $\left(1;-1\right)$, $\left(\mathrm{1,44};-\mathrm{0,8}\right)$, $\left(\mathrm{1,69}; -\mathrm{0,7}\right)$, $\left(\mathrm{1,96};-\mathrm{0,6}\right)$, $\left(\mathrm{2,25};-\mathrm{0,5}\right)$, $\left(9;1\right)$$\}$

RQrsK2FbX0UBQ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od $-1$ do $9$ oraz z pionową osią $Y$ od $-3$ do $2$. Na płaszczyźnie narysowany jest wklęsły wykres funkcji składający się z wymienionych w zadaniu punktów. Funkcja ograniczona jest puntami: $\left(0;-2\right)$ oraz $\left(4;0\right)$. Punkty te standardowo są puste w środku (niezamalowane). Sam wykres ma kształt wygięty w stronę początku układu współrzędnych. Do wykresu należy też odizolowany punkt w współrzędnych $\left(9;1\right)$ zaznaczony na płaszczyźnie.

Wykres funkcji nie ma punktów wspólnych z osiami układu współrzędnych.

funkcja, której dziedzina i zbiór wartości to zbiory liczbowe

wykres funkcji $f$ jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych $\left(x,f\left(x\right)\right)$, w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie $x$ należy do dziedziny tej funkcji, natomiast $f\left(x\right)$ jest wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$