Przeczytaj

W rozwiązywaniu równania wielomianowego wyższych stopni często możemy wykorzystać metody prowadzące do rozwiązywania równania kwadratowego. Również w równaniach, gdzie niewiadoma znajduje się pod znakiem pierwiastka, poprzez zastosowanie odpowiedniego podstawienia i uwzględnienie założeń, możemy sprowadzić równanie do równania kwadratowego.

Równanie kwadratowe

Definicja: Równanie kwadratowe

Równanie kwadratowe to równanie postaci $a x^{2} + b x + c = 0$ , gdzie $a$ , $b$ i $c$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz $a \neq 0$ .

Równanie dwukwadratowe

Definicja: Równanie dwukwadratowe

Równanie dwukwadratowe to równanie postaci $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ , gdzie $a \neq 0$ .

Aby rozwiązać równanie wielomianowe $a x^{6} + b x^{3} + c = 0$ , gdzie $a \neq 0$ będziemy stosować podstawienie $x^{3} = z$ i następnie rozwiązywać równanie kwadratowe postaci

a z^{2} + b z + c = 0

Do rozwiązania równania typu $x - 3 \sqrt{x} + 2 = 0$ , dla $x \geq 0$ wykorzystamy podstawienie $z = \sqrt{x}$ i $z \geq 0$ i otrzymamy równanie kwadratowe postaci

z^{2} - 3 z + 2 = 0

Przykład 1

Rozwiążemy równanie ${(\frac{x^{2} - 2}{2})}^{2} - x^{2} + 3 = - \frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{4} - 4 x^{2} + 4}{4} - x^{2} + 3 = - \frac{1}{4}$

$x^{4} - 4 x^{2} + 4 - 4 x^{2} + 12 = - 1$

$x^{4} - 8 x^{2} + 17 = 0$

Podstawimy $x^{2} = z$ i $z \geq 0$ .

$z^{2} - 8 z + 17 = 0$

$Δ = 64 - 4 \cdot 17 = 64 - 68 = - 4$

Ponieważ wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, więc równanie $z^{2} - 8 z + 17 = 0$ nie posiada rozwiązania.

Zatem równanie dwukwadratowerównanie dwukwadratowerównanie dwukwadratowe $x^{4} - 8 x^{2} + 17 = 0$ również nie posiada rozwiązania.

Przykład 2

Rozwiążemy równanie $x - 5 \sqrt{x} + 6 = 0$ .

$x - 5 \sqrt{x} + 6 = 0$

Zakładamy że $x \geq 0$ .

Podstawimy $z = \sqrt{x}$ i $z \geq 0$ .

$z^{2} - 5 z + 6 = 0$

$Δ = 25 - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

$\sqrt{Δ} = 1$

$z_{1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$

$z_{1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

Wrócimy teraz do niewiadomej $x$ .

$\sqrt{x} = 2$

$x = 4$

$\sqrt{x} = 3$

$x = 9$

Rozwiązaniem równania są liczby $x = 4$ , $x = 9$ .

Przykład 3

Rozwiążemy równanie ${(x^{2} - 4 x)}^{2} + 7 \cdot (x^{2} - 4 x) + 12 = 0$ , stosując odpowiednie podstawienie.

${(x^{2} - 4 x)}^{2} + 7 \cdot (x^{2} - 4 x) + 12 = 0$

Postawiamy $t = x^{2} - 4 x$ .

$t^{2} + 7 t + 12 = 0$

$Δ = 7^{2} - 4 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$

$\sqrt{Δ} = 1$

$t_{1 =} \frac{- 7 - 1}{2} = - 4$

$t_{2 =} \frac{- 7 + 1}{2} = - 3$

Dla $t = - 4$ otrzymujemy :

$x^{2} - 4 x = - 4$

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x = 2$

Dla $t = - 3$ otrzymujemy :

$x^{2} - 4 x = - 3$

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$

$Δ = 16 - 4 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

$\sqrt{Δ} = 2$

$x_{1} = \frac{4 - 2}{2} = 1$

$x_{1} = \frac{4 + 2}{2} = 3$

Rozwiązaniem równania są liczby $x = 1$ , $x = 2$ , $x = 3$ .

Przykład 4

Rozwiążemy równanie $x - 3 \sqrt{x + 2} = - 4$ .

Aby istniał $\sqrt{x + 2}$ założymy, że $x + 2 \geq 0$ , $x \geq - 2$ .

Zapiszemy równanie w postaci $x + 2 - 3 \sqrt{x + 2} = - 4 + 2$ .

$x + 2 - 3 \sqrt{x + 2} + 2 = 0$

Podstawimy $\sqrt{x + 2} = t$ , $t \geq 0$ .

Otrzymamy równanie $t^{2} - 3 t + 2 = 0$ .

$Δ = 9 - 4 \cdot 2 = 1$

$\sqrt{Δ} = 1$

$t_{1} = \frac{3 - 1}{2} = 1$

$t_{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2$

Wracamy do podstawienia $\sqrt{x + 2} = t$ .

$\sqrt{x + 2} = 1$

$x + 2 = 1$

$x = - 1 \in ⟨- 2, \infty)$

$\sqrt{x + 2} = 2$

$x + 2 = 4$

$x = 2 \in ⟨ - 2, \infty)$

Rozwiązaniem równania są liczby $x = - 1$ , $x = 2$ .

Słownik

równanie dwukwadratowe

równanie postaci $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ , gdzie $a \neq 0$

Wprowadzenie

Infografika

Słownik